3177

Для левой части уравнения имеем

(4.14)

Здесь учтено, что в соответствии с уравнением (4.9) есть сопро-

тивление элементарного участка проводника длиной dl. Суммируя элементарные сопротивления, получаем полное сопротивление участка R. Интегрируя правую часть уравнения (4.13) вдоль цепи на участке 1—2, имеем

(4.15)

где представляет собой электродвижущую силу (ЭДС), действующую на данном участке цепи. Электродвижущая сила численно равна работе сторонних сил, совершаемой при перемещении единичного положительного заряда вдоль участка цепи. ЭДС измеряется в вольтах. С учетом (4.14) и (4.15) мы получаем обобщенный закон Ома для неоднородного участка цепи в интегральной форме:

(4.16)

Для замкнутой цепи точки 1 и 2 совпадают, поэтому θ1 = θ2 и

(4.17)

ПРАВИЛА КИРХГОФА. Цепи постоянного тока могут иметь сложный разветвленный вид. В этом случае их расчет основывается на законах Кирхгофа. Первый закон Кирхгофа является следствием уравнения непрерывности для постоянного тока (4.6). Пусть имеется узел, в котором сходится несколько проводников, как показано на рис. 4.1.

I1

I2

I3

I4

Рис. 4.1. Токи в узле цепи

31

Тогда в соответствии с (4.7) первый закон Кирхгофа можно сформулировать в следующем виде: алгебраическая сумма токов, сходящихся в узле, равна нулю:

(4.18)

При этом токи, идущие к узлу, и токи, исходящие из узла, следует считать величинами разных знаков.

Второй закон Кирхгофа относится к любому выделенному в разветвленной цепи замкнутому контуру. Рассмотрим некоторый выделенный замкнутый контур и зададим направление его обхода, например, по часовой стрелке, как показано на рис. 4.2. Напомним, что на схемах положительный электрод источника постоянной ЭДС обозначается длинным отрезком, а отрицательный — коротким.

Рис. 4.2. Обход контура в цепи постоянного тока с источниками ЭДС

Для каждого неразветвленного участка между соседними узлами применим обобщенный закон Ома (4.16). Записав совокупность таких уравнений вдоль всего контура, а затем сложив их, получим второй закон Кирхгофа:

(4.19)

согласно которому алгебраическая сумма произведений сил токов в отдельных участках произвольного замкнутого контура на их сопротивления (сумма падений напряжений) равна алгебраической сумме ЭДС, действующих в этом контуре.

32

При этом положительной считается такая ЭДС, когда обход контура внутри источника происходит в направлении от (-) к (+), а отрицательной — от

(+) к (-). Законы Кирхгофа позволяют рассчитать любую цепь постоянного тока на основе решения соответствующей им системы линейных уравнений.

ЗАКОН ДЖОУЛЯ-ЛЕНЦА. Прохождение электрического тока через проводник сопровождается выделением тепловой энергии. Рассмотрим однородный участок проводника. При переносе в этом участке проводника заряда q электрическое поле совершает работу

(4.20)

Поскольку скорость направленного движения электронов в цепи постоянного тока остается неизменной по ее длине, то вся затраченная работа выделяется в виде тепла Q и A = Q. Для постоянного тока q = It. Поэтому

(4.21)

а тепловая мощность

(4.22)

Соотношение (4.22) выражает закон Джоуля-Ленца. В неоднородном участке цепи работу могут совершать также сторонние силы. Можно показать, что для замкнутой цепи, содержащей один источник ЭДС,

(4.23)

то есть общее количество выделяемой в единицу времени тепловой энергии равно мощности только сторонних сил.

КВАЗИСТАЦИОНАРНЫЕ ТОКИ. ЗАРЯДКА И РАЗРЯДКА КОНДЕНСАТОРА. Введен-

ные понятия и законы постоянного тока могут быть использованы и при расчете квазистационарных токов, то есть токов, которые меняются медленно, если под силой тока I понимать ее мгновенное значение I (t). Под медленно меняющимися токами понимаются такие токи, когда характерное время их изменениянамного больше времени распространения электромагнитного поля вдоль цепи l/v (l — длина цепи, v — скорость распространения электромагнитного взаимодействия вдоль проводника): >> l/v. В этом случае все процессы в цепи можно рассматривать как одновременные без учета явлений запаздывания, обусловленных конечностью скорости распространения взаимодействия.

