2644
.pdf
Таблица К1
№ |
a , |
b |
c |
d |
|
м |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
1 |
0,6a |
0,9a |
1,2a |
|
|
|
|
|
1 |
0,5 |
2a |
1,5a |
0,8a |
|
|
|
|
|
2 |
0,8 |
1,2a |
0,8a |
0,5a |
|
|
|
|
|
3 |
0,6 |
1,1a |
0,7a |
2a |
|
|
|
|
|
4 |
1,2 |
0,8a |
0,5a |
1,5a |
|
|
|
|
|
5 |
0,9 |
0,9a |
1,4a |
1,3a |
|
|
|
|
|
6 |
0,7 |
1,3a |
1,1a |
0,6a |
|
|
|
|
|
7 |
1,1 |
0,5a |
0,6a |
0,9a |
|
|
|
|
|
8 |
0,4 |
1,4a |
1,2a |
1,1a |
|
|
|
|
|
9 |
0,3 |
1,8a |
2a |
1,4a |
|
|
|
|
|
m1 , |
m2 , |
m3 , |
m4 , |
m5 , |
m6 , |
|
n |
кH м |
кH м |
кH м |
кH м |
кH м |
кH м |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
–0,2 |
|
0,6 |
|
0,7 |
|
0,7 |
1,2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,5 |
|
0,1 |
|
–0,7 |
0,9 |
1,1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0,8 |
|
|
–0,3 |
|
0,4 |
0,85 |
1,3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
–0,9 |
1 |
|
–1,2 |
|
0,95 |
1,4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0,3 |
0,8 |
|
|
|
–0,2 |
0,8 |
1,5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
–0,4 |
–0,7 |
|
|
0,5 |
0,7 |
1,3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
–1 |
|
|
–1,3 |
1,7 |
|
0,85 |
1,1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
–0,6 |
0,8 |
|
|
1 |
0,9 |
1,4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
–1,2 |
1,5 |
–1,8 |
|
0,8 |
1,2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1,4 |
|
|
|
1,1 |
–0,9 |
0,65 |
1,5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
60
Рис. К1.0 |
Рис. К1.1 |
Рис. К1.2 |
Рис. К1.3 |
Рис. К1.4 |
Рис. К1.5 |
Рис. К1.6 |
Рис. К1.7 |
Рис. К1.8 |
Рис. К1.9 |
61
Пример К1. Полый |
|
||
стальной вал, защемлённый |
|
||
в сечении |
A , нагружен |
|
|
четырьмя скручивающими |
|
||
моментами |
(рис. |
3.7). |
|
Определить |
реактивный и |
Рис. 3.7 |
|
наибольший |
|
крутящий |
|
|
|
||
момент. Построить эпюры крутящих моментов и абсолютных углов закручивания. При заданном допускаемом напряжении [ ] для материала определить из условия прочности диаметр
вала и округлить его до ближайшего стандартного размера. Проверить жесткость вала при заданном допускаемом значении относительного угла закручивания [ ] .
Дано: |
|
d |
0.75 |
, |
a |
1 |
м , m1 |
3 кН м , |
m2 2 |
|
|
|
|||||||||
|
D |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
кН м , m 1 |
кН м , |
|
m |
4 |
5 |
кН м , |
G 8 104 |
МПа, |
||
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
[ ] 100 МПа, [ ] 5 см .
Решение:
1) Определяем реактивный момент. Вал защемлен с одной стороны. Отбрасываем жёсткую заделку, заменяя её реактивным моментом M A (рис. 3.8 а). Для определения момента заделки составим уравнение равновесия:
mi |
0 : M A |
m4 m3 m2 m1 0 . |
Вычисляем: |
|
|
M A |
5 1 2 |
3 1 кН м . |
2) Построим эпюру крутящих моментов. Разобьем вал на участки. Границами участков являются сечения, в которых приложены сосредоточенные моменты, резко (скачком) изменятся интенсивность распределенных моментов или площадь поперечного сечения. Согласно этому правилу вал следует разбить на четыре участка.
