3364
.pdf
где |
|
– вектор-функция |
размерности ( |
|
|
|
). |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
− ∙ |
= |
|
, |
|
|
|
|
×1(смысл введения пе- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
В данной задаче размерность |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ременной |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
матрица |
|
|
– нулевая, у |
||||||||||||||
|
|
будет объяснён позже), = 3 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
матрицы |
два ненулевых элемента: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ћ |
= |
|
|
|
|
ћ= |
2ћ |
|
|
|
, |
|
|
ћ |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
= − |
2ћ |
|
|
|
|
|
|
,− |
2ћ |
|
|
|
|
|
|
|
,− |
2ћ |
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
= |
|
− |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
,− |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
,− |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
, |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
= |
1 |
|
2ћ |
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
+ћ |
|
|
2 |
+ |
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
+ |
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
+ |
+ |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
+ |
|
|
− |
( |
|
|
|
|
|
|
|
|
), |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ћ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
−2 |
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
||||||||||||||||
|
|
ћ |
= 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
− |
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
+ |
+ |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
+− ( + ).
При таких Г1 и Г2 можно добиться удовлетворения условий (П3.8), положив = = 0. Для выполнения условия (П3.7) используется приём [35], заключающийся во введении дополнительной переменной , которой соответствует уравнение:
∙ = + + + ,
191
так, что = , , , = + + + . В этом
случае условие (П3.7) будет удовлетворяться, если положить
=0.
Входе численного моделирования такой вид уравнений не применяется ввиду больших различий (на несколько порядков) величин параметра порядка и векторного потенциала, что приводит к плохой сходимости задачи. Во избежание этих трудностей перед началом моделирования система уравнений Гинзбурга-Ландау приводится к безразмерному виду. Существует 2 основных способа перехода к безразмерным простран-
ственным координатам: |
|
|
|
|
, где – Лон- |
|
доновская глубина |
проникновения магнитного поля в сверх- |
|||||
|
= |
, = |
, |
= |
|
|
проводник, и |
|
|
|
, где |
– длина когерент- |
|
ности. В данной работе используется первый подход. Форму- |
||||||||||
лы перехода для=остальных, = |
переменных, = , участвующих в урав- |
|||||||||
нениях, имеют вид: |
|
|
|
|
1 |
|
||||
= |
|
, = |
ћ |
, |
= |
|
|
, = |
. |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
||||||||
Подставляя формулы перехода в уравнения (П3.4) – (П3.6) и для простоты опуская штрихи при безразмерных переменных, будем иметь:
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
1 |
|
|
∂ |
|
+ |
∂ |
|
+ |
∂ |
+ |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂ |
|
∂ |
|
∂ |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
+ |
2 |
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
+ |
1 |
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
+ |
|
|
− |
|||
|
|
|
+ |
|
+ |
|
|
|
− |
( |
|
|
), |
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
− |
1 |
|
+ |
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
∂ |
|
+ |
∂ |
|
+ |
∂ |
|
− |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂ |
|
∂ |
|
∂ |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
− |
2 |
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
− |
1 |
|
|
|
|
+ |
|
|
|
+ |
|
|
− |
|||||
|
+ |
|
+ |
|
|
|
− |
( |
|
|
), |
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
− |
|
|
|
+ |
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
192 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
= 1( − ) − ( + ) − × × .
Коэффициенты в уравнениях в интерфейсе PDE, General Form запишутся следующим образом:
== 1,
= |
|
− |
1 |
|
|
|
|
|
|
,− |
1 |
|
|
|
|
|
,− |
1 |
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
= |
|
− |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
,− |
1 |
|
|
|
|
,− |
1 |
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
= |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
+ |
1 |
|
|
|
|
+ |
|
|
+ |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
+ |
|
|
|
|
− |
+ |
+ |
|
|
+ |
|
|
|
− |
( |
+ |
), |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
= − |
2 |
|
|
|
+ |
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
1 |
|
|
|
+ |
|
|
+ |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
+ |
|
|
|
|
− |
+ |
+ |
|
|
+ |
|
|
|
− |
( |
+ |
). |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
В уравнениях интерфейса Magnetic Fields надо положить:
= |
1 |
, = 1, = |
|
1 |
( − ) − ( + ) . |
|
Вид граничных условий при подобных преобразованиях не меняется.
