2701

Фрагмент дерева ветвлений после первого шага метода ветвей и границ приведен на рис. 4.9, а.

Претендентами на ветвление являются обе полученные вершины. Так как w2>w1 то в качестве кандидата выбирается вторая вершина с w2 = 15. Этой вершине соответствует непрерывная приведенная задача (4.33), из структуры оптимального решения которой следует, что во второй вершине осуществляется ветвление по переменной x2: x2 = 0 определяет одну ветвь, оканчивающуюся вершиной 3, и x2 = 1 определяет другую ветвь, оканчивающуюся вершиной 4 (рис. 4.9, б). Для вершины 3 решается задача ЛП (4.33) при х3 = 1 и x2 = 0:

max {5х1 + 3x4 + 6}

при условии, что:

2x1 + 7х4 ≤ 4;

0 ≤ хj ≤ 1, j=1,4.

F(xn) = 11 , позволяет получить следующие верхнюю и ниж-

нюю оценки:

w3 = V(x) = [F(xn)] = 11 и v3 = H(x) = F(1, 0) = 11.

Для вершины 4 решается задача ЛП (8.33) при x2=x3 =1:

max {5x1 +3x4 + 13}

при условии, что:

2x1 + 7x4 ≤ 1;

0 ≤ хj ≤ 1, j= 1,4.

F(xn) = 15 , позволяет получить следующие верхнюю и ниж-

нюю оценки:

w4 = V(x) = [F(xn)] = 15 и v4 = H(x) = F(0, 0) = 13.

111

Рис. 4.9. Схема ветвления на первом и втором шагах решения одномерной задачи о ранце методом ветвей и границ

Вершина 3 является неперспективной и отбрасывается, так как w3<v4, а очередное ветвление может быть осуществлено из вершины 1 или вершины 4. В качестве кандидата выбирается вершина 4, так как w4>w1 . Согласно структуре оптимального решения задачи ЛП, соответствующего вершине 4, следует, что ветвление осуществляется по переменной х1. Вариант с х1 = 1, оканчивающийся вершиной 5, приводит к недопустимому целочисленному решению. Вариант с х1 = 0, оканчивающийся вершиной 6, однозначно приводит к целочисленному решению х* = (0, 1, 1, 0), для которого F(x*) = 13 и w6 = v6 = 13 (рис. 4.10). Вершина 1 должна быть отброшена

112

из рассмотрения, так как w1<w6. Таким образом, в совокупности текущих финальных вершин осталась только вершина 6, в которой верхняя и нижняя оценки совпадают. Следовательно, процесс поиска оптимального решения задачи ЦЛП закончился построением с по мощью метода ветвей и границ целочисленного решения xц = (0, 1, 1, 0) (вершина 6 на рис. 4.10).

Рис. 4.10. Схема получений оптимального решения одномерной задачи о ранце методом ветвей и границ

Рассмотренный алгоритм поиска оптимального решения может быть обобщен на многомерную задачу о ранце (алгоритм, ):

при условии, что:

113

Задачу максимизации линейной формы (4.34) при наличии единственного ограничения:

≤

и требовании к управляемым переменным (4.36) будем называть k-й подзадачей (каждая такая подзадача является одномерной задачей о ранце (4.22) - (4.24)).

Пусть хk = ( ,…, ) - оптимальное решение k-й приведенной непрерывной одномерной задачи о ранце. Тогда наибольшее значение линейной формы для k-й подзадачи, определяемой этим оптимальным решением, будет равно Ak = A(xk) = (сT, хk). Верхнюю оценку для многомерной задачи о ранце будем определять следующим образом:

для каждой из одномерных задач о ранце. Очевидно, что вектор xц= ( ц,…, ц) является допустимым решением для исход-

ной задачи ЛП (4.34) — (4.36).

Ветвление в многомерной задаче о ранце осуществляется выделением вариантов xj = 0 и xj = 1, где j — индекс переменной, оказавшейся дробной в оптимальном решении непрерывной приведенной подзадачи с номером k*, которая от-

114

разила верхнюю оценку V(x). Если в этом решении дробных переменных не оказывается, такая переменная выбирается из решения, обеспечивающего следующую по величине верхнюю оценку.

Процедура отбрасывания неперспективных направлений ветвления и процедура определения оптимального целочисленного решения остаются такими же, как и в одномерной задаче о ранце.

