2939

Это и приводит к результату, не имеющему смысла. Здесь снова причиной накопления погрешностей явился алгоритм решения задачи, который оказался неустойчивым.

Численный алгоритм называется корректным в случае существования и единственности численного решения при любых значениях исходных данных, а также в случае устойчивости этого решения относительно погрешностей исходных данных.

Понятие о сходимости. Сходимость означает близость получаемого численного решения задачи к истинному решению. Строгие определения различных оценок близости требуют привлечения аппарата функционального анализа. Мы ограничимся интдитивными понятиями близости.

Рассмотрим понятие сходимости итерационного процесса. Этот процесс состоит в том, что для решения некоторой задачи и нахождения искомого значения определяемого параметра (например, корня нелинейного уравнения) строится метод последовательных приближений.

В результате многократного повторения этого процесса (итераций) получается последовательность приближений x1, x2 ,..., xn, ... .

Говорят, что эта последовательность сходится к точному ре-

шению x a , если lim xn a . x

В этом случае имеем сходящийся численный метод.

21

2.МЕТОДЫ АППРОКСИМАЦИИ ФУНКЦИЙ

2.1.ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. ЛОКАЛЬНАЯ И ГЛОБАЛЬНАЯ ИНТЕРПОЛЯЦИЯ. СРЕДНЕКВАДРАТИЧНОЕ И РАВНО-

МЕРНОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ.

но из-за ее громоздкости (содержит трудно вычисляемые выражения, сложные интегралы и т.д.).

Наиболее распространенным и практически важным случаем

получаемые либо в результате расчетов, либо экспериментально.

На практике нам могут понадобиться значения величины y и в других точках отличных от узлов xi . Однако получить эти зна-

чения можно лишь путем очень сложных расчетов или проведением дорого стоящих экспериментов. То есть, с точки зрения экономии времени и средств мы приходим к необходимости использования имеющейся таблицы для вычисления y при любом значении (из

некоторой области) определяющего параметра x .

Этой цели и служит задача о приближении (аппроксимации)

мирующей.

На практике очень важен случай аппроксимации функции многочленом

22

стве точек xi , то аппроксимация называется точечной. К ней от-

носятся интерполирование, среднеквадратичное приближение и др. При построении приближения на непрерывном множестве то-

чек (например, на отрезке a, b ) аппроксимация называется непре-

рывной (или интегральной).

Точечная аппроксимация. Одним из основных типов точечной аппроксимации является интерполирование. Оно состоит в

При этом предполагается, что среди значений xi нет одинаковых,

(x) - интерполяционным многочленом. Близость интерполяцион-

ного многочлена к заданной функции состоит в том, что их значения совпадают на заданной системе точек (сплошная линия) (рис.1).

Максимальная степень интерполяционного многочлена m n . В этом случае говорят о глобальной интерполяции, так как один многочлен

находятся из системы уравнений (2.2). Можно доказать, что при xi xk ( i k ) эта система имеет единственное решение.

23

тике стараются подобрать аппроксимирующий многочлен как мож-

i 0

Для построения аппроксимирующего многочлена нужно подобрать коэффициенты a0 , a1,…, am так, чтобы величина S бы-

ла наименьшей. В этом состоит метод наименьших квадратов. Равномерное приближение. Во многих случаях, особенно

при обработке экспериментальных данных, среднеквадратичное приближение вполне приемлемо, т.к. оно сглаживает некоторые неточности функции f (x) и дает достаточно правильное представле-

ние о ней. Иногда, однако, при построении приближения ставится более жесткое условие: требуется, чтобы во всех точках некоторого

Возможность построения многочлена, равномерно приближающего данную функцию, следует из первой теоремы Вейерштрасса об аппроксимации:

25

степени не выше m , абсолютное отклонение которого от функции

чение элементарных функций (тригонометрических, показательных, логарифмических и др.). При ручном счете пользуются таблицами. Однако при вычислениях на ЭВМ ввод таблиц функций в машину потребовал бы больших объемов памяти. Кроме того, поиск нужного значения функции в памяти ЭВМ - не простая задача для машины. Поэтому для вычисления значений функции на ЭВМ использу-

26

Количество используемых членов ряда зависит от значения аргумента. В соответствии с правилами приближенных вычислений для предотвращения влияния погрешностей округления необходимо

Применение степенных рядов для вычисления значения функций приводит к погрешности, неравномерно распределенной по интервалу. При x 0 погрешность очень мала; при x 1 она вырастает.

Для совершенствования алгоритма вычислений целью более равномерного распределения погрешностей по интервалу применяют различные методы. В частности, используют многочлены Чебышева.

Рациональные приближения. Рассмотрим другой вид аппроксимации функций - с помощью дробно-рационального выражения. Функцию представим в виде отношения двух многочленов некоторой степени, например, третьей степени:

То, что, принято, c0 1 не нарушает общности выражения, т.к. при c0 1 числитель и знаменатель можно разделить на c0 . Перепишем

и учитывая члены до шестой степени включительно, получим:

Преобразуем правую часть этого равенства, записав ее разложение по степеням x :

27

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x в левой и правой частях, получаем следующую систему уравнений:

b0 a0

b0 , b1, b2 , b3 , c1, c2 , c3 необходимые для аппроксимации (2.8).

Пример. Найти рациональное приближение для функции f (x) sin 2x .

Решение. Представление (2.9) в данном случае упрощается из-

за нечетности функции f (x) sin 2x . В частности, в числителе можно оставить только члены с нечетными степенями x, а в знаме-

В данном случае система уравнений (2.9) принимает вид: b1 a1

b3 a3 a1c2

0 a5 a3c2.

28

Получаем систему:

a2 a3b3 ....

29