для любых

,

,

. Как ( , , ) = ( + , + , + )

или

( )

известно из математики, такая функция

может быть

представлена в виде ряда Фурье

× exp 2

+ +

( , , ) =

+∞

+∞

+∞

(1.38)

=−∞ =−∞ =−∞

с коэффициентами

=

1

по

+

(1.39)

( , , ) × exp −2

+

,

шетки

:

ячейке

где – объем элементарной ячейки. Величина в квадратных скобках представ-

и вектора обратной ре-

ляет собой скалярное произведение радиус-вектора

∙ =

+

+

∙ (

+

+

) =

+

+

.

Поэтому, равенства (1.38) и (1.39

) можно переписать в виде

( ) =

exp(2 ∙

),

(1.40)

=−∞ =−∞ =−∞

) .

=

( ) exp(−2 ∙

(1.41)

Последнее

ячейке

творяет

( )

выражениепо

каждому узлу обратной решетки ставит в соответ-

ствие определенный коэффициент Фурье. С учетом (1.34), легко видеть, что

функция

, представленная в виде ряда Фурье (1.40), действительно удовле-

условию трансляционной инвариантности (1.37).

а уравнение плоскости ( ),

=

= ,

(1.43)

(1.42)

проходящей через начало координат –

Исключив из системы

′ + ′ + ′ = 0.

[ ]

(1.44)

ности узлового ряда [ ] и ( )

( )

,

и

уравнений (1.42) и (1.43) переменные

, получим

условие того, что плоскость

лежит в зоне

(т.е.

условие параллель-

′

′

′

плоскости

):

Это уравнение называют

+ + = 0.

правилом зон Вейса или уравнением зональности.

Отметим, что правило зон (1.44) легко получить из условия перпендику-

плоскостям

)

и вектора

+

+

ленного

( )

[ ]

=

= + +

лярности вектора обратной решетки

(перпендикулярного

прямой решетки

,

направ-

вдоль оси зоны

:

Найдем ( ) ,

[ ].

Зоне плоскостей прямой

решетки в обратной решетке соответствует узло-

.

∙

= 0.

[ ]

две плоскости

и

Запишем

вая плоскость

( 1

перпендикулярная оси зоны

( 1

1 1)

( 2

2 2)

щих через

1 1)

( 2

2 2)

теперь выражения для индексов оси зоны

,

в которой лежат

1

′ + 1

′ + 1

′

уравнения плоскостей, проходя-

= 0,

и

:

начало координат и параллельных плоскостям

2

′ + 2 ′ + 2

′ = 0.

1

2 ′

1

2

=

1

2 ′

1

2

=

1

2

′

1

2

.

(1.45)

Сравнивая (1.4

−

−

−

5) и (1.43), получаем искомые выражения для индексов оси зоны:

1 2

1

2

(1.46)

= 11 22− 112,2

Для нахождения

индексов

,

, по формулам (1.46) удобно пользовать-

=

− .

ся следующим мнемоническим

правилом «перекрестного умножения»:

1

1

1

1

1

1

2

2

2

2

2

2

слева направо, то произведение берется со знаком плюс, а если справа налево –

принадлежат одной зоне. В этом случае система

( 1 1 1) ( 2 2 2)

( 3 3 3)

то со знаком минус.

,

и

Найдем условие того, что три плоскости

ний

линейных однородных уравне-

1

1

1

2

2

2

3

3

3

2

2

2

= 0

3

3

3

.

(1.47)

1

1

1

1.7. Вычисление расстояний и углов в кристаллах

1. Длины векторов прямой и обратной решеток.

= + +

Получим формулу для вычисления длины вектора

пространственной решетки:

| | =

∙

= ( 2 2

+ 2 2 + 2 12/2+

(1.48)

Если

,

,

+2 cos γ + 2 cos β + 2 cos α )

| |

– координаты узла, ближайшего к началу координат, то величина

Формула (1.48)

[ ]

определяет период идентичности (т.е. расстояние между ближайшими

узлами) узлового ряда

.

справедлива для кристаллов с произвольной формой эле-

рии эта формула упрощается, например, для ортогональных элементарных яче-

ек (α = β = γ = 90°) она примет вид

2

2

2

2

(1.49)

| =

2

2

+

+

.

|

= + + обратной решетки:

вектора

=

Аналогично

вычисляется

длина

=

2

2

+

2

2

2

2

+

21.

(1.50)

2.

∙

= (

+

)

+2

cos γ

+ 2

cos β + 2

cos α

Вычисление межплоскостных расстояний.

12

=

|

|2

=

Учитывая (1.26) и (1.50), получим

=

2

2

+

2

2

+

2

2

+ 2

cos γ

+ 2

cos,β

+,

2,

cos α

.

Выражая согласно формулам (1.30) параметры

получим

общую

через пара-

метры элементарной ячейки прямой решетки,

формулу для

,

,

α

β γ

1

1

2

2

2

вычисления межплоскостных расстояний:

2

=

ω2

( ⁄sin α)2

+

( ⁄sin β)2

+

( ⁄sin γ)2

+

2

2

+

(cos αcos β − cos γ) +

(cos γcos α − cos β) +

+

(cos βcos γ − cos α) ,

(1.51)

где величина ω определяется формулой (1.31).

Наличие определенных соотношений между параметрами элементарной

( = = , α = β = γ = 90°) она примет вид

кубической сингонии

ячейки упрощает формулу

(1.51). Например, для

1

=

2

+ 2

+ 2

.

(1.52)

2

2

3. Вычисление углов между кристаллографическими направлениями и

плоскостями.

2и 2]

,

между 1 1 1 =

[ 1 1

1]

[ 2

для

расчета

угла

между

двумя

Получим

формулу

направлениями

1 + 1

+ 1

2 2 2 = 2 + 2 + 2

и

. Этим направлениям

соответствуют векторы

φ

косинус угла

ними ра-

вен

cos φ = 1 1 1 2 2 2 =

1 1 1 ∙ 2 2 2

=

∙ [ 1 2

2

+ 1 2

2

+ 1

2

2

+

1 1 1

2 2 2

1

Угол

+

( 1 2 + 1 2) cos γ + ( 1 2

+ 1 2) cos β +

(1.53)

между 1 1 1 и 2 2 2

вычисляются по формуле (1.48).

где длины векторов

1

2

1

2

образом,

1 1 1

двумя плоскостями

2 2 2

и

равен углу между

= 1

+ + 1

+ 1

= 2

+ 2

+ 2

нормалями

θк этим плоскостям. Такими

нормалями являются векторы обратной

( 1 1 1)

( 2

2 2)

, таким

решетки

и

cos θ =

1 1 1

∙ 2 2 2

=

=

1 1 1

2 2 2

∙ 1 2 2 + 1 2 2 + 1 2 2 +

1

1 1 1 2 2 2

2

+ 1

2) cos β +

+( 1 2 + 1 2)

cos γ + ( 1