3364

В2D-геометриях области разбиваются на два вида элементов – треугольники и четырёхугольники. Их стороны называются сторонами разбиения, а вершины – точками разбиения. Если граница области искривлена, то она аппроксимируется в виде многоугольника, состоящего из близлежащих к границе сторон элементов разбиения. Такие стороны называются граничными или краевыми элементами. Граничные элементы смежных областей на общей границе должны совпадать. Точки

в2D-геометриях также представлены точечными элементами.

В3D-геометриях элементами разбиения являются следующие виды элементов: тетраэдры, призмы, шестигранники и пирамиды. Непосредственно при разбиении 3D объектов пользователю доступны только тетраэдры, остальные типы получаются путём различных операций над разбиением. Поверхности в 3D состоят из набора треугольников или четырёхугольников, которые являются граничными элементами, края – из краевых элементов (аналогично 2D-случаю), точки – из точечных элементов.

Существует 2 способа разбиения области на элементы:физический – разбивщик сам определяет размер эле-

ментов в соответствии с исследуемыми физическими явлениями. Так, в местах, в которых поведение исследуемого объекта представляет особый интерес (например, на границе трубы, по которой течёт жидкость), разбиение мельче, чем в остальных частях геометрии. Средний размер элементов разбиения в этом случае определяется одним из девяти режимов, заложенных в COMSOL (с самого мелкого до самого грубого разбиения): Extremely fine, extra fine, finer, fine, normal, coarse, coarser, extra coarse, extremely coarse;

пользовательский – возможность пользователю задавать параметры разбиения.

Также виды разбиения можно подразделить на неструктурированное (свободное) и структурированное.

При создании свободного разбиения в 2D необходимо выбрать вид элементов (треугольники или четырёхугольники), задать размер элементов – либо выбрать из девяти вышеупо-

91

мянутых режимов, либо задать размер элементов вручную, задавая соответствующие параметры: максимальный размер элемента, минимальный размер элемента, максимальная скорость роста элементов (показывает максимальную скорость, с которой растёт размер элементов, т.е. максимальное из возможных отношений размеров элементов сетки), отношение максимального размера граничных элементов к радиусу кривизны границы и число слоёв из элементов разбиения в узких частях геометрии. Также можно задать распределение элементов вдоль границы.

3D-случай отличается тем, что в качестве вида элементов выступают тетраэдры.

Среди структурированных разбиений выделяются следующие:

равномерное разбиение областей в 2D и границ в 3D, имеющих прямоугольную форму (или форму, близкую к прямоугольной) на четырёхугольники. Плотность разбиения задаётся путём задания размера элементов (при ручном задании используется только максимальный размер элемента) или распределения элементов вдоль выбранных краёв.

разбиение граничных слоёв – разбиение границы «вытягивается» в направлении, параллельном нормали к границе, таким образом, в 2D-случае сетка состоит из четырёхугольников, а в 3D-случае – из призм в случае треугольного разбиения границы и из шестигранников в случае четырёхугольного разбиения границы. Плотность разбиения у границы определяется числом подслоёв граничного слоя и их толщиной. Каждый подслой состоит из одного слоя элементов. По умолчанию по мере удаления от границы толщина подслоя возрастает на

30%.

вытягивание (3D) – производится разбиение на одной из граней (треугольниками или четырёхугольниками), после чего происходит «вытягивание» этого разбиения в сторону противолежащей грани, так, что разбиения на этих гранях совпадают. Таким образом, в случае треугольного разбиения на

92

гранях, сетка состоит из призм, в случае четырёхугольного разбиения – из шестигранников. Плотность разбиения определяется путём задания максимального размера элемента или путём задания числа слоёв из элементов.

Среди остальных операций по построению сеток стоит отметить следующие: преобразование сетки (позволяет, например, преобразовывать четырёхугольное разбиение в треугольное, смешанное разбиение области в разбиение тетраэдрами и т.д.), копирование сеток с одной грани на другую (3D) и с одной границы на другую (2D), импорт сетки из файла и измельчение существующего разбиения (только для симплексных элементов).

В COMSOL Multiphysics есть возможность использования так называемой деформированной сетки. Этот функционал используется, если граница движется или деформируется, так, что деформацию можно задать, как зависимость от параметра. Преимущество использования деформированной сетки состоит в том, что нет необходимости многократного перестроения сетки, COMSOL изменяет сетку так, что она следует за деформациями границы.

Смещение узлов сетки может быть вычислено тремя различными способами:

–путём решения специализированных дифференциальных уравнений в частных производных, позволяющих получить гладкие решения для деформации сетки;

–путём задания явной зависимости деформации от параметров, например, от компонент смещения в модуле «Механика конструкций»;

–путём интеграции с интерфейсом «Механика твёрдых тел» (Solid Mechanics), который обладает встроенным функционалом деформированной сетки.

