1.8. Обратная решетка и дифракция рентгеновских лучей

ния (1.56)).

,

,

(уравне-

условие выполнялось для тройки некомпланарных трансляций

Умножив первое из уравнений (1.56) на

, второе

на

и третье на и

получим

вместо трех

просуммировав эти уравнения с учетом (1.18) и ( 1.35),

=

= ,

=

λ

–

0

(1.57)

+

+

где

Уравнение

(1.57)

вектор обратной решетки.

называют

интерференционным уравнением. Из него

решеткой, происходит в том случае, когда вектор рассеяния

.

, делен-

ный на длину волны , совпадает с вектором обратной решетки

= − 0

Условие возникновения интерференционного максимума при отражении

λ

рентгеновских лучей параллельными атомными плоскостями

( )

задается

формулой Вульфа-Брэгга:

(1.58)

и падающим (или отраженным) лучом,

где – угол между

плоскостью

2

sin = ,

– межплоскостное

расстояние, – целое число, называемое порядком от-

( )

ражения.

Покажем, что формула Вульфа-Брэгга следует из интерференционного

торами

и

(рис. 1.14). Эта плоскость будет кристаллографической плоско-

стью

так как она перпендикулярна вектору

,

0

параллельному радиус-вектору некоторого узла об-

( ),

.

=

ратной

решетки

Как видно из рис. 1.14,

. С

другой

стороны,

согласно (1.57),

| | = 2 sin θ

0

,

таким образом, мы при-

0

−

ходим к формуле (1.58).

| |⁄λ =

|

| = /

Интерференционное уравнение (1.57) допус-

Рис. 1.14. К выводу

кает простую геометрическую интерпретацию. По-

формулы Вульфа-

местим конец вектора

в начальную точку

Брэгга

обратной решетки и вокруг начала

этого вектора

0⁄λ

опишем сферу радиусом

(рис. 1.15). Такую сферу называют сферой рас-

1.9. Задачи

Пространственная решетка

1. На рис. 1.16 показана двумерная «структура пче-

линых сот» (атомная структура плоских слоев в графите).

Объяснить, почему такая система точек не является решет-

кой Бравэ. Определить соответствующую данной структу-

ре решетку Бравэ, выбрать одним из возможных способов

элементарную ячейку и указать координаты атомов базиса.

2. Доказать, что объем элементарной ячейки выража-

Рис. 1.16

ется через ее параметры

,

,

,

,

,

формулой (1.2).

[Решение. В некоторой прямоугольной системе координат объем элементарной ячей-

ки выражается через

компоненты основных векторов трансляций в виде определителя:

α

β

γ

.

= ∙[ × ] =

Возведя его в квадрат и используя свойства определителя

, получим

2

=

=

∙

=

∙

+

+

+ +

с + с

+ с

=

+

+

+

+

+

+

или

с

+

с + с

+

+

+

+

2

∙

∙

∙

2

cos γ

cos β

2

cos α .

= ∙

∙

∙ = cos γ

cos β

cos α

получим формулу (1.2) .

2

Раскрыв этот определитель∙,

∙

∙

]

3. Показать математически, что основные векторы

=

− + + ,

вида (см. рис. 1.17)

2

−

+ ,

=

=

2

+

−

порождают

2

, [,

– попарно

Рис. 1.17

виду

ОЦК решетку Бравэ с параметром

.

= + +

(

ортогональные единичные векторы).

Решение В данном случае вектор решетки

+ ∙( + + )⁄2

можно привести к

случая = −

−

− + +

1)

+

, +

. Возможны два

+ +

=

2

четная и когда нечетная:

(1.59)

– когда сумма

2) = ( − ) +,( − ) + ( − ) ;

+ +

=

тогда

2 + 1

+ +

.

(1.60)

Векторы = ( − ) + ( − ) + ( − ) +

2

тогда

зуют ОЦК решетку].

8/3

≈ 1.633.

