3177

-

E- E

+ E+

Рис. 2.7. Поле внутри плоского конденсатора

Модуль напряженности поля вне конденсатора равен разности модулей напряженности полей, создаваемых каждой из пластин. В силу равенства по величине зарядов пластин он равен нулю.

В более сложных случаях применение теоремы Остроградского-Гаусса не позволяет непосредственно определить поле и для его расчета, как правило, приходится пользоваться принципом суперпозиции электрических полей.

К о н т р о л ь н ы е в о п р о с ы и у п р а ж н е н и я

1.Нарисуйте внутреннее электрическое поле (силовые линии) в плоском диэлектрике во внешнем однородном поле.

2.Где могут начинаться и заканчиваться линии напряженности электрического поля при наличии границы раздела диэлектриков?

3.Нарисуйте расположение линий индукции электрического поля относительно замкнутой поверхности для случая, если поток этого вектора равен нулю.

4.Как ведут себя свободные и связанные заряды в постоянном электрическом поле?

5.Нарисуйте график зависимости модуля вектора индукции электрического поля D от расстояния r до центра заряженного шара.

6.Пользуясь теоремой Остроградского-Гаусса, рассчитайте поле равномерно заряженного цилиндра бесконечной длины. Нарисуйте график зависимости D от расстояния r до оси.

7.Пользуясь теоремой Остроградского-Гаусса, рассчитайте поле равномерно заряженной сферы. Нарисуйте график зависимости индукции D от расстояния r до цента.

Глава 3. Потенциал и энергия электрического поля

ЦИРКУЛЯЦИЯ ВЕКТОРА НАПРЯЖЕННОСТИ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ПОЛЯ ПО ЗАМК-

НУТОМУ КОНТУРУ. Электростатические поля создаются точечными зарядами и являются суммой стационарных центральных полей. Как показано в механике, для

21

полей такого вида силы являются консервативными. Поскольку работа консервативной силы при перемещении тела по замкнутой траектории равна нулю, то

(3.1)

равна нулю и циркуляция вектора напряженности электрического поля по любому замкнутому контуру, то есть

(3.2)

ТАНГЕНЦИАЛЬНАЯ СОСТАВЛЯЮЩАЯ ПОЛЯ НА ГРАНИЦЕ РАЗДЕЛА ДИЭЛЕКТ-

РИКОВ. Потенциальность электрического поля позволяет установить связь между тангенциальными составляющими электрического поля у границы раздела двух диэлектрических сред. Выберем замкнутый контур, как показано на рис. 3.1, так, чтобы выполнялось неравенство .

Рис. 3.1. Преломление напряженностей электрического поля на границе раздела двух диэлектриков

Вычисляя интеграл (3.2) по этому контуру и пренебрегая вкладом малых сторон b, получим

(3.3)

где Е1 и Е2 — тангенциальные проекции векторов Е1 и Е2 на границу раздела диэлектриков. Из (3.3) следует условие на границе раздела

(3.4)

СВЯЗЬ МЕЖДУ НАПРЯЖЕННОСТЬЮ И ПОТЕНЦИАЛОМ. Поле консервативных

сил характеризуется потенциальной энергией U = U (x, y, z), которая связана с силой известным из механики соотношением

(3.5)

В соответствии с определением напряженности разделим обе части уравнения (3.5) на величину заряда q, на который действует поле.

22

Тогда получим

(3.6)

где θ = U / q — потенциал электрического поля — величина, численно равная потенциальной энергии единичного положительного точечного заряда.

Переход от напряженностей к потенциалам обладает тем достоинством, что потенциалы, в отличие от напряженностей, являются скалярными величинами. Производная от суммы равна сумме производных, и принципу суперпозиции для напряженностей соответствует принцип суперпозиции для потенциалов. Поэтому для нахождения потенциала, создаваемого системой зарядов, достаточно алгебраически сложить потенциалы, создаваемые каждым из зарядов в отдельности:

(3.7)

Использование принципа суперпозиции в форме (3.7) значительно проще, чем векторное сложение напряжѐнностей (1.7).

ПОТЕНЦИАЛ ПОЛЯ ТОЧЕЧНОГО ЗАРЯДА. Проверим прямым вычислением,

что потенциал, создаваемый точечным зарядом,

(3.8)

приводит к правильному выражению для напряженности электрического поля. Действительно,

(3.9)

что совпадает с формулой (1.6).

