2701
.pdf
|
1 |
|
Т |
|
|
+ |
2 |
(∆ − ∆ |
) |
(∆ − ∆ |
) − . |
Значения ∆x, v, a должны удовлетворять системе урав-
нений:
|
( , , )⁄ |
= Т |
|
∆ + Т Т |
+ |
||
|
+ |
1 |
∆ |
− ∆ |
Т |
Т = 0; |
|
|
( , , )⁄ v = |
∆ = 0; |
|
||||
|
Т |
− = 0. |
|||||
( , , )⁄ α = ∆ − ∆ |
|
∆ − ∆ |
|||||
Откуда получаем, что оптимальным решением задачи оптимизации (3.53) является вектор ∆xk, вычисляемый по формуле:
|
|
|
∆xk = kSk, |
|
|
(3.54) |
||
где: |
( |
) + |
( |
) ( |
) |
+ |
; |
|
= − |
(3.55) |
|||||||
( ) = − ( |
)( |
Т( |
) |
( |
) − |
Т( |
) |
; (3.56) |
|
|
|
= |
|
⁄ |
; |
|
(3.57) |
Sk-1, — направление и шаг, вычисленные на (k-1)-й итерации (на первой итерации при k-1, считается, что Sk-1 = 0).
Для того, чтобы определить численные значения параметров , в точке yk+1 = xk + ∆xk для исходной задачи не-
линейного программирования (3.33) - (3.34) построим функцию Лагранжа:
( , ) = ( )+ Т ( ) =
71
= ( + ) + Т ( + ). (3.58)
В выражении (3.58) значения Sk и vT вычисляются, соответственно, по формулам (3.55) и (3.56) в точке хk. Следовательно, функция F(y,v) является зависящей от двух параметров и , оптимальные значения которых можно получить путем решения задачи оптимизации:
min( , ){ |
+ |
( , |
) |
+ |
Т( |
, |
) |
+ |
( , |
)}. (3.59) |
|
Оптимальные значения |
|
и |
|
должны удовлетворять |
|||||||
системе уравнений: |
)⁄ |
= |
Т( |
, |
|
) |
= 0; |
|
|
||
( , )⁄ |
( , |
|
|
(3.60) |
|||||||
= [ Т( , ) |
=0 |
,+ ( Т( , ) ( )− |
|||||||||
где |
|
|
Т |
|
|
|
|
|
|
||
( , ) = Q(y)+U(y)v; |
|
( ) |
; |
||||||||
= − ( )( Т( ) ( ) − |
|||||||||||
|
|
= |
( |
) |
Т( |
|
) |
; |
|
|
|
В общем |
виде аналитическое решение⁄ |
системы уравне- |
|||||||||
= |
+ |
|
; |
= |
|
|
. |
|
|
||
ний (3.60) получить не удается. Поэтому параметры и в процессе проведения градиентной фазы находятся путем ее численного решения.
Алгоритм |
|
|
реализующий в градиентной фазе |
||
рассмотренную |
процедуру построения приращения ∆хk по |
||||
|
, |
|
|
|
|
формуле (3.54), |
где параметры |
и |
определяются путем |
||
численного решения системы уравнений (3.60), и использующий в фазе восстановления для выбора приращения ∆yk+1 со-
72
отношения (3.52), называется методом сопряженных градиентов для поиска условного минимума.
3.4. Алгоритмическое обеспечение задач нелинейного программирования
При решении задач нелинейного программ программирования можно воспользоваться либо непосредственно необходимыми условиями экстремума, либо развивать прямые методы оптимизация.
В случае наличия ограничений хотелось бы необходимые условия экстремума получить в виде некоторой системы дифференциальных соотношений (подобно той, которую мы имеем и случае безусловной оптимизации ( ) = 0). Делаем это в надежде на то, что для получения оптимальной точки можно непосредственно разрешитьэтисоотношения.
