2939

при

i

3 :

x3

0.3;

y3

1.22

0.1(0.2

1.22)

1.362;

при

i

4 :

x1

0.4;

y4

1.362

0.1(0.3

1.362) 1.5282.

Обозначим di

yi

(xi )

(i 1,2,3,4)

и представим ре-

зультаты вычислений в таблице 11.

Таблица 11

i

xi

yi

(xi )

di

1

0.1

1.1

1.110342

0.005342

2

0.2

1.22

1.242805

0.011793

3

0.3

1.362

1.399718

0.019572

4

0.4

1.5282

1.583649

0.028738

МЕТОДЫ РУНГЕ-КУТТА

Численные методы решения задачи Коши

y

f (x, y) ,

y(x0 )

y0

на

равномерной сетке

x0

a, x1, x2 ,..., xm

b

отрезка

a,b с

шагом

h

b a

являются методами Рунге-Кутта, если, начиная с

m

данных ( x0 , y0 ) ,

решение ведется по следующим рекуррентным

формулам:

xi

xi

1

h ,

yi yi

1

yi 1

( i

1,2,..., m ),

p

yi

1

d j k ji 1 ,

(7.5)

j

1

k ji 1

hf (xi 1

c j h, yi 1

c j k ji

11 ) .

Метод называют методом Рунге-Кутта порядка p,

если он

имеет

p-й

порядок точности по шагу h,

на сетке.

Порядок точно-

сти

p,

достигается с помощью формул (7.5) при определенных зна-

чениях коэффициентов ci

и

di ( i

1,2,..., p );

c1

всегда полагают

1)

точное

решение

(x0 h)

и его

приближение

y1 y0

y0 (h)

представляют

в виде

разложения

по формуле

xi

xi 1

h,

yi

yi

1

yi 1,

(i 1,2,..., m),

y

i

1

d k i 1

k i 1

,

k

i 1

hf (x

i 1

, y

i 1

),

1 1

1

1

или

xi

xi 1

h,

yi

yi

1

hf (xi

1, yi 1).

Метод Рунге-Кутта второго порядка называют методом Эйле-

ра–Коши, если p

2, c

0,

c

1,

d

d

1

.

2

2

1

1

2

xi

xi 1

h,

yi

yi 1

yi 1,

y

1

k i

1

k i 1

,

k i

1

hf (x

, y

),

(7.6)

i

1

i

1

i

1

2

1

2

1

k2i

1

hf (xi 1

h, yi 1

hf (xi 1, yi

1 ))

(i

1,..., m).

Пример. Решить задачу Коши

y x

y , y(0) 1 методом

Эйлера-Коши на отрезке

0;0.4 , с шагом h

0.1 .

Решение. Формулы

(7.6)

в данном случае примут вид

k i 1

h(x

i 1

y

i 1

),

k i 1

h(x

i 1

h y

i 1

k i 1 )

1

2

1

x

x

h,

y

y

1

k i

1

k i

1

,

(i

1,..., m).

i

i 1

i

i

1

2

1

2

Полагая

x0

0,

y0

1,

последовательно находим:

при

i

1:

k 0

0.1(0

1)

0.1;

k

0

0.1(0

0.1 1

0.1)

0.12;

1

2

x

0

0.1

0.1;

y

1

1

(0.1

0.12)

1.11;

1

1

2

при

i

2 :

k 1

0.1(0.1 1.11)

0.121;

k 1

0.1(0.1

0.1

1.11

0.121)

0.1431;

1

2

x2

0.1

0.1

0.2;

y2

1.11

1

(0.121

0.1431) 1.24205.

2

Аналогично получаем,

при

i

3 :

x3

0.3;

y3

1.398465;

i

4 :

x4

0.4;

y4

1.581804.

Метод Рунге-Кутта

четвертого

порядка называют классиче-

ским

методом Рунге-Кутта, если

p 4, c 0, c

c

1

, c

1, d

d

1

, d

d

1

.

2

4

4

2

3

1

3

2

1

6

3

интегральной кривой.

Пример. Решить задачу Коши y x

y , y(0) 1

классическим методом Рунге-Кутта на отрезке

0;0.4 , с шагом

h 0.1 .

Решение. Так как f (x, y)

x y , то согласно формулам (7.7)

получаем:

k i 1

h(x

1

y

i

1

),

1

i

k i 1

h(x

1

h y

1

k i 1 ),

1

i

1

2

i

2

2

1

k i 1

h(x

h

y

1

k i 1 ),

1

i 1

3

i

2

2

2

k4i 1

h(xi 1

h yi 1

k3i 1 ),

для

значений

i 1, 2,3, 4.

Полагая x0 0,

y0

1,

последовательно находим:

при

i 1:

k

0

0.1(0

1)

0.1;

1

k

0

0.1(0

0.5

1

0.05)

0.11;

2

k

0

0.1(0

0.05

1

0.055)

0.1105;

3

k

0

0.1(0

0.1

1

0.1105)

0.121050;

4

x1

0

0.1

0.1;

y

1

1

(0.1

2

0.11

2

0.1105

0.12105)

1.110342;

1

6

при

i

2 :

k 1

0.1(0.1

1.110342)

0.1210342;

1

k31

0.1(0

0.05

1.110342

0.06604295)

0.1326385;

k41

0.1(0

0.1

1.11342

0.1326385)

0.1442980;

x1

0.1

0.1

0.2;

y

1

1

(k 1

2

k 1

2 k 1

k 1 ) 1.242805.

