3364
.pdf
= ∙ .
Из уравнений Максвелла следует формула Пойнтинга:
− |
∙ |
|
+ |
∙ |
|
= |
(П1.1) |
|
|
||||||
= ∙ |
+ |
( × |
) ∙ |
, |
|||
где первый член в правой части ответственен за джоулевы потери, а второй определяет поток электромагнитной энергии через поверхность S.
В случае, если материал линейный и изотропный, подынтегральные выражения в формулах для мощностей принимают вид:
∙ |
|
|
= |
|
∙ |
|
|
= |
1 |
∙ , |
|||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
2 |
|||||||
∙ |
|
|
= |
∙ |
|
|
|
= |
1 |
∙ . |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
||||||||
Подстановка этих выражения в формулу (П1.1) и изменение порядка дифференцирования по времени и интегрирования даёт:
− |
|
1 |
∙ |
+ |
1 |
|
∙ |
= |
|
2 |
2 |
|
|||||
= |
∙ |
+ |
( |
× |
) ∙ . |
|||
Подынтегральное выражение в левой части представляет собой плотность полной электромагнитной энергии:
161
= + = |
1 |
∙ + |
1 |
∙ . |
2 |
2 |
Квазистационарное приближение
Уравнение непрерывности и закон Максвелла-Ампера в этом случае принимают вид:
× |
= , |
∙ |
= 0. |
Сила Лоренца, действующая на единичный заряд, движущейся со скоростью , вычисляется по формуле:
=+ × .
Соответствующая объёмная плотность тока движущегося проводника имеет следующий вид:
= ( + × ) + ,
ауравнение закона Максвелла-Ампера:
× = ( + × ) + .
|
Условия на границе раздела двух сред |
||||
|
|
×( |
− |
) = |
, |
|
|
∙ ( |
− |
) = |
, |
|
|
× ( − ) = , |
|||
где |
– внешняя |
нормаль по отношению к области, занятой |
|||
∙( |
− |
) = 0, |
|||
средой 2, и – плотности поверхностного тока и поверхностного заряда.
Соответствующие условия для плотности тока имеют вид:
∙( − ) = − .
162
Помимо упомянутых выше граничных условий в интерфейсах модуля AC/DC имеется набор дополнительных граничных условий, позволяющих решать различные задачи из области электромагнетизма.
Основные уравнения механики сплошных сред
Уравнение Коши механики сплошной среды:
где |
– плотность, – |
радиус-вектор материальной точки, |
– |
||||
|
= ∙ |
+ |
, |
|
|||
тензор напряжений, |
– внешняя объёмная сила. |
|
|||||
|
В стационарном случае ускорение отсутствует, тогда |
||||||
уравнение Коши сводится к уравнению баланса сил: |
|
||||||
|
|
|
двух сред тензор напряжений должен |
||||
|
На границе раздела = ∙ |
+ |
, |
|
|||
быть непрерывен: |
|
|
|
|
|
||
где |
и |
– тензоры |
напряжений в материалах 1 и 2, |
– |
|||
( |
− |
) = |
, |
|
|||
внешняя нормаль по отношению к области, занятой материалом 1.
В некоторых случаях представляется возможным разделение тензора напряжений на компоненту, обусловленную электромагнитным полем, и тензор механических напряжений:
=+ .
Иногда вместо тензора электромагнитных напряжений используется электромагнитная объёмная сила:
∙ = ,
где – объёмная электромагнитная сила. Уравнение баланса сил в этом случае примет вид:
= ∙ + + .
163
Силы, действующие на упругое твёрдое тело, находящееся
ввакууме или пространстве, заполненном воздухом
Вэтом случае уравнение баланса сил и условие на границе тела имеют вид:
( − |
) + |
= |
внутри тела |
, |
|
на границе, |
|||||
∙ |
+ |
= |
тела |
где индекс «1» обозначает твёрдое тело, а индекс «2» – внешнюю область, занятую вакуумом или воздухом; – внешняя граничная сила, представляющая собой силу реакции, обусловленную другим телом, к которому рассматриваемое тело притягивается.