62
|
|
|
Рис.3.8 |
|
Составляем для каждого из участков |
|
|||
вала уравнение для определения крутящего |
|
|||
момента (3.1), рассматривая каждый раз |
|
|||
правую часть вала. |
|
|
|
|
1 участок: 0 |
z a . Рассечем этот |
|
||
участок |
произвольным |
поперечным |
|
|
сечением |
z1 (рис. 3.9). Для определения |
|
||
крутящего |
момента |
составим уравнение |
Рис. 3.9 |
|
равновесия на участке: |
|
|
|
|
|
|
|
63 |
|
|
mi |
|
0 : |
M к1 |
m1 |
0 . |
|
|
|||
Отсюда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
M к1 |
m1 |
3 кН м . |
|
|
|
||||||
2 |
участок: |
0 |
|
z |
a . |
Рассечем |
|
||||
этот участок произвольным поперечным |
|
||||||||||
сечением |
|
z2 |
(рис. 3.10). Для |
|
|||||||
определения |
|
крутящего |
|
момента |
|
||||||
составим уравнение равновесия: |
|
|
|||||||||
|
mi |
|
0 : |
M к2 |
m2 |
m1 |
0 . |
|
|||
Вычисляем |
|
|
|
|
|
|
Рис. 3.10 |
||||
M к2 |
m1 |
m2 |
|
5 кН м . |
|
|
|||||
3 |
участок: |
|
0 |
z |
a . |
|
|
||||
Рассечем |
|
|
этот |
|
участок |
|
|
||||
произвольным |
|
поперечным |
|
|
|||||||
сечением |
|
z3 |
(рис. 3.11). |
|
|
||||||
Составляем |
|
|
|
уравнение |
|
|
|||||
равновесия на участке: |
|
|
|
|
|
Рис. 3.11 |
|||||
|
mi |
|
0 : |
Mк3 |
m3 |
m2 |
m1 0 . |
||||
|
|
|
|||||||||
Находим |
|
|
|
|
|
|
|
||||
Mк3 |
m1 |
m2 |
m3 |
4 кН м . |
|
||||||
4 участок: |
0 |
z |
a |
|
|
|
|||||
. Рассечем |
этот |
участок |
|
|
|
||||||
произвольным |
поперечным |
|
|
|
|||||||
сечением z4 (рис. 3.12). Из |
|
|
|
||||||||
уравнения равновесия |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
mi |
|
0 : |
|
|
|
|
|
|
Рис. 3.12 |
|
M к4 |
m4 |
m3 |
m2 |
m1 |
0 |
||||||
|
|||||||||||
получаем |
|
|
|
|
|
|
|
||||
Mк4 |
m1 |
m2 |
m3 |
m4 |
1 кН м . |
|
|||||
64
Строим в масштабе эпюру крутящих моментов (рис. 3.8
б).
3) Определяем диаметр вала. Для нахождения этой величины проведём проектный расчёт по формуле (3.20). Из анализа эпюры крутящих моментов следует, что крутящий момент достигает наибольшего по модулю значения на втором
участке вала: |
M к2 5 |
кН м . Вычисляем |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
16 5 106 |
|
|
|
D |
3 |
|
|
16 |
M к2 |
|
3 |
|
|
|
72 мм . |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
[ ](1 |
4 ) |
3.14 100(1 0.75 |
4 ) |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Округляем эту величину до ближайшего большего |
|||||||||||||
стандартного значения: |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
D |
75 |
мм . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
4) Построим эпюру абсолютных углов закручивания . Построение этой эпюры начнём от неподвижного сечения, т.е.
от заделки: |
А |
0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Предварительно вычислим крутильную жёсткость: |
|||||||
GJ p |
|
|
D4G |
(1 |
4 ) |
3.14 754 8 104 |
(1 0.754 ) |
|
|
32 |
32 |
||||
|
|
|
|
|
|
||
1.7 
1011 Н 
мм2 .
Определим углы закручивания на участках.
4 участок. Положение произвольного сечения этого
участка задаётся |
координатой |
z4 , а угол |
поворота |
определяется углом |
закручивания |
части вала |
(a z4 ) , |
расположенного между этим сечением и заделкой. Используя формулу (3.24), получаем
4 |
М к4 (a z4 ) |
. |
|
GJ p |
|||
|
|||
|
|
||
Таким образом, |
4 является линейной функцией |
||
координаты z . Вычисляем его значение на границах участка:
z4 a : 4 |
A 0; |
65
z4 0 : 4 |
K |
M к4a |
1 106 103 |
5,9 10 |
3 |
рад. |
|
GJ p |
|
1,7 1011 |
|
||||
|
|
|
|
|
|||
3 участок. Угол поворота произвольного сечения определяется как сумма угла поворота K сечения K и угла поворота данного сечения относительно сечения K :
M к3 (a z3 )
3 |
K |
|
уравнение прямой. |
|
|
||||
GJ p |
||||
|
|
|||
Вычисляем его значение на границах участка:
z3 |
a : 3 |
K |
|
5,9 10 3 рад; |
|
|
|
|
|
z |
0 : |
|
|
5,9 10 3 |
4 106 |
103 |
17.7 10 |
3 |
|
3 |
C |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
||||||
3 |
|
|
1,7 |
1011 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|||
рад.