Принимая во внимание, что для задачи выпуклого программирования были получены необходимыеи достаточныеусловия экстремума в форме соотношений для седловых точек, естественно попытаться записать эти соотношения в дифференциальной форме.
|
Итак, обратимся к дифференциальному варианту тео- |
|
ремы Куна-Таккера. |
|
|
fв |
Предположение дифференцируемости функций |
и |
(x) i = 1,...,m |
|
|
|
позволяет записать свойство седловой точки( ) |
|
дифференциальном виде. С этой целью обратимся к нера-
венству: |
Ф(x,y ) ≤ Ф(x ,y ) x ≥ 0 |
|
||
|
(3.61) |
|||
Из (3.61) следует неравенство: |
|
|||
Ф , ,..., |
, , |
,..., , |
≤ Ф(x ,y ) x ≥ 0 |
(3.62) |
|
|
73 |
|
|
Выберем последовательность { |
}, стремящуюся спра- |
|||||||||||
следует, |
> . |
Поскольку |
|
> |
, то из неравенства (3.62) |
|||||||
ва к |
|
|
|
|
||||||||
|
соотношение: |
|
|
|
|
|
|
≤ 0, |
|
|||
|
Ф( , ,..., |
, |
, |
..., |
) |
Ф( |
, |
) |
(3.63) |
|||
устремляя |
→ |
, |
получим неравенство: |
|
||||||||
|
Ф |
| = |
, |
= |
|
= |
Ф |
, |
|
≤ 0 |
(3.64) |
|
Если известно, что > 0, то можно выбрать последо-
вательность { }, стремящуюся слева к , > 0. Тогда одновременно с (3.64) можно для точки (x ,y ) получить неравенство Ф( , ) ≥ 0.
Таким образом:
Ф ,
или
Ф ,
= 0 при > 0, |
(3.65) |
= 0, = 1,2,…, |
(3.66) |
Аналогично, из соотношения: |
|
Ф(x ,y ) ≤ Ф(x ,y) y ≥ 0 |
|
получим неравенства: |
|
Ф( , ) ≥ 0 , = 1,2,..., |
(3.67) |
74 |
|
а так же соотношение:
или |
Ф( , ) |
= 0 |
при > 0, |
(3.68) |
|
Ф( |
, ) |
= 0 |
(3.69) |
В дальнейшем нам потребуется следующее свойство выпуклых (вверх) функций, в случае их непрерывной дифференцируемости:
( ) ≤ ( )+[ ( )]( − ) (3.70)
Приведем доказательство. Для выпуклых (вверх) функций справедливо неравенство:
(или+(1 − |
) |
) ≥ |
( )+(1− ) |
( |
),0 ≤ |
). |
≤ 1 |
||||
|
+ |
( |
− |
) ≥ |
( |
)+(1 − |
) ( |
(3.71) |
|||
Тогда при 0≤ |
≤ 1 из (3.71) |
следует неравенство: |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
( ) |
≥ |
( |
)− |
( |
)(3.72) |
Тогда при → 0 в (3.72), получим: |
( |
) |
|
|
|||||||
или |
[ |
( |
)] ( |
− ) ≥ ( ) − |
|
|
|||||
|
( ) ≤ ( |
)+[ |
( |
)]( |
− |
), |
|
|
|||
т.е. выполняется соотношение (3.61).