1

6

1

2

3

4

Далее получаем при

i

3 :

x3

0.3;

y3

1.399717;

i

4 :

x4

0.4;

y4

1.583648.

Таблица 12

i

xi

Значения yi ,

найденные методом

Точное ре-

шение

(x) 2e x x 1

Эйлера

Эйлера-

Рунге-

Коши

Кутта

1

0.0

1.0

1.0

1.0

1.0

2

0.1

1.1

1.11

1.110342

1.110342

3

0.2

1.22

1.24205

1.242805

1.242805

4

0.3

1.362

1.39846

1.399717

1.399718

5

0.4

1.581804

1.581804

1.583648

1.583649

y1

f1

(x, y1

, y2 ),

(7.8)

y2

f2 (x, y1, y2 ).

y1

1(x),

системы уравнений (7.8)

соответст-

Решению

y2

2 (x)

вует интегральная кривая

в пространстве

трех

измерений

(x, y1, y2 ) . Условия,

при

которых через

каждую точку

проходит

единственная интегральная кривая, содержится в теореме

существования и единственности решения.

Теорема. Если функции

f1 (x, y1, y2 )

и f2 (x, y1, y2 ) - правые

части дифференциальных уравнений системы

(7.8) – непрерывны

вместе со своими

частными производными по переменным

y1 и

y2

в некоторой области

D трехмерного пространства, то для

любой точки ( x0 , y10 , y20 )

D система (7.8) имеет единственное

решение, удовлетворяющее начальным условиям

y1 (x0 )

y10 , y2 (x0 )

y20 .

(7.9)

Задачи Коши для системы состоит в нахождении решения сис-

темы (7.8),

удовлетворяющего начальным условиям (7.9).

Если ввести векторные обозначения

y1 (x)

y1 (x)

f1 (x,Y )

Y (x)

Y (x)

f (x,Y )

y2 (x)

,

y2 (x)

,

f 2 (x,

) ,

Y

y10 (x)

Y0

, то задача Коши (7.8)-(7.9)

в векторной форме за-

y20 (x)

пишется так:

Y

f (x,Y ) ,

Y (x0 )

Y 0 .

(7.10)

Численное решение задачи Коши (7.10) состоит в том, что на

сетке отрезка

a, b требуется получить приближенные значения ко-

в узлах сетки xi (i

1,2,..., m).

ординат вектора Y (x)

Обозначим

вектор,

аппроксимирующий

решение

через

Yi

Y (xi )

i

1,2,..., m ,

а

его

координаты

–

через

yk i

(k 1,2;

i

1,2,..., m)

так,

что yk i

yk (xi ) .

Будем ис-

кать решение на равномерной сетке с шагом h

(b a) m.

Величина погрешности численного метода оценивается вели-

чиной d max di

,

где di

- погрешность решения на сетке с ша-

1 i m

гом h в точке xi

:

di (h)

max

yk i (h)

yk (xi )

.

1 k

2

Практически погрешность в точке xi

оценивается по формуле

Рунге. Пусть Yi (h) ,

Yi (h 2)

-

значение

численного решения в

точке

xi , полученные для

шагов

h и h 2 соответственно; тогда

погрешность di

в

точке xi

для

вычислений с шагом

h 2 выра-

жается приближенно равенством

max

yk i (h)

yk i (h 2)

di (h 2)

1 k 2

,

(7.11)

2 p

1

Y i Y i

1

Y i

1

1

1i 1

2

2i 1

2

3i 1

4i 1

Y i 1

k

k

k

k

6

1i 1

k

h f (xi

1,Y i 1),

i

1

1

h,

i 1

1

i 1 ),

k

h f (xi

1

Y

k

2

2

2

1

i

1

k ji1

1

( j

1,2,3,4).

где векторы

k j

k ji2

1

Пример. Найти численное решение задачи Коши для системы

двух дифференциальных уравнений

y1

y2 ,

y1 (0)

0, y2 (0) 1

y2

y1,

на сетке отрезка

0;

методом Рунге-Кутта. Вычисления провес-

2

ти с шагами

и

. Оценить погрешность по принципу Рунге.

6

12

Сравнить численное

решение

с

аналитическим решением

y1

sin x,

y2

cos x.

Решение.

Здесь

f1 (x, y1, y2 )

y2 ,

f2 (x, y1, y2 )

y1 ,

x0

0, y10

0,

y20

1,

h

6

0.5323599.

Численное решение будем искать по формулам (7.12).

Последовательно вычисляя,

при

i 1 и j

1,2,3,4 имеем:

0

k110

;

k1

k120

k 0

hf (x

0

, y

, y

20

)

hy

20

h 1

0.523599;

11

1

10

k 0

hf

2

(x

0

, y , y

20

)

hy

h 0 0;

12

10

10