2 участок. Определим угол поворота произвольного
сечения данного участка как сумму угла поворота |
C |
сечения |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
C и угла поворота рассматриваемого сечения относительно |
||||||||||
сечения C : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
С |
M к2 |
(a z2 ) |
прямая. |
|
|
|
|
||
GJ p |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
На границах участка получаем: |
|
|
|
|
||||||
z2 |
а : 2 |
С |
17.7 10 3 рад; |
|
|
|
|
|||
z2 |
0 : |
|
|
17.7 10 3 |
4 106 |
103 |
47.2 10 3 |
|||
2 |
B |
|
|
|||||||
1,7 1011 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
рад.
1 участок. Аналогично для угла поворота произвольного сечения этого участка получаем:
M к1(a z1)
1 B |
|
прямая. |
|
|
|||
GJ p |
|||
|
|||
На границах участка вычисляем:
66
z |
a : |
1 |
B |
47.2 10 3 |
рад; |
1 |
|
|
|
z 0 |
: |
|
|
47.2 10 3 |
1 106 |
103 |
64.9 10 |
3 |
||
1 |
O |
|
|
|
|
|
||||
1 |
|
|
1,7 |
1011 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
||||
рад.
По полученным значениям строим с соблюдением масштаба эпюру углов закручивания (рис. 3.8 в).
5) Проверка жёсткости вала. Чтобы выполнить проверку, определим наибольший относительный угол закручивания, подставив в формулу (3.12) наибольшее по
модулю значение крутящего момента M к2 |
5 |
|
кН м : |
||||||||||||||||||
|
max |
|
|
M к2 |
|
5 106 |
|
2,94 10 |
5 |
|
рад |
. |
|
||||||||
|
|
|
GJ p |
1.7 1011 |
|
|
мм |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
По условию задачи |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
[ |
] |
5 |
|
|
|
|
|
5 |
|
|
8,7 10 |
3 |
|
рад |
. |
|
|
|
|||
|
|
см 180 10 |
|
|
мм |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Проверяем жёсткость по критерию (3.27): |
|
||||||||||||||||||||
|
max |
|
2,94 10 |
5 |
рад |
|
[ ] |
8,7 |
10 |
3 |
|
рад |
. |
||||||||
|
|
|
мм |
|
|
|
мм |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Вал жёсткий. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Ответ: Реактивный момент |
M A |
1 кН м . Диаметр |
|||||||||||||||||||
вала D |
75 |
мм . Условие жесткости выполняется. |
|||||||||||||||||||
ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ
1.Какой вид деформирования называется кручением?
2.Как определяют крутящий момент в произвольном поперечном сечении вала?
3.Как определяют напряжения при кручении круглого вала (Закон Гука)? Как распределяются напряжения в сечении при кручении круглого вала?
4.Запишите интегральное уравнение равновесия при кручении.
67
5.Что называют абсолютным и относительным углом закручивания? Как они вычисляются?
6.Что такое полярный момент инерции и момент сопротивления? Как они вычисляются для вала круглого кольцевого и сплошного сечения?
7.Сформулируйте условие прочности при кручении круглого вала. Как оно применяется для различных видов расчетов?
8.Что такое жесткость вала?
9.Сформулируйте условие жесткости при кручении круглого вала. Как оно используется для различных видов расчетов?
10.Сформулируйте алгоритм построения эпюр крутящих моментов для статически определимых задач. Как он изменится применительно к неопределимым задачам?
68
4.ИЗГИБ
4.1.ВИДЫ ИЗГИБОВ
Изгибом называют такой вид деформирования, при котором в поперечном сечении стержня действует изгибающий момент. Стержень, работающий на изгиб, называют балкой.
Приложим к балке внешние нагрузки, лежащие в одной из плоскостей, совпадающей с главными центральными осями инерции, например, z и y (рис. 4.1).
Такой изгиб называется
плоским прямым. При прямом изгибе ось изогнутой балки располагается в плоскости действия приложенных нагрузок (в противном случае
изгиб называют косым). При этом в балке возникнут внутренние силы: поперечные (перерезывающие) силы Qx и
Q y и изгибающие моменты M x и M y .
Если в поперечных сечениях балки действуют только изгибающие моменты M x и/или M y , то изгиб называется
чистым.
Если в поперечных сечениях балки действуют как изгибающие моменты M x и/или M y , так и перерезывающие
силы Qx и/или Q y , то изгиб называется поперечным.
4.2. ВНУТРЕННИЕ СИЛЫ ПРИ ИЗГИБЕ
Для определения внутренних сил используется метод сечений, рассмотренный ранее: в произвольном поперечное сечение на каждом участке балки составляются уравнения для поперечной силы и изгибающего момента. Границами участков
69