75
Имеет место |
следующая |
теорема. Для того чтобы |
|
( ≥ 0, ≥ 0) |
была седловой точкой функци Лагранжа для |
||
|
|||
задачи выпуклого программирования: |
|||
|
|
( ) → max |
|
= : |
( ) ≤ , |
= 1,2,..., |
|
≥ 0, |
= 1,2,..., |
||
вслучае непрерывной дифференцируемости функций
,, = 1,2,..., , необходимо и достаточно выполнение
следующих соотношений для ≥ 0, |
≥ 0: |
|
|||||||
1) |
Ф(x |
,y |
) |
≤ 0 , |
|
= 1,2,..., |
|
||
2) |
Ф( |
, ) |
= 0 , |
= 1,2,..., |
(3.73) |
||||
3) |
Ф(x |
,y |
) |
≤ 0 , |
|
= 1,2,..., |
|
||
4) |
Ф(x |
,y ) |
= 0 , |
|
= 1,2,..., |
|
|||
Рассмотрим |
доказательство. |
Необходимость |
доказана |
||||||
выше. Докажем достаточность. Итак, пусть выполняется ра-
венство первого и последнего соотношений для |
Лагранжа |
||
|
. |
В силу предположений теоремы, функция |
|
0 |
≥ 0, ≥ |
||
|
является вогнутой по . |
|
|
Ф( |
, )Тогда справедливы неравенства: |
|
|
|
|
Ф( , ) ≤ Ф( , ) + [ Ф( , )] ( − ) = |
|
|
|
= Ф( , ) + [ Ф( , )] − [ Ф( , )] |
= |
|
|
= Ф( , ) + [ Ф( , )] |
|
|
|
(так как [ Ф( , )] = 0) |
|
|
|
76 |
|
Из (3.74) при ≥ 0, в силу первого свойства, получим неравенство:
Ф( , |
) ≤ Ф( , |
) +[ Ф( , )] ≤ |
(3.75) |
|
≤ Ф( , ) ≥ 0 |
|
|
Аналогично показывается, что: |
|
||
Ф( , ) < Ф( , ) ≤ Ф( , ) ≥ 0, ≥ 0, |
|
||
Условият.е. ( , |
седловая точка. Теорема доказана. |
|
|
доказанной)- |
теоремы, будучи необходимыми и |
||
достаточными для оптимальности предполагаемого решения,
вто же время не дают вычислительного алгоритма для нахождения точек, могущих быть решениями. Однако иногда возможно исключение из допустимой области тех множеств точек, для которых удается показать, что ни один их элемент не может удовлетворять условиям, необходимым для оптимальности. Если такой процесс исключения может быть продолжен достаточно далеко, то кандидатами на оптимум могут остаться лишь несколько точек. Применение описанного приема к некоторой конкретной задаче позволяет узнать многое о свойствах оптимальных решений, даже если последние и не найдены.
Внекоторых случаях можно также получить "полное параметрическое решение" задачи посредством определения условий, которым должны подчиняться параметры входящих
взадачу функций для того, чтобы различные типы точек представляли оптимальные решения. Такие ситуации возникают, например, при выборе оптимальных параметров конструкции радиоаппаратуры по некоторому критерию.
Чтобы показать, как это делается с использованием условий Куна-Таккера, рассмотрим следующую задачу.
Найти
min ( , ) = ( |
+ |
) |
77
при условиях: |
1 − |
− |
≥ ,0 |
|
||
|
|
|
||||
где |
|
|
. |
, |
≥ 0 |
|
Эту задачу, |
можно преобразовать в эквивалентную за- |
|||||
, |
> 0 |
|
|
|
|
|
дачу максимизации: |
)) = max(− |
− |
) |
|||
(− ( |
, |
|||||
при условиях: |
− ≥ 0, |
, ≥ 0. |
|
|||
1 − |
|
|||||
Функцией Лагранжа и необходимыми условиями, полученными на основании содержания (3.73) в этой задаче, являются:
Ф( , , ) = − |
|
− |
+ (1− − ) |
||||||||
|
1) |
|
|
Ф |
= |
|
− ≤ 0 и если |
<,то |
= 0 |
||
|
2) |
|
|
Ф |
= |
|
− |
≤ 0 и если |
<,то |
= 0 |
|
|
|
|
|
Ф |
|
|
|
|
|
||
x и x |
3) |
|
|
|
= (1 − |
− |
) ≥ 0 и если <,то |
= 0. |
|||
|
|
|
|||||||||
Так |
как функция |
и |
все ограничения вогнуты по |
||||||||
, а функция , будучи линейной относительно пере- |
|||||||||||
|
|||||||||||
менной , выпукла по |
, эти условия будут также и достаточ- |
||||||||||
ным для оптимальности решения. |
|
|
|||||||||
|
Ввиду того, кто эти условия не приводят к какому-либо |
||||||||||
вычислительному алгоритму, мы поступим следующим образом:
- перечислим различные классы возможных внутренних и граничных решений,
78
- определим для параметров условия, которые должны быть необходимыми и достаточными для каждого класса решений.