Часто в практических задачах встречаются нейтральные системы, состоящие из разноименных зарядов, разделенных в пространстве. Рассмотрим поле простейшей нейтральной системы из двух зарядов — электрического диполя в точке A, находящейся на расстоянии от положительного заряда и от отрицательного, как показано на рис. 3.2.

В соответствии с принципом суперпозиции (3.7) в точке А потенциал

(3.10)

Рассмотрим поле на расстоянии r от центра диполя, значительно превышающего размеры диполя, то есть когда выполняется неравенство . Тогда и Учитывая определение вектора дипольного момента , имеем

(3.11)

23

A

r+ r-

Рис. 3.2. Электрический диполь

ЭНЕРГИЯ ДИПОЛЯ ВО ВНЕШНЕМ ОДНОРОДНОМ ПОЛЕ. Энергия диполя во

внешнем поле как системы из двух зарядов определяется равенством

(3.12)

где — потенциал внешнего поля в точке, в которой находится положительный (отрицательный) заряд. Если изменением напряженности поля вдоль диполя можно пренебречь, то, используя связь между напряженностью и потенциалом однородного поля , получим

(3.13)

Из формулы (3.13) следует, что минимальную энергию диполь имеет в положении , то есть во внешнем электрическом поле свободный диполь ориентируется по направлению поля.

При перемещении по поверхности постоянного потенциала (эквипотенциальной поверхности) выполняется равенство

(3.14)

Условие (3.14) при ненулевом поле у поверхности может быть выполнено только в случае, если угол между Е и dr равен (рис. 3.3). Это значит, что силовые линии ортогональны эквипотенциальным поверхностям.

Рис. 3.3. Взаимное расположение векторов электрического поля и эквипотенциальной поверхности

24

ПРОВОДНИК В ЭЛЕКТРИЧЕСКОМ ПОЛЕ. Пользуясь свойствами поверхностей равного потенциала, рассмотрим теперь проводник, находящийся в постоянном электрическом поле. Под действием поля заряды в проводнике придут в движение до тех пор, пока не уравняют своим полем внутри проводника действующее извне поле. Это означает, что поле внутри проводника равно нулю и, следовательно, потенциал остается внутри проводника постоянным: θ = const. Поэтому поверхность проводника является эквипотенциальной. Следовательно, силовые линии перпендикулярны поверхности проводника.

Установим связь между поверхностной плотностью заряда проводника ζ и величиной электрического поля Е у поверхности. Выберем замкнутую поверхность в виде малого параллелепипеда с гранью, параллельной поверхности проводника (рис. 3.3) и содержащей элемент поверхности внутри себя. Приме-

где q — заряд части поверхности, находящейся внутри параллелепипеда, S — площадь грани, или

(3.16)

ЭЛЕКТРОЕМКОСТЬ УЕДИНЕННОГО ПРОВОДНИКА. Поскольку потенциал про-

водника является постоянной величиной для всего тела, то связь между зарядом проводника q и его потенциалом θ осуществляется коэффициентом пропорциональности С, который называется электроемкостью (часто — емкостью):

(3.17)

Электроемкость С измеряется в фарадах (Ф = Кл/В).

ЭЛЕКТРОЕМКОСТЬ КОНДЕНСАТОРА. Если проводник не уединен, то его емкость зависит от расположения других проводников, поскольку они искажают его поле. Система из двух противоположно заряженных и близко расположенных проводников называется конденсатором. Поле такой системы экранировано от внешних полей, и ее емкость остается практически постоянной.

Ранее, во второй лекции, мы нашли, что поле внутри плоского конденсатора

(3.18)

Определим емкость плоского конденсатора. Разность потенциалов θ = Ed, где d — расстояние между обкладками. С учетом (3.18) имеем

(3.19)

Следовательно, емкость плоского конденсатора

(3.20)

25

Отсюда ясно, что для увеличения емкости конденсатора необходимо увеличивать площадь поверхности обкладок S, уменьшать расстояние между ними d и увеличивать диэлектрическую проницаемость изолятора между обкладками.

ЭНЕРГИЯ СИСТЕМЫ ЗАРЯДОВ. Рассмотрим вопрос о потенциальной энергии взаимодействующих зарядов. Для точечных зарядов этот вопрос решается просто. Энергия взаимодействия двух точечных зарядов q1 и q2 в соответствии с

(3.8) равна

(3.21)

Энергия системы n зарядов равна сумме энергии их попарного взаимодействия:

(3.22)

В формуле (3.22) индекс суммирования удовлетворяет неравенству i > j для того, чтобы исключить повторный учет взаимодействия двух зарядов и взаимодействие заряда с самим собой, поскольку rij = 0.