При решении двумерной задачи становится возможным обойтись без использования интерфейса Magnetic Fields, поскольку граничное условие (П3.2) при условии, что внешнее поле направлено перпендикулярно плоскости сверхпроводника, можно реализовать, модифицируя компоненты тензора , соответствующие компонентам векторного потенциала, как это было сделано в [35].
193
Полная система уравнений Гинзбурга-Ландау в двумерном случае будет иметь следующий вид:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
∂ |
|
|
∂ |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
∂ |
+ |
∂ |
+ |
|
|
|
|
|
|
+ |
|
+ |
|||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
− |
+ |
|
|
+ − ( + ), |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂ |
|
|
∂ |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
∂ |
|
+ |
∂ |
− |
|
|
|
|
+ |
|
|
− |
|||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
− |
+ |
|
|
+ − ( + ), |
||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
( |
|
|
|
|
|
|
|
) − ( |
+ ) − × × , |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
, |
а − |
|
||||||||||||||||||
где |
= |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
, |
|
|
|
|
|
|
также граничные условия (П3.2), (П3.7), |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
(П3.8).
Для удовлетворения условия равенства нулю нормальной компоненты магнитного потенциала, как и прежде, вводится дополнительная переменная , которой соответствует уравнение:
∙ = + + .
Коэффициенты в интерфейсе PDE, General Form примут следующий вид:
= |
= |
= |
|
|
|
= 1, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
= − |
1 |
|
|
|
,− |
1 |
|
|
, |
= − |
1 |
|
|
,− |
1 |
|
|
, |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
= 0, |
|
|
|
|
− |
|
− |
, |
= − |
|
|
+ |
|
|
+ ,0 , |
||||||||
, |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
= |
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
194
= |
2 |
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
+ |
1 |
|
|
|
|
|
+ |
|
|
− |
|||||
|
|
|
+ |
|
|
− |
+ |
|
), |
|
|
||||||||||||||||||
− |
|
+ |
|
|
|
( |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
= − |
2 |
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
− |
1 |
|
|
|
+ |
|
|
− |
|||||||
+ |
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
− |
|
+ |
|
|
|
( |
+ |
|
), |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
= |
1 |
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
− |
( |
|
+ |
), |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
= |
1 |
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
− |
( |
|
+ |
), |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
=+ + .
Таким образом, граничное условие интерфейса PDE,
General Form, |
− ∙ |
= 0 |
, описывает все граничные условия, |
|
приведённые |
|
− ∙ = 0, − ∙ = 0, − ∙ |
||
|
выше |
условия |
|
|
=0
вточности повторяют условия (П3.8), (П3.7); а из условий
− ∙ = 0, − ∙ = 0 непосредственно получается условие
(П3.2).
Пример. Найти распределение параметра порядка в сверхпроводящем круге, помещённом во внешнее однородное магнитное поле, направленное перпендикулярно плоскости круга.
Порядок выполнения работы:
1)Запустить COMSOL Multiphysics 4.2.
2)В окне мастера построения модели (Model Wizard) в разделе выбора размерности геометрии (Select Space Dimension) выбрать 2D; нажать «Далее» (Next).
3)В разделе выбора физического интерфейса в модуле
Mathematics в разделе PDE Interfaces выбрать интерфейс General Form PDE, щёлкнуть по нему 2 раза, нажать «Далее».
195
4)В разделе выбора типа задачи (Select Study Type) выбрать нестационарный тип задачи (Time Dependent); нажать
Finish.
5)Задаются основные константы задачи. В контекстном меню узла Global Definitions выбрать «Параметры» (Parameters). В окне настроек в таблицу ввести значения модуля вектора магнитной индукции (безразмерное), параметра Гинзбур- га-Ландау и удельной проводимости (безразмерное). В колонке «Имя» (Name) ввести Ba, в колонке Expression ввести 0.9 (модуль вектора магнитной индукции); в колонке Name ввести k, а в колонке Expression ввести 4 (параметр ГинзбургаЛандау); в колонке Name ввести sigma, а в колонке Expression ввести 1 (удельная проводимость).
