3364

Рассмотрим МКЭ-процедуру формирования матрицы системы уравнений и вектора правых частей для задачи (1.8) на примере треугольника Лагранжа (двумерный случай). Такой конечный элемент обеспечивает на границах элементов непрерывность только функции, но не ее производных.

Пусть имеется треугольный элемент с вершинами (xi, yi), i=1, 2, 3. Введем произвольную точку Р с координатами (x, y). Определим ее положение с помощью симплексных координат по правилу

где А – площадь треугольника, Аi – площадь треугольника, образованного точкой Р и двумя вершинами исходного треугольника. Очевидно, что

Формулы (1.28) преобразуют треугольный элемент произвольной формы, размера и ориентации в стандартный эле-

21

В результате локальная система уравнений запишется в

виде:

S11 1 + S12 2 + S13 3 = T11 1 + T12 2 + T13 3,

S21 1 + S22 2 + S23 3 = T21 1 + T22 2 + T23 3, (1.32) S31 1 + S32 2 + S23 3 = T31 1 + T32 2 + T33 3,

где

Подобным образом формируется система для каждого конечного элемента. Рассмотрим процесс объединения таких локальных систем в одну глобальную.

Пусть имеется два элемента с общей стороной 2–3 (рис. 1.2). Проводя дискретизацию на каждом конечном элементе, получим две системы вида (1.32). Переходя к глобальной нумерации узлов сетки и учитывая, что для обеспечения непрерывности функции ее значения i в совпадающих узлах должны быть равны, т.е.

22

Правые части уравнений получаются из левых заменой Sij Tij, i i. Складывая попарно уравнения для общих узлов

((1.33b) и (1.34a), (1.33c) и (1.34b)), получаем систему уравне-

ний МКЭ для ансамбля из двух элементов:

S11(1) 1 S12(1) 2 S13(1) 3 T11(1) 1 T12(1) 2 T13(1) 3 ,

S21(1) 1 (S22(1) S22(2)) 2 (S23(1) S23(2) ) 3 S24(2) 4

T21(1) 1 (T22(1) T22(2) ) 2 (T23(1) T23(2)) 3 T24(2) 4, (1.35)

S31(1) 1 (S32(1) S32(2)) 2 (S33(1) S33(2) ) 3 S34(2) 4

T31(1) 1 (T32(1) T32(2) ) 2 (T33(1) T33(2)) 3 T34(2) 4,

S42(2) 2 S43(2) 3 S44(2) 4 T42(2) 2 T43(2) 3 T44(2) 4 .

Приведенный способ объединения элементов обобщается на случай любого числа элементов. Нетрудно заметить, что полученная матрица будет симметричной, положительно определенной и сильно разреженной (т.е. содержащей много нулей вне главной диагонали). При определенной нумерации можно добиться ленточного вида матрицы, при котором все ненулевые элементы группируются возле главной диагонали. Такой способ нумерации может иметь важное значение для компактного хранения матрицы. Симметричность и положительная определенность выгодны в вычислительном плане.

Можно показать, что сформированная в виде (1.32) и (1.35) система уравнений не будет иметь решения, поскольку ее определитель равен нулю. Необходимо модифицировать систему, чтобы учесть главное краевое условие (условие Дирихле) на Г1. Пусть в узлах 1 и 2 функция принимает фиксированные

значения 1 и 2 соответственно. Тогда первое и второе уравнения в (1.35), соответствующие этим узлам, заменяются уравнениями

1 1 = 1 ,

1 2 = 2 ,

23

а в других уравнениях члены, содержащие 1 и 2, переносятся в правую часть с обратным знаком. Например, для 4-го уравнения в (1.35) имеем

S43(2) 3 S44(2) 4 T42(2) 2 T43(2) 3 T44(2) 4 S42(2) 2 .

Упражнения

1. Найти функции формы Ni = i (i=1, 2, 3, 4) для тетраэдрального элемента Лагранжа 1-го порядка, используя преобразование

x = Xi i, y = Yi i, z = Zi i, 1 = i.

Показать, что внутри тетраэдра 0 1.

2. Найти квадратичные функции формы для одномерного элемента Лагранжа [x1, x2].

Указание. Использовать аппроксимацию неизвестной функции =C1 2 +C2 +C3, где =(x–x1)/(x2 –x1) – симплексная координата, {Сi} – коэффициенты, подлежащие определе-

нию. Записав это выражение для каждого из трех узлов ( =0; 0.5; 1), получим систему уравнений относительно {Сi}. Решив

ее, найдем разложение = i Ni( ).

3. Определить квадратичные функции формы для стандартного треугольного элемента Лагранжа (см. рис. 1.1). См.

5. Показать, что функции формы должны удовлетворять ус-

ловию Ni = 1.

24

6.Записать выражение для grad для линейного и квадратичного треугольника Лагранжа. Найти скачок градиента на границах элементов.

7.Показать, что полный функционал для ансамбля конечных элементов не равен сумме элементных функционалов,

если для аппроксимации неизвестной функции используются базисные функции класса С0. Какую ошибку при этом имеет конечно-элементное решение?

8.Для уравнения Лапласа =0 получить матрицу и вектор правых частей локальной системы линейных алгебраических уравнений, соответствующей квадратичному одномерному элементу, билинейному четырехугольнику и тетраэдральному элементу Лагранжа.

