3364

14) Повторить шаг номер 13. В появившемся узле 1D Plot Group 3 так же выбрать Line Graph. Различие состоит в том, что в поле Data set необходимо выбрать Cut Line 3D 2, а в поле Expression в разделе x-axis Data ввести z. Данный график будет иллюстрировать распределение модуля вектора магнитной индукции вдоль оси zглобальной системы координат (рис. П2.3).

Рис. П2.3. Распределение модуля вектора магнитной индукции вдоль оси z

15) Ещё один способ визуализации поля в окрестности шара – построение линий магнитного поля. Для этого в контекстном меню узла Magnetic Flux Density (mfnc) надо выбрать опцию Streamline. В окне настроек в разделе Expression уже по умолчанию заданы необходимые для этого компоненты вектора магнитной индукции, так что эти поля нужно оставить без изменений. В разделе «Местоположение силовых линий»

(Streamline positioning) в поле «Местоположение» (Positioning)

181

выбрать «Определяется начальными точками» (Start point controlled), а в поле «Метод ввода» (Entry Method) выбрать Coordinates. В поле x ввести 0, в поле z ввести 0.5, а в поле y воспользоваться командой «Диапазон» (Range), которая находится справа от поля. Во всплывающем окне в поле Entry method выбрать «Число точек» (Number of values), в поле Start ввести

-0.5, в поле Stop ввести 0.5, в поле Number of values ввести 50.

Нажать кнопку «Заменить» (Replace). Такое задание координат точек, через которые проходят силовые линии, позволит основное внимание уделить поведению линий непосредственно вблизи шара. После этого нужно нажать кнопку Plot в верхней части окна настроек. Для лучшей иллюстрации картины силовых линий нужно перевести геометрию в плоскость yz (рис. П2.4) (иконка с двумя осями и буквами yz в верхней части графического окна).

Рис. П2.4. Линии магнитного поля в окрестности шара

182

Последним шагом является проверка полученного численного решения на адекватность путём сравнения с аналитическим решением этой задачи, согласно которому на осях Oy, Oz модуль вектора магнитной индукции имеет вид:

где = 0.05 Тл – модуль вектора магнитной индукции внешнего поля, = 0.1 м – радиус шара. Результат численного решения (представлен на рис. П2.3) показывает хорошее совпадение с этими формулами.

16)Выбираются точки, в которых будут сравниваться значения, полученные при помощи численного и аналитического решений. В контекстном меню узла Data Sets выбирается опция Cut Point 3D. Во вновь добавленном узле Cut Point 3D 1

вокне настроек в разделе Point Data задаются координаты точек. В полях x и z необходимо вести 0, а в поле y вводятся зна-

чения 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.4 0.6 0.8 1 через пробел. Таким об-

разом, получено 9 точек, лежащих на оси y.

17)Таким же образом добавляется набор из 9 точек, лежащих на оси z. При добавлении ещё одной опции Cut Point 3D в узле Cut Point 3D 2 нужно в полях x и y ввести 0, а в поле z – тот же набор чисел, что и вводился в поле y на 16-м шаге.

18)В точках на оси y оценивается модуль вектора магнитной индукции, полученный путём численного решения. Для этого в узле «Вычисляемые переменные» (Derived Values) выбирается опция «Вычисление в точке» (Point Evaluation). В появившемся узле Point Evaluation 1 в окне настроек в разделе Data в поле Data Set нужно выбрать Cut Point 3D 1. В разделе

Expression, нажав кнопку Replace Expression, выбрать Magnetic Fields, No Currents > Magnetic flux density norm (mfnc.normB).

Далее нажать на кнопку «Вычислить» (Evaluate), расположенную в верхней части окна настроек.

183

19) В этих же точках вычисляется аналитическое значение модуля вектора магнитной индукции. Добавить ещё один узел

Point Evaluation2. В поле DataSet выбрать Cut Point 3D 1. В поле

( )^3))

20) Шаги 18 и 19 повторяются для множества точек Cut Point 3D 2, лежащих на оси Oz, и аналитического выражения

0.05 (1− 0.1^3/ ( )^3).

Таблица П2.1 Сравнение численного и аналитического решений

в точках, расположенных на оси y

числ 0.07520.05760.05320.0517 0.051 0.05040.05020.05010.0501

ан 0.075 0.05740.05310.05160.05090.05040.0501 0.05 0.05

Таблица П2.2 Сравнение численного и аналитического решений

в точках, расположенных на оси z

Как видно из значений, приведённых в табл. П2.1-П2.2, решение задачи приводит к корректному результату.

Пример 2. Найти распределение магнитного поля в окрестности сверхпроводящего тора в мейсснеровском состоянии, помещённого во внешнее однородное магнитное поле с индукцией 0.05 Тл.

Порядок выполнения работы:

1)Запустить COMSOL Multiphysics 4.2.

2)В окне мастера построения модели (Model Wizard) в разделе выбора размерности геометрии (Select Space Dimension) выбрать 3D; нажать «Далее» (Next).

3)В разделе выбора физического интерфейса в модуле AC/DC выбрать интерфейс Magnetic Fields, щёлкнуть по нему 2 раза, нажать «Далее».

184

4)В разделе выбора типа задачи (Select Study Type) выбрать стационарный тип задачи (Stationary); нажать Finish.

5)В контекстном меню узла Geometry 1 выбрать More Primitives > Torus. В окне настроек узла Torus 1 в разделе Size and Shape в поле «Большой радиус» (Major Radius) ввести 0.026; в поле «Малый радиус» (Minor Radius) ввести 0.026/22.4. Остальные параметры оставить без изменений. Нажать кнопку Build Selected. Таким образом, будет построен тор

сцентром в начале координат и осью, совпадающей с осью z.

