2701

Полученное выражение называется логарифмической функцией штрафа и обладает теми же "барьерными" свойствами, что и штрафная функция (3.27).

Недостатком штрафных функций (3.27) и (3.30) является то, что они требуют существования "внутреннего множества" допустимой области D, т.е. они не позволяют решать задачи нелинейного программирования с ограничениями типа равенств. Кроме того, для их использования в задачах безусловной оптимизации (3.22) необходимо знать начальное приближение х0, в котором все ограничения (3.2) удовлетворяются как строгие неравенства. Это свойство введенных штрафных функций позволяет говорить об алгоритмах основанных на их последовательной минимизации при уменьшающихся пара-

61

метрах сk или аk, как об алгоритмах, реализующих метод внутренних точек.

Построим штрафную функцию Ф(х, сk), для которой не требуется знать внутреннюю точку В и которая позволяет решать задачи нелинейного программирования как с ограничениями типа неравенств, так и с ограничениями типа равенств.

Предположим, что второе неравенство в условиях Ку- на-Таккера выполняется в ослабленном виде:

gi(x)>-ck, = 1, .

Введем множители Лагранжа следующим образом:

ui = –min(0, gi(x)).

Тогда, подставляя полученные значения ui в последнее соотношение условий Куна-Таккера, получаем:

( )+∑ min 0, ( ) ( )⁄c = 0 (3.31)

Выражение (3.31) соответствует необходимому условию существования минимума многопараметрической функции следующего вида:

Ф( ,c ) = ( )+ ∑ (min (0, ( ))) (3.32)

В области допустимых решений D значение функции Ф(х, сk) = Q(x), а вне области D значение R(х, ck) = (х / сk) очень велико по сравнению с Q(x). Поэтому, если точка находится вне допустимой области D, то траектория поиска идет таким образом, чтобы минимизировать значение штрафа за выход точки х из области допустимых решений D. Алгоритм

, основанный на последовательной минимизации штрафной функции (3.32) при уменьшающихся значениях параметров 1 / ck является реализацией метода внешних точек, 62

На рис. 3.5 приведены функции штрафа (3.32), построенные для значений параметра c1 и с2{с2>с1) для задачи оптимизации min { + }.

Рис. 3.5. Штрафные функции Ф( , ) = ( + ) + {(min(0; − )) ;(min(0; − )) }для различных значе-

ний параметра ck, реализующие метод внешней точки

Недостатком рассмотренных алгоритмов, реализующих метод штрафных функций, является отсутствие формализованных процедур выбора постоянных коэффициентов ck. Кроме этого, для определения оптимального решения х* исходной задачи выпуклого программирования (3.1) - (3.2) требуется, чтобы вспомогательные задачи безусловной оптимизации (3.23) решались с высокой степенью точности. Это требование, как и необходимость многократного применения методов безусловной оптимизации для последовательности коэффициентов {ck}, может привести к большим вычислительным затратам.

63

3.3. Методы проектирования градиента

Будем считать, что в задаче нелинейного программиро-

вания:

имеются ограничения только типа равенств:

Это предположение не ограничивает общности рассмотрения, так как любое ограничение типа неравенства gi(х) > 0 может быть преобразовано в ограничение типа равенства. Особенностью задачи (3.33) - (3.34) является то, что ее оптимальное решение х* находится в (n-m) - мерном подпространстве D, образованном пересечением гиперповерхностей:

ния с помощью выпуклого программирования (3.33) - (3.34) методом проектирования градиента, который состоит из двух этапов: градиентной фазы и фазы восстановления.

В градиентной фазе предполагается, что точка хk удовлетворяет системе ограничений типа равенств (3.34), а приращение ∆хk вычисляется таким образом, чтобы величина минимизируемой функции уменьшалась. Для этого через точку хk проводятся гиперплоскости, касательные к гиперповерхностям Hj(x) и путем проектирования градиента функции Q(x) на пересечение этих аппроксимирующих ограничений определяется направление Sk наибыстрейшего убывания функции Q(x) в подпространстве D. Вдоль полученного направления Sk

64

осуществляется поиск точки yk+1 с наименьшим значением функции Q(x):

Поскольку уравнения (3.34) являются нелинейными, а размер шага может оказаться большим, то точка yk+1 в общем случае не будет принадлежать множеству D. В связи с этим в фазе восстановления для обеспечения сходимости процесса поиска необходимо на каждом шаге осуществлять возращение текущей точки уk+1 на множество D, корректируя ее значение по следующей формуле:

Приращение ∆yk+1 определяется таким образом, чтобы ограничения (3.34) в очередной точке испытаний xk+1 удовле-

где — требуемая точность выполнения ограничений типа равенств.