В этой задаче можно определить четыре класса воз-
можных решений. |
= 0,x > 0 |
|
|
|
||||
Посмотревx |
. |
|
|
|||||
Класс А: |
|
|
|
|
|
|
||
|
условия 1, 2 и 3, мы видим, что такое реше- |
|||||||
ние может быть тогда, когда: |
|
|
|
|||||
2)a b − u ≤ 0 |
; |
= 0; |
|
|
|
|||
1) |
|
|
|
|
|
|||
3)a b |
− |
|
|
|
||||
такx |
= 1, |
|
u = 0 |
и условия (1) и (2) не могут быть |
||||
|
как иначе |
|||||||
выполнены. |
|
|
|
|
|
|||
Используя условия 1-3, мы получаем неравенство: |
||||||||
Это |
≤ |
|
|
|
|
или ln |
|
≤ − |
|
|
|
|
|
||||
|
условие, налагаемое на параметры, является необ- |
|||||||
ходимым и достаточным для того, чтобы оптимальным реше-
|
было |
|
|
. |
|
|
|
|
нием |
Класс B:, |
> 0,x |
= 0 |
. |
|
|
||
|
Снова изx |
|
|
|
||||
|
|
|
условий 1,2 и 3 следует, что решение будет |
|||||
таким только в том случае, когда: |
|
|
||||||
|
2)a b |
− u = 0; |
|
|
|
|
||
|
1) |
|
− |
≤ 0; |
|
|
|
|
|
3)a b |
|
|
|
|
|||
|
такx = 1, |
|
, и условия (1) и (2) не выполня- |
|||||
|
|
как иначе |
||||||
ются. Используя условияx =(10-3), мы получим неравенство: |
||||||||
|
Это |
|
|
≤ |
|
или ln |
|
≥ . |
|
|
|
|
|
||||
|
|
условие для параметров и является необходимым и |
||||||
достаточным для того, чтобы оптимальным решением было
= 1, = 0 |
− = 0. |
|
. |
Класс С:
79
Из условий (1,2,3) видно, что решение таким быть не может, так как тогда было бы:
1) a b −u ≤ 0;
2) a b − ≤ 0;
3) |
= 0. |
|
|
|
|
|
> 0. |
|
|
|
|
|
|
Класс D: |
решения: |
|
|
|
|
|
|||||||
Для такого |
|
|
|
|
|
||||||||
> 0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
1) |
|
− |
= 0;; |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
так1 − − |
− |
= 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
= 0 |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
3) |
как иначе |
|
|
и условия 1 и 2 не выполняются. |
|||||||||
|
|
|
|
||||||||||
Используя |
условия 1-3, мы получаем: |
|
|||||||||||
|
= 0 |
|
= |
|
|
|
( |
) |
|
||||
или |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
или |
|
ln |
|
|
+ |
= |
( + |
) |
|
||||
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
= |
ln( |
/+ |
)+ |
|
|
|||||
Так как для класса D решений |
0 < |
< 1, |
то должны |
||||||||||
выполняться следующие условия: |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
− < ln |
|
|
< |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Таким образом, мы установили три исчерпывающих и непересекающихся множества условий для параметров, каждому их которых соответствует единственное оптимальное решение.
Окончательно мы имеем:
А: = 0, = 1 тогда и только тогда, когда
ln |
|
≤ − |
|
В: = 1, = 0
80