В качестве примера квазистационарного процесса рассмотрим процесс зарядки и разрядки конденсатора. Если обкладки заряженного конденсатора емкостью С замкнуть через сопротивление R, как показано на рис. 4.3, то в цепи потечет ток силой I (t). Запишем силу тока разрядки конденсатора:

(4.24)

33

Согласно закону Ома (4.16) для внешнего участка цепи, содержащего сопротивление R,

(4.25)

Учитывая связь между зарядом и напряжением в конденсаторе U = q /C, преобразуем уравнение (4.25) к виду

(4.26)

Рис.4.3. Цепь разряда конденсатора

Разделим переменные в этом диф- через сопротивление ференциальном уравнении:

(4.27)

После интегрирования получим:

времени.

Продифференцировав (4.28) по времени, найдем закон изменения тока со временем:

(4.29)

где I0 = q0 /η — сила тока в момент времени t = 0.

Аналогичным образом решается задача о зарядке конденсатора от источника постоянного тока в цепи, показанной на рис. 4.5.

Закон Ома для замкнутой цепи принимает вид

(4.30)

Разделение переменных дает

(4.31)

Интегрирование этого уравнения с начальным условием q = 0 при t = 0 приводит к следующему решению:

(4.32)

34

где qm = εC — максимальное значение заряда конденсатора при t → ∞, η = RC. Ток со временем изменяется по закону

(4.33)

где I0 = ε / R. График зависимости заряда от времени показан на рис. 4.6.

К о н т р о л ь н ы е в о п р о с ы и у п р а ж н е н и я

1.Как изменится сопротивление проводника, если его сложить вдвое?

2.Выведите формулу для сопротивления проводников при последовательном соединении.

3.Выведите формулу для сопротивления проводников при параллельном соединении.

4.Как изменяется тепловая мощность цепи, если ее сопротивление уменьшить на 10 %, а напряжение оставить неизменным, как это бывает, например, при ремонте утюга или электрической плитки?

5.За какое время конденсатор емкостью 1000 мкФ разрядится вдвое через сопротивление 10 кОм?

Глава 5. Магнитное поле в вакууме

На электрические заряды при наличии электрического поля всегда действует сила

(5.1)

где q — величина заряда, Е — напряженность электрического поля. Помимо этого, на движущиеся заряды может действовать сила, которая также пропорциональна величине заряда, а кроме того, пропорциональна скорости заряда и

35

направлена всегда перпендикулярно вектору скорости. Эту составляющую силы можно описать, введя понятие магнитного поля.

СИЛА ЛОРЕНЦА. Силовое действие магнитного поля характеризуется вектором магнитной индукции В. Полная сила, действующая на движущийся заряд, называется силой Лоренца. Она равна

(5.2)

Выражение (5.2) справедливо как для постоянных, так и для переменных электрических и магнитных полей. Подчеркнем, что на покоящийся электрический заряд магнитная составляющая силы Лоренца не действует. Не действует она и на заряд, движущийся вдоль линий магнитного поля В, поскольку в этом случае векторное произведение [v, B]=0. Постоянное магнитное поле не совершает работу над свободно движущимся зарядом. Действительно, мощность можно записать в виде

(5.3)

Поскольку векторное произведение [v, B], определяющее направление действия силы, перпендикулярно вектору скорости v, то фигурирующее в (5.3) скалярное произведение этих векторов равно нулю.

Это означает, что мощность равна нулю и энергия частицы, движущейся в постоянном магнитном поле, остается постоянной независимо от характера ее движения.

ОТНОСИТЕЛЬНЫЙ ХАРАКТЕР ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ И МАГНИТНЫХ КОМПОНЕНТ

ПОЛЯ. В нерелятивистском приближении сила Лоренца, как и любая другая сила, не зависит от системы отсчета. Однако изменение инерциальной системы отсчета меняет скорость частицы.