4. Показать, что «идеальное» соотношение / для ГПУ решетки равно

5. Коэффициент компактности

решетки определяется как отношение

объема, занимаемого атомами (

сферами) в элементарной ячейке, к объему этой

=

4

3

где

– число атомов,

3

,

приходящихся на элементарную ячейку,

– объем эле-

ментарной ячейки,

–радиус атома, который принимается равным половине

расстояния

между

центрами ближайших атомов. Определить коэффициент

компактности для решеток простой кубической, ОЦК, ГЦК, ГПУ и алмаза.

Кристаллографические индексы

6. На рис. 1.18 показан фрагмент кубической

решетки. Найти:

1) индексы узлов 3, 7, 19 и 25, если начало ко-

ординат совпадает с узлом 5;

2) индексы узловых рядов, проходящих через

узлы: а) 1 и 9; б) 3 и 23; в) 13 и 9;

3) индексы плоскостей, проходящих через уз-

лы: а) 1, 4, 5; б) 3, 7, 19; в) 15, 21, 16.

(011)

(213)

7. В пределах элементарной ячейки кубическо-

[111]

[111]

[132]

и

и

го кристалла изобразить плоскости

Рис. 1.18

направления

,

, [210],

.

8. Доказать, что в примитивной решетке параллельные плоскости

и

9.

+

+

+

делят телесную диагональ элементарной ячейки на

частей,

а

диагона-

( )

.

частей.

[[312]]

ли граней элементарной ячейки – на

,

и

+ +

[[101]].

Найти

индексы

узлового

ряда, проходящего через узлы

[[320]]

[[302]]

[[011]]

,

и

10. Найти индексы плоскости, проходящей через узлы

11. Узловая плоскость отсекает на осях координат отрезки,

равные

3

,

,

. Определить ее индексы.

[ 1 1 1

[[ 1

+ ,

[ ],, где

целое число].

1 + , 1

+

2

12.

Найти индексы узлов, принадлежащих узловому ряду с индексами

]]

13.

−

]].

[Ответ:

проходящему через узел [

14. В( )

+ + = 0

Доказать, что первые три индекса Бравэ узловой

плоскости

связаны соотношением

.

[1120]

[2023]

шестигранной призме решетки ГПУ (рис. 1.19)

(0001) (1010) (1011)

(1122)

изобразить направления

и

и

,

а также обозна-

чить плоскости

,

,

.

15.

Рассмотрим переход

от «старой» кристаллогра-

Рис. 1.19

фической системы координат с базисом

,

,

к «новой»

системе координат с базисом

,

,

Новые базисные

.

векторы можно разложить по

старым базисным векторам и наоборот:

′

′

′

′′

11

12

13

11

12

13

′,

= α21

+ α22 + α23 ,

= β21

′+ β22

′ + β23

= α31 + α32 + α33 ;

= β31

′+ β32

′ + β33

′.

казать, взаимно обратные. Доказать, что при

(α

) и

(β )

Матрицы «прямого» и «обратного» преобразований

, как легко по-

нат:

переходе к новой системе коорди-

а) индексы направлений

(а также координаты узлов решетки) пре-

образуются по формулам

′ = 11 + 21

+ 31

,

[ ]

+ 32

,

′ = 12 + 22

б) индексы

′ = 13 + 23 + 33 ;

′( = α)11 + α12 + α13 ,

плоскостей

преобразуются по формулам

в) объемы новой и

′

= α21 + α22 + α23 ,

′

= α31 + α32 + α33 ;

16. В гексагональном

′⁄ = detα

.

старой элементарных ячеек связаны соотношением

кристалле осуществлен

переход к т. н. ортогексаго-

нальной системе координат с базисными векторами

,

.

и соотношение между объ-

Определить параметры новой элементарной ячейки ′ = 2 + , ′ =

′ =

Обратная решетка, расчетные формулы кристаллографии

решетке совпадает с

[ ]

[ ]

перпен-

17. Показать, что в кубическом кристалле любая плоскость

дикулярна направлению

(иначе говоря, направление

обратной

( в )

направлением

в прямой решетке).

для куби-

18. Найти направляющие

косинусы нормали к плоскости

[ ]