6)В контекстном меню узла Geometry 1 выбрать «Круг»
(Circle). В окне настроек узла Circle 1 в разделе Size and Shape
вполе Radius ввести 5. В оригинале радиус круга является безразмерной величиной, но в COMSOL Multiphysics нет возможности использования безразмерных величин в задании геометрии. Выбор единицы измерения на решение задачи не влияет.
Нажать кнопку Build Selected.
7) В узле General Form PDE 1 задать коэффициенты и . В окне настроек в разделе Conservative Flux задаются коэффи-
циенты |
|
|
|
вектору, , |
сверху вниз; в двух верхних полях, со- |
||||||||||
поле) и |
|
|
(в нижнем− 1 |
^(−2) |
(в верхнем |
||||||||||
ответствующих, , |
|
, набрать |
|
|
|
|
|
|
|||||||
полях, |
|
|
− 1 |
^(−2) |
|
|
поле). В следующих двух |
||||||||
− 2 |
|
|
|
соответственно; в двух |
|
|
− 2 ^(−2) |
||||||||
соответствующих вектору |
|
, ввести |
|
|
|
, |
|||||||||
|
^(−2) |
|
|
|
|
|
следующих полях, со- |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
ответствующих вектору |
|
, ввести |
|
0, |
|
|
|
|
|
соот- |
|||||
ветственно; в двух следующих полях, |
соответствующих вектору |
||||||||||||||
|
|
4 − |
3 |
− |
|
||||||||||
, ввести |
|
|
|
, 0 соответственно; в двух нижних |
|||||||||||
полях, |
соответствующих вектору |
, ввести |
, |
|
|
соответст- |
|||||||||
|
|
|
− 4 |
+ 3 + |
|
|
|
|
вектор правой части |
||||||
венно. В разделе Source Term вводится |
|
3 |
4 |
|
|
||||||||||
системы уравнений. Сверху вниз вводятся 5 компонент вектора
:
196
2 ( 3 + 4 )/ +2 ( 3 2 + 4 2 )/, |
− |
|||||
− 1 |
( 3^2+ |
4^2)+ |
1 − |
1 ( 1^2+ |
2^2) |
− |
− 1 ( 3 + 4 )/ −2 ( 3 1 + 4 1 )/, |
||||||
− 2 ( 3^2+ |
4^2)+ |
2 − |
2 ( 1^2+ |
2^2) |
|
|
( 1 2 − 2 1 )/ − 3 ( 1^2+ 2^2),
( 1 2 − 2 1 )/ − 4 ( 1^2+ 2^2),
3 + 4 + 5.
В разделе Damping or Mass Coefficient вводятся элементы матрицы, которые представляют собой коэффициенты при нестационарных членах в уравнениях. В полях, соответствующих диагональным элементам матрицы, ввести 1, 1, sigma, sigma, 0 (слева сверху направо вниз). В узле Initial Values 1 задаётся значение вектора решения в момент времени = 0. В окне настроек в разделе Initial Values в поле u1 ввести 1/2, в поле u2 ввести (3)/2. Остальные поля оставить без изменений. Таким образом, в начальный момент времени параметр
порядка примет значение + √ .
8)В узле Mesh 1 в окне настроек в поле Element size выбрать из списка Extremely fine. Нажать кнопку Build All.
9)Задать моменты времени, в которые будут выводиться результаты. В узле Study 1 > Step 1: Time Dependent в окне на-
строек в разделе Study Settings в поле Times набрать (0,5,500). Таким образом, решение будет выводиться в
моменты времени с 0 до 500 с шагом 5.
10)В контекстном меню узла Study 1 выбрать Compute.
11)Вывести распределение параметра порядка в круге в определённый момент времени. В окне настроек узла 2D Plot Group 1 в разделе Data в поле Time выбрать из списка любой момент времени (например, 500). В окне настроек узла Surface
1 в разделе Expression в поле Expression ввести ( 1^2+ 2^2) (величина, соответствующая модулю параметра поряд-
197
ка). В разделе Coloring and Style поставить галочку в поле Reverse color table. Нажать кнопку Plot (см. рисунок).
12) Также представляется интересным посмотреть эволюцию модуля параметра порядка в круге во времени. Для этого в контекстном меню узла Export выбрать Player. В узле Player 1 в окне настроек в разделе Parameter Sweep в поле Time выделить все моменты времени от 0 до 500. В верхней части графического окна нажать кнопку Play. В результате можно будет понаблюдать за рождением вихрей и выходом на стационарный режим.