На рис. 4.11 приведена схема получения оптимального решения методом ветвей и границ для следующей многомерной задачи о ранце:

max {5x1 + 7x2 + 6x3 + 3x4}

при условии, что

2x1 + 3x2 + 5х3 + 7x4 ≤ 9;

7x1 + 6x2 + 4х3 + 3x4 ≤ 9; (4.39)

{0,1}, = 1,4.

Оптимальное решение х* = (0, 1, 0, 0) обеспечивает наибольшее значение критерия оптимальности F(x*) = 7.

Метод ветвей и границ является эффективной процедурой также и для решения частично целочисленных задач ЛП (алгоритм ):

Рис. 4.11. Схема получения оптимального решения многомерной задачи о ранце методом ветвей и границ

Верхние оценки вычисляются с помощью релаксации, состоящей в решении задачи ЛП с помощью симплекс-метода, без учета условий целочисленности (4.43).

На первом шаге решается задача ЛП (4.40) - (4.42). Пусть х0 = ( ,…, ) — оптимальное решение этой задачи ЛП. Тогда F(x0) принимается за верхнюю оценку: w0 = V(x) = [F(x0)]. Если полученное оптимальное решение х0 удовлетворяет условиям целочисленности (4.43), то исходная задача частично целочисленного программирования решена. В противном случае, если хотя бы одна из целочисленных переменных xj приняла дробное значение , то исходная задача ЛП разветвляется на две подзадачи: первую подзадачу ЛП (4.40) - (4.42) с дополнительным ограничением в виде неравенства

116

≤ [ ]

и вторую подзадачу ЛП (4.40) - (4.42) с дополнительным ограничением в виде неравенства:

≤+1.

При определении верхних оценок линейной формы (4.40) для каждой из подзадач решаются соответствующие непрерывные задачи ЛП. Если обе подзадачи остаются в числе кандидатов на дальнейшее ветвление, то в качестве направления ветвления выбирается та вершина, для которой подзадача ЛП имеет наибольшее значение линейной формы. Далее аналогичным образом продолжается процесс решения. Если на некотором шаге для наиболее перспективной для ветвления вершины оптимальное решение соответствующей непрерывной задачи удовлетворяет условиям целочисленности (4.43), то оно является оптимальным решением исходной задачи

(4.40) - (4.43).

На рис. 4.12 приведена схема получения оптимального решения методом ветвей и границ для следующей задачи частично целочисленного линейного программирования:

117

Рис. 4.12. Схема получения оптимального решения частично целочисленной задачи ЛП методом ветвей и границ

Таким образом, метод ветвей и границ позволяет решать достаточно эффективно как частично, так и полностью целочисленные задачи ЛП.

118

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

По содержанию задачи оптимизации весьма разнообразны. Они могут быть связаны с проектированием технических устройств и технологических процессов, с распределением ограниченных ресурсов и планированием работы предприятий и т.д. и использоваться в различных сложных системах: технических, социальных, медицинских, экономических. Поэтому и методы оптимизации разнообразны и находят широкое применение во многих областях, где возникают задачи принятия оптимальных решений.

Материал учебного пособия может быть использован в лекционных курсах, рассматривающих вопросы принятия оптимальных решений, при проведении лабораторных и практических занятий, в курсовом и дипломном проектировании.

119

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Батищев, Д.И. Оптимизация в САПР [Текст]: учебник / Д.И. Батищев, Я.Е Львович, В.Н. Фролов. - Воронеж: Издательство Воронежского государственного университета, 1997. - 416 с.

2.Львович, Я.Е. Теоретические основы конструирования, технологии и надежности РЭА [Текст]: учебное пособие для вузов / Я.Е. Львович. - М.: Радио и связь, 1986. - 192 с.

3.Каплинский, А.И. Алгоритмическое обеспечение задач исследования и оптимизации сложных процессов [Текст] / А.И. Каплинский, Я.Е. Львович, А.А. Ступаченко.- Воронеж: Издательство Воронежского политехнического института, 1977. - 85 с.

4.Белецкая, С.Ю. Технология автоматизированного решения задач оптимизации [Текст]: учебное пособие / С.Ю. Белецкая. - Воронеж: ГОУВПО "Воронежский государственный технический университет", 2009. - 160 с.

5.Белецкая, С.Ю. Математические методы поиска оптимальных решений [Текст] : учебное пособие / С.Ю. Белецкая. - Воронеж: ГОУВПО "Воронежский государственный технический университет", 2008. - 201 с.

6.Белецкая, С.Ю. Модели и методы оптимизации [Текст]: учебное пособие / С.Ю. Белецкая. - : Воронеж, 2007. - 179 с.

120