Для вычисления полной силы, действующей на тело, эти уравнения интегрируются по объёму тела и его границе:
( ∙ + ) + ( ( − ) + ) = .
ΩΩ
Всоответствии с теоремой Гаусса:
∙ |
− |
= . |
ΩΩ
Соответственно, внешняя сила, действующая на тело
= + ,
ΩΩ
должна уравнивать член, представляющий собой интеграл тензора напряжений в окружающем тело вакууме
= |
. |
(П1.2) |
|
|
Ω
164
Таким образом, |
|
В случае отсутствия внеш- |
них сил стационарность |
нарушается и тело начнёт движение |
|
+ = . |
|
|
под действием силы |
в соответствии со вторым законом |
|
Ньютона. |
|
|
Крутящий момент вычисляется по формуле:
= ( − ) ×( ) ,
Ω
где – радиус-вектор точки на оси вращения, относительно которой рассчитывается момент.
Силы в стационарных полях
Стационарные поля характеризуются соотношениями:
Тензор |
|
|
|
|
области, занимаемой воздухом, |
||||||
напряжений=в0, |
= 0. |
|
|
|
|
||||||
имеет вид: |
|
1 |
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
= − − |
|
∙ + |
∙ |
+ |
+ |
|
, (П1.3) |
||||
где – |
давление воздуха, |
– единичная матрица, |
и |
– век- |
|||||||
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|||||
торы размерности 3 1.
Если же среда заполнена вакуумом, а не воздухом, то
= 0 |
называется тензором напряжений |
|
. В этом случае |
||
Максвелла. |
|
, |
Так как для воздуха выполняются соотношения = |
||
=, то (П1.3) преобразовывается к виду:
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
баланса сил – |
+ 2 |
∙ |
+ |
+ |
, |
||||
а уравнение= − |
− |
2 |
∙ |
||||||
= ∙ − − |
1 |
|
∙ + |
1 |
|
∙ |
+ |
+ |
+ . |
2 |
|
2 |
|
||||||
165
В пустоте электромагнитная часть тензора напряжений исчезает, а уравнение баланса сил сводится к виду:
т.е. используя |
предыдущие обозначения, |
|
, |
|
. |
|
= − + |
, |
действующая на |
||||
Когда тело окружено воздухом, |
сила, |
= |
|
= − |
|
|
тело, вычисляется при помощи подстановки тензора напряже-
ний (П1.3) в поверхностный интеграл (П1.2). |
|
|
||||||||
Для |
упругого |
проводника |
(выполняются |
условия |
||||||
= , |
= ) тензор напряжений имеет следующий вид: |
|||||||||
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
||
где |
= |
− |
2 |
∙ |
+ |
2 |
∙ |
+ |
+ |
, |
В=отличие, =от воздуха. |
, здесь ненулевыми являются значе- |
|||||||||
ния объёмной плотности тока:
=× = 1 ×
иобъёмной плотности заряда:
= ∙ = ∙ .
Уравнение баланса сил в этом случае записывается в виде:
или, пользуясь |
предыдущими обозначениями, |
= + × |
= ∙ + + × + , |
|
.
Для обобщённого упругого материала тензор напряже-
ний имеет наиболее общий вид:
= ( , ) − |
1 |
|
1 |
|
|
|
2 |
1 |
∙ + |
2 |
∙ − ∙ + |
||
+ |
+ |
+ |
− |
, |
||
где зависимость ( , |
) определяется моделью материала. |
|||||
166
Силы, действующие на движущиеся тела
В случае, если тело движется с постоянной скоростью, некоторые величины в описанных выше уравнениях заменяются инвариантами Галилея – величинами, не изменяющимися при координатных трансформациях вида = + . Используются следующие инварианты:
= |
+ |
× , |
= |
− |
, |
= + ( ∙ ) − ×( × ),
= + × ,
= − × − .
В области, окружающей движущееся тело, заполненной вакуумом или воздухом, тензор напряжений примет вид:
= − − |
1 |
∙ |
+ |
1 |
∙ + |
2 |
2 |
++ +( × ) .