Существуют 2 специализированных интерфейса, входящие в состав базового модуля, предоставляющие разные типы деформированной сетки – «Деформированная геометрия» (Deformed Geometry) и «Движущаяся сетка» (Moving Mesh). Пер-

вый из них используется для описания поведения исследуемо-

93

го объекта, принимающего различные формы, причём переход от одного состояния к другому сопровождается изменением массы. Интерфейс Moving Mesh применяется для изучения деформации тела под воздействием физической нагрузки при сохранении массы тела.

В COMSOL Multiphysics есть возможность моделировать бесконечные области при помощи опции «Область бесконечных элементов» (Infinite Element Domain). Данная опция применяется, когда детальное решение вдали от исследуемых неоднородностей не представляет интереса, но в то же время граница внешней виртуальной области влияет на решение, получаемое в области, представляющей интерес для исследования. Осуществляется это путём координатной трансформации виртуальной области, окружающей область, представляющую интерес для исследования. Виртуальная область вытягивается в бесконечность, в результате чего образуются бесконечные элементы. В двумерном случае существует 2 типа трансформации виртуальной области – прямоугольная (область растягивается в одном или двух взаимно перпендикулярных направлениях) и цилиндрическая (область, представляющая собой круг, растягивается в радиальном направлении). В осесимметричных 2D-задачах существуют также 2 типа трансформации – цилиндрическая (аналог прямоугольной трансформации в плоских 2D-задачах) и сферическая (аналог цилиндрической трансформации в плоских 2D-задачах). В трёхмерных задачах также существуют 2 типа трансформации – прямоугольная (растяжение в одном, двух или трёх взаимно перпендикулярных направлениях) и сферическая (сферическая область растягивается в радиальном направлении).

После разбиения области на конечные элементы дифференциальные уравнения решаются методом конечных элементов. Суть состоит в том, чтобы неизвестную функцию, являющуюся решением дифференциального уравнения аппроксимировать функцией, поведение которой описывается конечным числом параметров, которые называются степенями свободы. Такая функция представляется в виде разложения по так назы-

94

боды в случае лагранжевых элементов являются значения функции-решения в лагранжевых точках. Для каждой лагранжевой точки базисная функция определяется как кусочная функция, являющаяся многочленом порядка , принимающая в данной точке значение 1, а в других точках – 0. Функция, являющаяся решением дифференциального уравнения, в отдельно взятом элементе представляется в виде линейной комбинации базисных функций, взятых со значениями функции в лагранжевых узлах в виде коэффициентов разложения. Порядок лагранжевых элементов может быть любым, но действие фор-

Элементы Аргириса. Применимы только для 2D-обла- стей с треугольным разбиением. Главным преимуществом по сравнению с лагранжевыми элементами является непрерывность производных базисных функций при переходе от одного элемента к другому. Также, базисные функции обладают непрерывной второй производной в вершинах треугольников. В каждом конечном элементе функция-решение представляется в виде многочлена 5-й степени от локальных координат. Степенями свободы при использовании таких элементов являются: значения искомой функции на углах, значения первых и вторых производных по пространственным координатам на углах, а также нормальные производные искомой функции на середине каждой из сторон треугольника, причём нормаль выбирается таким образом, что она направлена вправо при движении по ребру от точки с меньшим номером к точке с большим номером.

Эрмитовы элементы. Базисные функции здесь, так же, как и в лагранжевых элементах, представляют собой много-

члены степени от локальных координат. Разница заключается в том, что для эрмитовых элементов вместо значений искомой функции в вершинах элементов разбиения берутся пространственные производные в этих точках, в то время, как остальные степени свободы для лагранжевых и эрмитовых элементов совпадают. Таким образом, искомая функция имеет непрерывные производные в вершинах разбиения. Порядок

96

эрмитовых элементов должен быть больше или равен 3. Действие формул для интегрирования ограничивается случаем

≤5 ( ≤ 4 для тетраэдральной сетки).

Пузырьковые элементы. Функции формы для этих элементов представляют собой многочлен наименьшей степени, такой, что значения функций на сторонах элемента равны 0, а в середине элемента функция имеет максимум (для каждого элемента, таким образом, имеется только одна функция формы).

Векторные элементы. Каждый элемент имеет только степени свободы, соответствующие касательной компоненте векторного поля. Таким образом, касательная компонента векторного поля непрерывна при переходе от одного элемента к другому, а значит, ротор векторного поля - интегрируемая функция, поэтому эти элементы широко используются в областях, где физические процессы описываются с помощью понятия ротора векторного поля, например, в электромагнетизме. Порядок векторных элементов в 3D случае максимум 3, в 1D и 2D случаях – максимум 4.

Разрывные элементы. Случай, похожий на случай лагранжевых элементов с тем различием, что в этом случае базисные функции терпят разрыв при переходе от одного элемента к другому. Действие формул для интегрирования огра-

ничивается случаем ≤ 5 ( ≤ 4 для тетраэдральной сетки).

Если элементы не искривлены, случай аналогичен случаю разрывных элементов. Если же элементы искривлены, то функции, определяющие плотность, выражаются в локальных координатах, и их вид в пространственных координатах определяется формулами перехода от локальных к пространственным координатам.