Так, в системе отсчета, связанной с частицей, ее скорость равна нулю и магнитная сила отсутствует. Для неизменности полной силы Лоренца (5.2) в соответствии с принципом относительности в разных системах отсчета необходимо соответствующее изменение напряженности электрического поля E → E/ = E - q [Δv, B], которое обеспечит постоянство силы при малых изменениях скорости. Тем самым разделение полей на электрическую и магнитную часть зависит от системы отсчета.

ПРИНЦИП СУПЕРПОЗИЦИИ МАГНИТНЫХ ПОЛЕЙ. Магнитное поле создается

движущимися зарядами. В практических приложениях обычно речь идет о магнитных полях, создаваемых электрическим током. Каждый элемент тока и каждый отдельный ток создают магнитное поле независимо. Вектор магнитной индукции полного поля равен векторной сумме магнитных полей, создаваемых каждым отдельным источником:

(5.4)

36

Соотношение (5.4) для магнитных полей носит название принципа суперпозиции. Этот принцип выполняется с высокой точностью в вакууме и большинстве веществ, но нарушается в таких веществах, как ферромагнетики.

ЗАКОН БИО-САВАРА-ЛАПЛАСА. Магнитное поле, создаваемое постоянными электрическими токами, можно найти с помощью закона Био-Савара-Лапласа, являющегося обобщением экспериментальных данных. Пусть по проводнику течет ток силой I, как показано на рис. 5.1. Бесконечно малый участок проводника, направленный в сторону тока, обозначим как вектор dl, а радиус-вектор

из точки проводника О в точку наблюдения А как вектор r.

Тогда бесконечно малый участок проводника с током создает в точке А в вакууме магнитное поле с индукцией:

ное движение в направлении тока, то его вращение (вращение рукоятки буравчика) указывает направление линий магнитного поля, показанного пунктиром на рис. 5.1.

Полное поле B, в силу принципа суперпозиции в вакууме, определяется интегрированием выражения (5.5) по всем элементам тока:

(5.6)

Прямой расчет по этой формуле часто бывает сложен, однако в некоторых случаях его можно провести в аналитическом виде до конца. Рассмотрим два простейших примера.

МАГНИТНОЕ ПОЛЕ БЕСКОНЕЧНОГО ПРЯМОЛИНЕЙНОГО ПРОВОДНИКА С

ТОКОМ. Согласно рис. 5.2 магнитные поля, создаваемые в произвольной точке всеми элементарными токами, имеют одинаковое направление, перпендикулярное плоскости рисунка.

37

ЗАКОН ПОЛНОГО ТОКА. Соотношение (5.11) справедливо для произвольного контура и утверждает, что циркуляция вектора В пропорциональна алгебраической сумме токов, охватываемых этим контуром. Ток считается положительным, если его направление связано с направлением обхода контура правилом винта. Ток противоположного направления считается отрицатель-

ным. Соотношение (5.11) называют законом полного тока или теоремой о полной циркуляции магнитного поля. Он может быть доказан на основе закона Био-Савара-Лапласа.

В общем случае такое доказательство проводится довольно сложно, и мы ограничимся его иллюстрацией для прямолинейного тока. Выберем контур, как показано на рис. 5.4, в виде окружности, перпендикулярной проводнику так, что ее центр пересекается проводником.

Рис. 5.4. Линия индукции магнитного поля, создаваемого бесконечным прямолинейным проводником с постоянным током

В этом случае контур совпадает с одной из силовых линий. В силу этого и . Вдоль контура, согласно соотношению (5.8), величина индукции В не меняется. Поэтому

(5.12)

что подтверждает справедливость закона полного тока для рассмотренного частного случая.

Теорема о циркуляции магнитного поля позволяет легко находить магнитное поле симметричных систем. В качестве примера найдем магнитное поле, создаваемое соленоидом. Соленоидом называется проводник, намотанный по винтовой линии на поверхность цилиндра.

40