Рассмотрим энергию, накапливаемую проводником при сообщении ему заряда. Чтобы увеличить заряд проводника на величину dq, необходимо совершить работу против сил электростатического отталкивания, равную

(3.23)

По закону сохранения энергии полная работа равна бесконечно малому изменению энергии dW проводника. Считая энергию незаряженного проводника равной нулю и учитывая уравнение (3.17), получим полную энергию с зарядом q, равную

(3.24)

Эта формула применима и к расчету энергии, накопленной произвольным конденсатором.

ПЛОТНОСТЬ ЭНЕРГИИ ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОГО ПОЛЯ. Найдем плотность

энергии в плоском конденсаторе. Здесь V — объем конденсатора. С

учетом (3.24) и (3.20) получим

(3.25)

Учитывая связь напряженности поля с индукцией (2.10), будем иметь

(3.26)

Выражение (3.26) показывает, что энергия заключается в самом электри-

ческом поле и можно говорить о плотности энергии электрического поля. Если

26

поле не является однородным, как в плоском конденсаторе, то, разбивая объем на бесконечно малые части и суммируя их энергии, получим выражение

(3.27)

для полной энергии электрического поля в объеме V.

К о н т р о л ь н ы е в о п р о с ы и у п р а ж н е н и я

1.Найти напряженность электрического поля, соответствующую потен-

циалу U = A (х2 + у2 + z2).

2.Вычислите криволинейный интеграл от вектора Е = Аxi + Вy j + Czk по участку (a, b) вдоль оси x, если Аx, Вy, Cz — константы.

3.Какова должна быть форма заряженного проводника, чтобы можно было применять формулу (3.16) для расчета поля?

4.Какими способами можно увеличивать емкость конденсатора и какие при этом возникают ограничения?

5.Выразите емкость батареи конденсаторов при последовательном соединении через емкости отдельных конденсаторов.

6.Выразите емкость батареи

Глава 4. Законы постоянного тока

Электрический ток представляет собой направленное движение зарядов. Мы ограничимся рассмотрением электрического тока в проводниках, главным образом в металлах. Носителями тока в проводящей среде могут быть электроны (в металлах и плазме), ионы (в электролитах и плазме), а также любые другие заряженные частицы. В отсутствие электрического поля заряженные частицы совершают хаотическое движение и ток отсутствует. При включении

27

электрического поля на хаотическое движение носителей накладывается упорядоченное движение со средними скоростями u+ для положительных и u_ для отрицательных зарядов.

ПЛОТНОСТЬ ТОКА. СИЛА ТОКА. Количественной мерой направленного движения ансамбля заряженных частиц служит вектор плотности тока

(4.1)

где ρ+ и ρ- — объемные плотности положительного и отрицательного носителей зарядов, u+ и u- — средние скорости положительных и отрицательных зарядов соответственно. Поскольку , а , направление вектора j совпадает с направлением скорости положительных зарядов. Вектор плотности тока описывает распределение потока зарядов по сечению проводника. Для постоянного тока в практически наиболее важном случае однородного проводника плотность тока остается постоянной по сечению и более удобной для описания является скалярная характеристика — сила тока I. Сила тока численно равна заряду, протекающему через поперечное сечение проводника в единицу времени:

(4.2)

Единицей измерения силы тока является одна из основных единиц системы СИ — ампер (А). Именно сила тока, а не величина заряда положена в основу стандарта СИ, поскольку величину силы тока легко измерить по ее электролитическому или магнитному действию.

Покажем связь между плотностью и силой тока. Для этого вычислим поток вектора j через сечение проводника с электронной проводимостью. В этом случае ρ = ρ-, u- = u, а поток вектора находится интегрированием по поперечному сечению проводника:

(4.3)

Если учесть, что и , получим

(4.4)

Таким образом, поток вектора плотности тока через любую площадку равен силе тока, протекающего через нее:

(4.5)

и для однородного проводника I = jS.

