2701

Итак, окончательно двойственная задача имеет вид:

2.6. Метод одновременного решения прямой и двойственной задач

Иначе этот метод называется методом последовательного сокращения невязки.

Каноническая задача линейного программирования имеет вид:

Двойственная к ней задача имеет вид:

→min

Введем в рассмотрение следующую задачу:

41

∑= . Заметим далее, что:

полняются соотношение (2.66), (2.67), т.е. выполнены условия

Выпишем двойственную задачу к (2.68):

Заметим, что задачи (2.68), (2.69) разрешимы, так как их допустимые множества не пусты. Действительно, в качест-

Заметим также, что ∆ = 0, т.е. в систему J(y) войдет новый индекс K.

Покажем теперь, что( , )является крайней точкой задачи (2.70). Для этого достаточно показать, что:

соответствует обычному итерационному шагу симплексного

результат непосредственно следует из 2-ой теоремы двойственности).

Из соотношения (2.75) следует, что допустимое множество исходной задачи пусто.

Здесь описан очередной шаг итеративного процесса. Затем все повторяется.

3. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ НЕЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ

3.1.Использование методов линейного программирования для решения задач выпуклого программирования

Вобщем случае, математическая модель принятия оптимального решения, сводится к задаче нелинейного программирования:

где

Предположим, что критерий оптимальности Q(x) является выпуклой функцией, а область допустимых решений D образует выпуклое односвязное множество. В этом случае задача оптимизации (3.1) называется задачей выпуклого программирования. В дальнейшем, где это необходимо, будем

46

линейной аппроксимации, в которых решение задачи (3.1) — (3.2) на каждой итерации сводится к задаче линейного программирования, в которой многогранник условий Dk является аппроксимацией на k-м шаге области допустимых решений D.

Алгоритм основывается на сведении на каждой итерации исходной задачи выпуклого программирования (3.1)

— (3.2) к задаче линейного программирования, которая получается путем разложения в ряд Тейлора до членов первого порядка критерия оптимальности Q(x) и ограничений gi(х) в ∆ -

где ∆* — оптимальное решение задачи линейного программирования (3.3) — (3.5). Однако, если ∆*-окрестность аппроксимации окажется достаточно большой, то во вновь полученном приближении xk+1 ограничения (3.2) исходной задачи оптимизации могут нарушиться, т.е. xk+1 не будет принадлежать области допустимых решений D. В связи с этим наложим на приращение ∆ дополнительное ограничение:

где - положительный параметр, который вводится для ограничения ∆-окрестности аппроксимации исходной задачи.

47

где ∆ ≥ 0,∆ ≥ 0. Хотя этот шаг удваивает число варьируемых переменных, он необходим в связи с тем, что сим- плекс-метод имеет дело только с неотрицательными переменными. После подстановки переменных ∆j из (3.8) в выражения (3.3) - (3.5), получаем задачу линейного программирования, которая решается на k-й итерации симплекс-методом:

Оптимальное решение (∆+)*,(∆-)*задачи линейного программирования (3.9) - (3.12) позволяет построить точку очередного испытания:

то исходная задача выпуклого программирования (3.1)- (3.2) считается решенной. При нарушении условия окончания

граммирования (3.9) - (3.12). В том случае, когда новое приближение хk+1, полученное из выражения (3.13), не принадле-

редного испытания xk+1, определенная по формуле (3.13), может оказаться не принадлежащей области допустимых решений D, в связи с чем на k-й итерации задачу линейного про-

ки локального минимума х исходной задачи выпуклого программирования (3.1) - (3.2). Другим недостатком рассмотренного алгоритма F24 является то, что информация, полученная на предыдущих шагах поиска, не используется в дальнейшем.

Предположим, что исходная задача выпуклого программирования сформулирована как задача минимизации линейной формы на выпуклом замкнутом множестве:

Это предположение не нарушает общности рассмотрения, так как исходная задача выпуклого программирования

49

(3.1) - (3.2) эквивалентна задаче нелинейного программирования:

где

= { | ( ) = +1− ( ) ≥ 0}.

Особенностью задачи оптимизации (3.16) является то, что оптимальное решение х* находится на границе допустимой области D, где хотя бы одно из ограничений обращается в равенство.

Для решения задачи (3.16) рассмотрим алгоритм, реализующий метод отсекающих гиперплоскостей.

Основная идея этого метода состоит в аппроксимации допустимой области решений D семейством содержащих ее полупространств, что, в свою очередь, позволяет заменить ограничения gj(x) > 0 совокупностью линейных неравенств, получаемых путем разложения функции gi (х) в ряд Тейлора до членов первого порядка.

На первой итерации (k = 1) аппроксимирующая область D0 задается в виде многогранника, включающего в себя область допустимых решений D:

≤+ ,

где ai, bi, — постоянные величины, выбираемые таким образом, чтобы область D полностью содержалась в многограннике D0. На построенном многограннике решается задача линейного программирования: