2701

≠, а → +∞ получили бы, что неравенство в правой

мальной точки в принципе может быть заменен задачей отыскания седловой точки функции Лагранжа (если такая существует),а при отыскании седловой точки max Ф(x,у) и min

Далее необходимо решить вопрос об условиях существования седловой точки. Иначе, нас будут интересовать усло-

11

целью вводится специальный класс задач нелинейного программирования – задачи выпуклого программирования. Рассмотрим несколько понятий.

Множество G называется выпуклым, если с любыми своими точками оно содержит и отрезок, их соединяющий, то

Справедливы следующие утверждения:

-пересечение выпуклых множеств есть множество выпуклое;

- если ( ),( = 1,..., ) выпуклые функции то множество:

( )−выпуклые функции;

12

называются задачей выпуклого программирования.

Множество G удовлетворяет условиям Слейтера, если

x ≥ 0,f (x) < B , .

Сформулируем основную теорему выпуклого програм-

мирования - теорему Куна-Таккера.

Для того, чтобы точка x ≥ 0была оптимальной для задачи выпуклого программирования, в которой множество удовлетворяет условиям Слейтера, необходимо и достаточно, чтобы существовала такая точка y ≥ 0, что пара (x ,y ) являлась бы седловой точкой соответствующей функции Лагранжа.

Отметим, что условие Слейтера соответствует утверждению: множество

некоторой окрестностью).

Условие Слейтера в теореме Куна-Тэккера выступает как одно из достаточных условий, гарантирующих существование такого y ≥ 0, что (x ,y ) - седловая точка. В принципе это условие не является единственным и в литературе известны другие условия. Подобного типа условие принято называть условиями регулярности.

Выделим теперь важный случай теоремы Куна-Таккера для задачи выпуклого программирования с дифференцируемой целевой функцией и линейными ограничениями. Оказывается, что при этом указанная теорема справедлива без дополнительных предположений об условиях регулярности, (например, для задачи линейного программирования).

13

ных. Действительно, пусть x – решение задачи (2.4). Покажем, что тогда пара x ,u , где u = B − Ax - решение задачи (2.1). Допустим противное: x ≥ 0, u ≥ 0

Из (2.5) следует, что x ≥ 0- допустимый вектор задачи (2.4) (0 ≤ u = B −Ax). Тогда (2.6) противоречит оптимальности вектора x в задаче (2.1). Таким образом, x ,u - решение задачи (2.1).

Аналогично показывается, что если x ,u - решение задачи (2.1), то x — решение задачи (2.4), Таким образом, задачи (2.1) и (2.4) эквивалентны.

Если теперь обозначить: C = C0 , A = [AI], x = ux , то задача (2.1) примет вид (каноническая форма записи):

С x → max Ax = B x ≥ 0.

Покажем теперь, каким образом осуществляется переход от формы записи (2.2) к записи (2.1). Очевидно, задача (2.2) эквивалентна следующей:

2.2. Принципы построения двойственных задач

Двойственная к (2.1) задача определяется как задача, вытекающая из следующего условия:

Получим теперь задачи, двойственные к задачам (2.2) и (2.3) соответственно.

Итак, пусть исходной ЗЛП является задача (2.2). Тогда, как показано выше, задача (2.2) может быть за-

писана в виде (2.8).

Функция Лагранжа для задачи (2.8) имеет вид:

Обозначим z = u − v. Здесь,очевидно,z ≤ 0.

Тогда двойственная к (2.2) задача имеет вид:

min max L(x,z) =min max L(x,y), (2.12)

17

где

Расписывая подробнее (2.12), получим, что задача (2.12) может быть приведена к виду:

B Z → min

A z ≥ C

Прежде чем перейти к построению двойственной к (2.14) задачи, выясним, каким образом меняется функция Лагранжа для задачи ЛП, на переменные которой не налагается требование неотрицательности. С этой целью выпишем функцию Лагранжа задачи (2.9), пользуясь эквивалентной задачей

(2.10):

L(′,′) = C x +y (B− Ax),x ≥ 0,y ≥ 0,

где x = Vu , A = [A− A], C = −CC ,

или

L(′, ) = С u − V +y [B−A(u −V)].

Обозначим x = u −v. Здесь x ≥ 0. Окончательно:

L(′,′) = С x+y (B− Ax ), x ≥ 0, y ≥ 0 (2.15)

Таким образом, функция Лагранжа осталась прежней, изменилась лишь область ее определения. Учитывая последнее, а так же тот факт, что на множители Лагранжа, соответствующие ограничениям - равенствам требование неотрицательности не налагается (2.14), построим двойственную к (2.14) задачу. Она имеет вид:

18

i I y 0; j J x 0 = minmax{(C −y A)x+y B}

Тогда для произвольногоy, удовлетворяющего услови-

ям y ≥ 0 (i I ), y 0 (i I ), возможны случаи:

1) (C −y A) > 0.

Тогда, очевидно:

max{(C − y A)x+y B} → +∞

x≥ 0 (j J )

x0 (j J )

2)(C − y A) ≤ 0.

Тогда, если J (C −y A) < 0, то max{(C − y )x+y B} → +∞;

x≥ 0 (j J )

x0 (j J )

3) В остальных случаях, т.е. j J (C −y A)j = 0 max{∙} = B y

x≥ 0 (j J )

x0 (j J )

Таким образом, операция (2.1.15) приводит к задаче:

если допустимое множество в задаче (2.17) не пусто. Теперь легко составить таблицу двойственных задач

для ЗЛП в различных формах записи (табл. 2.1).

Анализируя эту таблицу, приходим к выводу, что двойственная задача строится по следующим правилам:

1)max меняется min ;

2)векторы и С меняются местами;

3)матрица А заменяется на АТ ;

4)знаки неравенства меняются на противоположные;

5)j -е условие двойственной задачи должно быть неравенством, если на j-ю переменною исходной задачи наложено требование неотрицательности, в противном случае - равенством. На j-ю переменную двойственной задачи налагается требование неотрицательности, если j-е ограничение исходной задачи - неравенство.

Прямые и двойственные задачи обладают следующими свойствами:

20