На рис. 3.6 показаны градиентная фаза и фаза восстановления для первых двух итераций метода проектирования градиента.

Остановимся более подробно на определении аналитических выражений для вычисления приращений ∆xk и ∆yk.

Обозначим матрицу нормалей к каждой касательной гиперплоскости:

( ) + Т( )( − ) = 0, = 1, , (3.39)

проведенной в точке xk гиперповерхности Hj(x) = 0, следующим образом:

65

Рис. 3.6. Траектория движения вдоль ограничения типа равенства с помощью метода проектирования градиента

Предположим, что для любой точки х, принадлежащей

-окрестности множества D, векторы uj линейно-независимы

ине равны нулю. Тоща матрица (UT(x)U(x)) является невырожденной и имеет обратную матрицу:

На каждой k-ой итерации градиентной фазы при выборе направления поиска Sk необходимо обеспечить выполнение следующих требований.

66

Во-первых, направление Sk должно выбираться так, чтобы вдоль него достигалось наибольшее уменьшение функции Q(x). Разлагая функцию Q(x) около точки хk в ряд Тейлора с точностью до членов первого порядка, получаем, что вдоль направления Sk необходимо минимизировать разность:

должно принадлежать пересечению касательных гиперплоскостей (3.39), проходящих через точку хk, т.е. направление Sk должно быть ортогонально к каждой нормали uj,

= 1, :

Таким образом, учитывая требования (3.43) - (3.45), для определения направления поиска Sk необходимо решить следующую задачу оптимизации:

при условии, что

UТ(xk)S = 0; ((S)T, S) = 1.

Построим функцию Лагранжа для задачи оптимизации

(3.46):

( , , ) = ( ( ) , ) + Т Т( ) + (( Т, ) − 1).

67

Значения s, v и а должны удовлетворять системе урав-

нений:

( , , )⁄ = ( ) + Т( ) 1 = 0;

Откуда получаем, что оптимальным решением задачи оптимизации (3.46) является вектор sk, вычисляемый по формуле:

где Е - единичная матрица; Р(х ) - матрица проектиро-

вания градиента функции Q(x) на пересечении гиперповерх-

Поиск оптимального решения x* исходной задачи нелинейного программирования (3.33) - (3.34) считается законченным, если выполняется условие:

В том случае, если точка yk+1 принадлежит - окрестности области решений D, то она принимается за новое приближение xk+1, для которой выполняется градиентная фаза. В

68

противном случае, прежде чем перейти к новой (k+1)-й итерации, необходимо выполнить фазу восстановления (3.37)

Аппроксимируя около точки yk+1 ограничения типа равенств разложениями в ряд Тейлора до членов первого порядка, потребуем, чтобы полученные линеаризированные уравнения выполнялись в точке xk+1:

Для того, чтобы величина функции Q(yk+1), полученная на предыдущей фазе, изменялась в точке xk+1 незначительно, приращение ∆yk+1должно выбираться как можно меньшей величины. Учитывая это требование и имея в виду соотношение (3.50) для определения приращения ∆yk+1, сформулируем следующую задачу оптимизации:

при условии, что

h(xk+1) + UT(yk+1) ∆y = 0.

Построим функцию Лангранжа для задачи оптимиза-

ции (3.51):

нений:

(∆ , )⁄ ∆ = ∆ Т + Т Т( ) = 0;

69

(∆ , )⁄ = ( ) + Т( )∆ = 0.

Откуда получаем, что оптимальным решением задачи оптимизации (3.51) является вектор ∆yk+1, вычисляемый по формуле:

граммирования (3.33) - (3.34) на каждой итерации в градиентной фазе при выборе приращения ∆хk будем использовать информацию о величине приращения ∆хk-1, полученного на предыдущей итерации. Тогда выбор приращения ∆хk может быть сформулирован как задача оптимизации:

при условии, что

UT(xk)∆x = 0;

(∆ − ∆ )Т(∆ − ∆ ) = .

Построим функцию Лагранжа для задачи оптимизации

(3.53):

( , , ) = Т( )∆ + Т Т( )∆ +

70