Распределение модуля параметра порядка в круге
198
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1.Баландин М.Ю., Шурина Э.П. Векторный метод конечных элементов: Учеб. пособие. – Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2001. – 69 с.
2.Батаронов Л.И. Компьютерное моделирование распределения магнитного поля вблизи сверхпроводящего кольца с нулевым магнитным потоком / Л.И. Батаронов, С.А. Кострюков, Г.Е. Шунин // Вестник Воронежского государственного технического университета. Серия Физико-математическое моделирование. 2006. Т. 2. № 8. С. 19-22.
3.Зенкевич О., Морган К. Метод конечных элементов и аппроксимация. – М.: Мир, 1986. – 318 c.
4.Конечно-элементный комплекс программ FEMPDESolver / C.А. Кострюков, В.В. Пешков, Г.Е. Шунин и др. // Системы управления и информационные технологии. – 2010. –
№4(42). – С. 52-57.
5.Кострюков С.А. Конечно-элементная формулировка дополнительных условий в задачах электро- и магнитостатики сверхпроводников / С.А. Кострюков, В.В. Пешков, Г.Е. Шунин // Известия Академии наук. Серия Физическая. 2004. Т. 68.
№7. С. 1053-1057.
6.Лаевский Ю.М. Метод конечных элементов (основы теории, задачи). Новосибирск: Новосиб. гос. ун-т, 1999. – 166 с.
7.Митчелл Э., Уэйт Р. Метод конечных элементов для уравнений с частными производными. – М.: Мир, 1981. – 216 c.
8.Описание программы ANSYS [Электронный ресурс]. – Электрон. дан. Режим доступа: http://www.ansys.com
9.Описание программы CATIA [Электронный ресурс]. – Электрон. дан. Режим доступа: http://www.3ds.com/products/catia/welcome/
10.Описание программы COMSOL Multiphysics [Электронный ресурс]. – Электрон. дан. Режим доступа: http://www.comsol.com/comsol-multiphysics
11.Описание программы Сosmos/M [Электронный ресурс]. – Электрон. дан. Режим доступа: http://www.cosmosm.com
199
12.Описание программы Creo [Электронный ресурс]. –
Электрон. дан. Режим доступа: http://www.ptc.com/product/creo/
13.Описание программы Diffpack [Электронный ресурс].
–Электрон. дан. Режим доступа: http://www.diffpack.com
14.Описание программы Elcut [Электронный ресурс]. – Электрон. дан. Режим доступа: http://www.elcut.ru
15.Описание программы Elmer [Электронный ресурс]. –
Электрон. дан. Режим доступа: http://www.csc.fi/web/elmer
16.Описание программы FEMM [Электронный ресурс]. –
Электрон. дан. Режим доступа: http://www.femm.info/wiki/HomePage
17.Описание программы FlexPDE [Электронный ресурс].
–Электрон. дан. Режим доступа: http://www.pdesolutions.com
18.Описание программы FreeFEM++ [Электронный ресурс]. – Электрон. дан. Режим доступа: http://www.freefem.org/ff++/
19.Описание программы Maple [Электронный ресурс]. –
Электрон. дан. Режим доступа: http://www.maplesoft.com/products/Maple/index.aspx
20.Описание программы Mathematica [Электронный ресурс]. – Электрон. дан. Режим доступа: http://www.wolfram.com /mathematica/
21.Описание программы Matlab [Электронный ресурс]. –
Электрон. дан. Режим доступа: http://www.mathworks.com/products/matlab/
22.Описание программы Maxima [Электронный ресурс].
–Электрон. дан. Режим доступа: http://maxima.sourceforge.net/
23.Описание программы NISA [Электронный ресурс]. –
Электрон. дан. Режим доступа: http://www.nisasoftware.com
24.Описание программы NX [Электронный ресурс]. –
Электрон. дан. Режим доступа: http://www.plm.automation.siemens.com/ru_ru/products/nx/
25.Описание программы Scilab [Электронный ресурс]. – Электрон. дан. Режим доступа: http://www.scilab.org
26.Пакет программ FEMPDESolver 2.0 для конечно-эле- ментного анализа сверхпроводящих токонесущих систем / Г.Е.
200