Гауссовы точки. Определяют степени свободы, соответствующие Гауссовым точкам, использующимся при интегрировании. Для вычисления этих степеней свободы и использования их в уравнениях необходимо создать переменную с таким же названием. Использование элементов такого типа целесообразно, например, для хранения величин переменных в точках интегрирования при наличии в задаче явления гистерезиса.

97

Дивергентные элементы. В этом случае степени свободы на границах соответствуют нормальным компонентам поля,

авнутри элементов – всем компонентам, так, что при переходе от одного элемента к другому нормальная компонента векторного поля непрерывна и дивергенция вектора является интегрируемой функцией, поэтому данный тип элементов применяется, например, в электромагнетизме, когда зависимой переменной является индукция магнитного или электрического поля. Порядок дивергентных элементов в 3D случае максимум 3, в 1D и 2D случаях – максимум 4.

Скалярная волновая базисная функция. Используется при решении скалярных волновых уравнений типа уравнения Гельмгольца, используя ультраслабую вариационную постановку. Данные базисные функции терпят разрыв при переходе между двумя элементами.

Ещё одной важной частью COMSOL Multiphysics является блок постобработки и визуализации данных. Операции, отвечающие за постобработку и визуализацию данных, можно поделить на следующие категории: множества данных, графики и группы графиков, расчёт величин и таблицы, экспорт данных и отчёты.

Множества данных – содержит данные, на основании которых строятся графики. В этом разделе содержатся следующие операции:

Нахождение среднего или вычисление интеграла. Осуществляет нахождение интеграла или среднего значения на основании других множеств данных для последующего построения, например, в зависимости от времени.

Контурные 2D-линии. Применяется для вычисления исследуемых величин и построения 1D графиков, а также линейных 2D-графиков и 2D-графиков стрелок вдоль 2D контурных линий.

2D и 3D секущие линии. Создание линий в 2D или 3D для последующей визуализации данных вдоль этих линий.

98

Секущие плоскости в 3D. Создаётся секущая плоскость

в3D-геометрии для дальнейшего исследования поведения величин в этой плоскости.

Секущие точки в 1D, 2D, 3D. Используются для вычисления и построения графиков исследуемой величины в точке от времени или от параметра при использовании параметрического решателя, а также для последующего создания 1D, 2D и 3D точечных графиков.

Края в 2D и 3D. Используются для вычисления и визуализации исследуемой величины вдоль границы (2D) или края области(3D).

1D, 2D, 3D-функции. Вычисление заданной функции в области (интервале для 1D-функции, прямоугольнике для 2Dфункции и параллелепипеде для 3D-функции).

Изоповерхности в 3D. Используются для создания графиков стрелок на поверхности, поверхностных графиков и контурных графиков.

Нахождение наименьшего или наименьшего значения. Осуществляет нахождение наименьшего или наибольшего значения на основании других множеств данных для последующего построения, например, в зависимости от времени.

Сетка. Данная опция используется для последующей визуализации разбиения.

Зеркальное отражение в 2D и 3D. Используется для симметричного отображения решения задачи относительно выбранной оси (2D) или плоскости (3D). Используется для визуализации решения осесимметричных задач или задач с плоскостной симметрией.

Параметризованная кривая в 2D и 3D. Используется для последующей визуализации исследуемых величин вдоль заданных параметрических кривых.

Параметризованная поверхность в 3D. Используется для последующей визуализации исследуемых величин на заданной поверхности.

99

Параметрическое расширение (1D, 2D). Расширяет любое заданное множество данных путём добавления параметра (например, времени) в качестве дополнительной размерности.

1D и 2D вращение. Используется для визуализации решений 1D и 2D осесимметричных задач при создании 2D и 3D-графиков соответственно.

Решение. Используется для визуализации решения и анализа результатов. Решатели автоматически создают эти множества данных.

Поверхность. Используется для визуализации исследуемой величины на заданной поверхности в 3D-геометрии.

Группы графиков содержат один или несколько графиков (например, поверхностные графики и линии тока), основываясь на одном множестве данных. Можно создавать 1D, 2D, 3D группы графиков, а также группы графиков с использованием полярных координат.

В случае 1D групп графиков выделяются следующие типы графиков:

Глобальные графики (1D и в полярных координатах). Изображают зависимость скалярной величины как функции от времени или параметра.

Гистограмма. Показывает, распределение заданной величины в геометрии.

Линейные графики (1D и в полярных координатах). Изображают зависимость заданной величины вдоль линии, которая может быть краем, параметризованной кривой или секущей линией.

Графики Найквиста (1D и в полярных координатах). Показывают величину и фазу частотных характеристик в задачах с частотным типом анализа.

Точечные графики (1D и в полярных координатах). Показывают зависимость величины от времени или параметра

взаданной точке, которая может быть как точкой в геометрии, так и секущей точкой.

100