Для упругого чистого проводника формула будет следующей:
= − |
2 |
∙ |
+ |
2 |
∙ |
+ |
1 |
|
1 |
|
(П1.4) |
||
++ + ( × ) .
Уравнение баланса сил изменяется за счёт электромагнитного члена:
+ × = ∙ + .
В результате будем иметь:
= ∙ + + × + .
167
Для обобщённого упругого материала величины в тензоре напряжений (П1.4) также заменяются на соответствующие инварианты:
= |
, − |
1 |
|
∙ + |
1 |
∙ − |
∙ |
+ |
|
2 |
|
2 |
|||||||
+ |
+ |
1 |
|
+ |
− |
+ ( |
× |
) . |
|
Электромагнитная энергия и виртуальная работа
При условии постоянства магнитного потока полная магнитная сила, действующая на систему, вычисляется как:
= − .
Если система вращается вокруг оси, крутящий момент вычисляется следующим образом:
= − ,
где – угол вращения вокруг этой оси.
При условии постоянного тока сила и момент вычисляются так же, только с противоположным знаком:
= ,
=.
При условии постоянства заряда полная электростатическая сила, действующая на систему, и крутящий момент, вычисляются следующим образом:
=− ,
=.
168
При условии постоянства потенциала эти величины имеют вид:
= ,
=.
Индексы в этих формулах обозначают постоянство соответствующей величины.
Основным уравнением, описывающим процесс переноса тепла в среде, является уравнение теплопроводности:
|
|
|
+ ( ∙ ) |
= |
(П1.5) |
|||||
|
|
|
||||||||
= −( ∙ ) + : − |
|
|
|
|
|
|
|
+ ( ∙ ) + , |
|
|
|
3 |
|
– |
|
||||||
где – плотность среды (кг/м ), |
удельная теплоёмкость |
|||||||||
при постоянном давлении (Дж/(кг К)), |
– абсолютная темпе- |
|||||||||
ратура (К), – вектор скорости (м/с), |
– вектор потока тепла |
|||||||||
по причине теплопередачи (Вт/м2), |
– давление (Па), |
– тен- |
||||||||
зор вязких напряжений (Па), |
|
|
обозначает источники тепла, за |
|||||||
исключением вязкостного нагрева (Вт/м3), – тензор скоро-
стей деформации (1/с): |
1 |
( |
+( ) ), |
|
= |
||||
2 |
||||
: = |
|
. |
||
К этому уравнению необходимо добавить уравнение закона сохранения масс:
+ ∙( ) = 0.
Процесс теплопередачи описывается законом Фурье, который гласит, что поток тепла, обусловленный теплопередачей, пропорционален градиенту температуры:
169
= − |
|
, |
(П1.6) |
|
где – коэффициент теплопроводности (Вт/(м К)). В анизотропном случае представляет собой тензор и (П1.6) примет вид:
= − |
|
. |
|
При подстановке уравнения закона сохранения масс в уравнение теплопроводности и пренебрежении вязкостным нагревом (второе слагаемое в правой части уравнения теплопроводности) и работой давления (третье слагаемое в правой части уравнения теплопроводности) получим:
|
|
|
|
|
равна нулю, получим уравнение |
||
|
|
В случае, когда+скорость∙ |
= ∙( )+ . |
||||
чистого кондуктивного теплообмена: |
|
||||||
|
|
|
|
|
варианты( |
)граничных условий для |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
Имеются следующие+ ∙ − |
= . |
||||
задач на теплоперенос: |
|
|
|||||
|
− |
= |
температуры |
на выбранных границах; |
|||
|
– задание , где (Вт/м2) может характеризовать по- |
||||||
|
∙ (− ) = |
|
|
||||
верхностный источник тепла, внутренний поток тепла |
или из- |
|
лучение тепла в окружающую среду. В последнем |
случае |
|
= ( |
− ), где – коэффициент теплового излучения, |
|
=5.67∙10 Вт/(м ∙К ) – постоянная Стефана-Больцмана,
–температура окружающей среды;
периодическое условие – равенство температур на выбранных границах.
Если модель включает в себя акустические процессы, то используется дифференциальное уравнение 2-го порядка
170