6)В контекстном меню узла Geometry 1 выбрать Sphere. В поле Radius раздела Size and Shape окна настроек узла Sphere 1 ввести 0.26 (т.е. величина, равная 10 большим радиусам тора).

7)В контекстном меню узла Geometry 1 выбрать Boolean Operations > Difference. В поле Objects to add в окне настроек узла Difference 1 нажать кнопку Activate Selection и выделить сферу в графическом окне. Далее либо нажать на ней правой кнопкой мыши, либо нажать кнопку с иконкой со знаком «+» (Add to Selection). Аналогичным образом добавляется тор в поле Objects to subtract. Для выделения тора использовать кнопки Wireframe Rendering или transparency (см. шаг 6 примера 1). Нажать кнопку Build Selected.

8)Задать уравнение, описывающее распределение магнитного поля в области. Это осуществляется путём выбора в узле Magnetic Fields узла Ampere’s Law 1. Для корректного за-

дания уравнения в окне настроек в разделах Magnetic Field,

Conduction Current, Electric Field в полях , , соответст-

венно надо поменять From Material на User Defined, так, что относительная магнитная проницаемость, удельная проводимость, относительная диэлектрическая проницаемость в области будут равны 1, 0, 1 соответственно.

9)Задать условие равенства индукции магнитного поля

0.05Тл на внешней границе внешней области. Для этого в контекстном меню узла Magnetic Fields необходимо выбрать команду «Магнитное поле» (Magnetic Field). В графическом окне выделить все части поверхности сферы, составляющие внешнюю границу сферы и нажать на них правой кнопкой мыши,

185

либо в разделе Boundary Selection окна настроек узла Magnetic Field 1 нажать кнопку Add to Selection, когда все части поверхности выделены. В разделе Magnetic Field в поле задать

вектора магнитной индукции (в Тл), а деление на магнитную проницаемость вакуума – это преобразование вектора магнитной индукции к вектору напряжённости магнитного поля.

10)На остальной части границы (т.е. на границе тора) по умолчанию задаётся условие магнитной изоляции.

11)В окне настроек узла Mesh 1 в поле Element Size вы-

брать Extra Fine. Нажать кнопку Build All.

12)В контекстном меню узла Study 1 выбрать Compute.

13)Вывести z-компоненту вектора магнитной индукции в плоскости тора. В узле Data Sets выбрать Cut Line 3D. В разделе

Line Data в окне настроек узла Cut Line 3D 1 в поле Point 1 ввести (0, -0.15, 0); в поле Point 2 ввести (0, 0.15, 0). Это будет отре-

зок, лежащий на оси y. В контекстном меню узла Results вы-

брать 1D Plot Group. В появившемся узле 1D Plot Group 1 вы-

брать из контекстного меню Line Graph. В окне настроек узла

Line Graph 1 в разделе Data в поле DataSet выбрать Cut Line 3D

1.В разделе y-axis Data нажать кнопку Replace Expression и из контекстного меню выбрать Magnetic Fields > Magnetic flux density > Magnetic flux density, z component (mf. Bz). В разделе x- axis Data в поле Parameter выбрать Expression, а в поле Expression ввести y. Нажать кнопку Plot. Получится график, изображённый на рис. П2.5.

14)Вывести линии магнитного поля в окрестности тора. В контекстном меню узла Results выбрать Streamline. В разде-

ле Streamline positioning в поле Positioning выбрать Start point controlled, а в поле Entry Method выбрать Coordinates. В поле x

ввести 0, в поле z ввести 0.1, а в поле y воспользоваться командой Range Во всплывающем окне в поле Entry method вы-

брать Number of values, в поле Start ввести -0.035, в поле Stop ввести 0.035, в поле Number of values ввести 300. Нажать кнопку «Replace. После этого нажать кнопку Plot. Для наглядного отображения силовых линий перевести геометрию в

186

плоскость yz. Картина линий магнитного поля представлена на рис. П2.6.

Рис. П2.5. Распределение z-компоненты вектора магнитной индукции вдоль оси y

Рис. П2.6. Линии магнитного поля в окрестности тора

187

ПРИЛОЖЕНИЕ 3 Конечно-элементный анализ динамики проникновения магнитного потока в мезоскопические сверхпроводники

с помощью Comsol Multiphysics

Система уравнений Гинзбурга-Ландау для сверхпроводника II рода, помещённого во внешнее магнитное поле с ин-

физический смысл которой заключается в том, что величина

электростатический потенциал. Поскольку решение данной системы обладает инвариантностью к калибровочным преоб-

188

∙ = 0,

(П3.8)

∙ = 0.

При решении этой системы в COMSOL Multiphhysics необходимо использовать интерфейс Magnetic Fields в модуле AC/DC для задания системы уравнений (П3.6), а также интер-

фейс PDE, General Form для записи уравнений (П3.4), (П3.5).

Основное уравнение в интерфейсе Magnetic Fields – закон Ампера – имеет следующий вид:

где – относительная магнитная проницаемость материала,

– плотность внешнего тока.

Таким образом, для записи (П3.6) в интерфейсе Magnetic

−( + ). Граничное условие (П3.2) в данном интер-

фейсе задаётся при помощи условия Magnetic Field, имеющего вид:

изводных в интерфейсе PDE, General Form имеет следующий вид:

пользуется условие Неймана:

190