УРАВНЕНИЕ НЕПРЕРЫВНОСТИ ДЛЯ ПОСТОЯННОГО ТОКА. Полный электри-

ческий заряд в замкнутой системе не может изменяться — это фундаментальный закон природы, который носит название закона сохранения заряда. Заряды могут только перемещаться, а если возникают новые, то только парами с равными и противоположными по знаку зарядами. В силу этого поток вектора

28

плотности тока через замкнутую поверхность равен убыли заряда внутри этой поверхности в единицу времени. Математически это можно записать в виде

(4.6)

Это соотношение называется уравнением непрерывности. Оно является одной из математических формулировок закона сохранения заряда. Следует обратить особое внимание на то, что уравнение (4.6), в отличие от (4.5), справедливо только для замкнутой поверхности.

Особенно явно отличие этих законов видно в случае постоянного тока, когда распределение зарядов в пространстве должно оставаться неизменным, поскольку на место ушедших зарядов приходит такое же количество новых. Внутри замкнутой поверхности dq/dt = 0 и

(4.7)

Поле вектора j можно изобразить графически с помощью линий тока так же, как и поля векторов E и D изображались силовыми линиями. Из уравнения (4.7) следует, что линии постоянного тока являются замкнутыми. Если линия вышла из замкнутой поверхности, то она в нее и войдет.

При действии электрического поля положительные заряды в проводнике перемещаются от большего потенциала к меньшему. Разность потенциалов1– 2 в случае постоянного тока называется напряжением U12 = 1– 2. Напряжение численно равно работе электрического поля по перемещению единичного положительного заряда между заданными точками.

ЗАКОН ОМА ДЛЯ ОДНОРОДНОГО УЧАСТКА ЦЕПИ В ИНТЕГРАЛЬНОЙ ФОРМЕ.

Как показывает опыт, для однородных проводников справедлив закон Ома: сила постоянного тока I пропорциональна напряжению U, приложенному к проводнику:

(4.8)

где R — сопротивление проводника. Единицей сопротивления является Ом = В/А. Закон Ома справедлив для металлов и электролитов. Для таких сред, как плазма, полупроводники и газы, сопротивление является более сложной функцией напряжения и линейная зависимость (4.8) нарушается.

СОПРОТИВЛЕНИЕ ПРОВОДНИКА. В простейшем случае однородного проводника постоянного поперечного сечения S сопротивление проводника зависит от его длины l и площади S следующим образом:

(4.9)

где — удельное электрическое сопротивление, определяемое материалом проводника и его температурой.

29

Воспользовавшись формулой (4.9), закон Ома (4.8) можно переписать в

виде

(4.10)

ЗАКОН ОМА ДЛЯ ОДНОРОДНОГО УЧАСТКА ЦЕПИ В ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ

ФОРМЕ. Учтем, что в однородном поле U / l = E — напряженность электрического поля в проводнике, I / S = j — плотность тока. Тогда

(4.11)

где σ = 1 / ρ — удельная электропроводимость среды. Соотношение (4.11) вы-

ражает закон Ома в дифференциальной форме. В однородных и изотропных проводниках линии электрического тока, вдоль которых перемещаются электрические заряды, совпадают с направлением линий напряженности электрического поля. Поэтому закону Ома в дифференциальной форме можно придать векторный вид:

(4.12)

Если в проводнике имеется только электрическое поле, то под его действием произойдет перемещение зарядов в проводнике таким образом, что внешнее поле полностью компенсируется внутренним полем зарядов. Чтобы этого не произошло, необходимо существование в цепи участков, на которых положительные заряды двигаются в направлении возрастания электрического потенциала, а отрицательные — в направлении его уменьшения, то есть против сил электростатического поля.

Поэтому для поддержания тока в проводнике необходимы силы не электростатической природы. Такие силы называются сторонними. Физическая природа сторонних сил может быть различной. Они могут быть обусловлены, например, химической или физической неоднородностью проводника (гальванические элементы, аккумуляторы, термоэлементы).

ЗАКОН ОМА ДЛЯ НЕОДНОРОДНОГО УЧАСТКА ЦЕПИ В ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ

ФОРМЕ. Для количественной характеристики сторонних сил вводят понятие поля сторонних сил и его напряженность E* как стороннюю силу, действующую на единичный положительный заряд.

С учетом действия сторонних сил закон Ома в дифференциальной форме принимает обобщенный вид:

(4.13)

Перейдем теперь к интегральному закону Ома для неоднородного участка цепи. Неоднородным называется участок цепи, на котором действуют сторонние силы. Разделим обе части уравнения (4.13) на ζ и проинтегрируем вдоль контура проводника от точки 1 до точки 2.

30