1.5.Решение обыкновенных дифференциальных уравнений

Как известно [33], общее решение обыкновенного дифференциального уравнения n-го порядка

содержит n произвольных постоянных C1, C2, ... , Cn, т. е. имеет вид

= (x, C1, C2, ... , Cn).

Частное решение обыкновенного дифференциального уравнения получается из общего, если произвольным постоянным придать определенные значения (за исключением случая особых решений). В зависимости от способа задания дополнительных условий для получения частного решения дифференциального уравнения существуют два различных типа задач: задача Коши и краевая задача. Если эти условия задаются в одной точке, то такая задача называется задачей Коши. Дополнительные условия в задаче Коши называются начальными условиями, а точка x = x0, в которой они задаются, – начальной точкой. Если же дополнительные условия задаются в более чем

25

одной точке, т.е. при разных значениях независимой переменной, то такая задача называется краевой. На практике обычно граничные условия задаются в двух точках x = a и x = b, являющихся границами области решения дифференциального уравнения.

МКЭ обычно используется для решения краевых задач. Задачи Коши чаще всего решаются методами Эйлера, Рунге– Кутта, Адамса, прогноза-коррекции и т. д.

Пример. Рассмотреть конечно-элементную формулировку для уравнения

при условии, что = 0 при x = 0 и / x = 0 при x = Lx. Покажем, что стационарное значение функционала

определяет решение данной краевой задачи, если пробные функции удовлетворяют краевому условию = 0 при x = 0.

Найдем первую вариацию F:

Поскольку множество допустимых функций удовлетворяет краевому условию при x = 0, то x=0 = + x=0 = 0, первое слагаемое равно нулю.

Из условия стационарности F = 0 и в силу произвольности имеем:

26

d 0 при x Lx . dx

Краевое условие при x=Lx выполняет роль естественного краевого условия, так как оно выполняется для любой функции , обеспечивающей стационарное значение функционала. Краевое условие при x=0 – главное условие.

Следуя методу конечных элементов, разобьем отрезок [0, Lx] на M одномерных элементов (рис. 1.3). На каждом элементе будем использовать линейную аппроксимацию. В таком элементе неизвестная функция определяется ее значениями в двух узлах x1 и x2:

где функции формы N1, N2 имеют вид

Подставляя аппроксимацию (1.36) в функционал F( ) и удовлетворяя условию стационарности F/ i = 0, приходим к системе линейных алгебраических уравнений

S11 1 + S12 2 = F1,

S21 1 + S22 2 = F2,

27

где

Здесь he x2 – x1.

Аналогичным образом строятся системы уравнений для всех элементов, а затем добавляются в глобальную систему способом, описанным в разд. 1.4. Чтобы окончательно сформировать систему, необходимо учесть главное граничное условие при x = 0 (см. там же).

Упражнения

1. Задано дифференциальное уравнение

на интервале [a, b]. Требуется найти функцию u(x) такую, что u(a)=d0, u(b)=d1. Используя 3-4 конечных элемента, провести дискретизацию и получить решение данной задачи.

28

2. Для нелинейного дифференциального уравнения

1.6.Решение дифференциальных уравнений

счастными производными

Поведение многих физических процессов описывается функциями от нескольких переменных, и для их определения требуется решать дифференциальные уравнения с частными производными (ДУЧП). Полная математическая постановка задачи наряду с ДУЧП содержит также некоторые дополнительные условия. Если решение ищется в ограниченной области, то задаются условия на границе, называемые граничными (краевыми) условиями. Такие задачи называются краевыми задачами для ДУЧП. Если одной из независимых переменных в задаче является время t, то задаются некоторые условия (например, значение искомой функции) в начальный момент t0, которые называются начальными условиями. Такая задача называется задачей Коши для ДУЧП. При этом задача решается в

29

неограниченном пространстве и граничные условия не задаются. Задачи, при формулировке которых ставятся и граничные, и начальные условия, называются нестационарными (или смешанными) краевыми задачами

Задача называется корректно поставленной (по Адамару), если ее решение существует, единственно, и непрерывно зависит от начальных и граничных условий, от коэффициентов и правой части дифференциального уравнения.

Рассмотрим узкий класс корректных задач для уравнений 2-го порядка, линейных относительно производных. В случае четырех независимых переменных v1 x, v2 y, v3 z, v4 t эти уравнения можно записать в виде

Здесь = (x, y, z, t) – искомая функция. Коэффициенты {aij}, {bi} и правая часть f, вообще говоря, могут зависеть от {vi} и . В связи с этим уравнение может быть а) с постоянными коэффициентами, б) линейным, если f линейно зависит от , а коэффициенты – только от {vi}. Если f=0, то уравнение называется однородным.

Можно показать, что путем замены vi = ijwj, подобрав соответствующим образом ij, можно (1.37) привести к виду, в котором не будет смешанных производных

Если ни один из коэффициентов i не равен нулю и все они одного знака, то уравнение (1.38) называется эллиптическим. Если среди коэффициентов i хотя бы один равен 0 (но не все одновременно), то уравнение является параболическим. Гиперболическое уравнение соответствует случаю, когда все

i 0 и разных знаков.

Эллиптические уравнения описывают стационарные (установившиеся) процессы во многих физических приложениях

30