2644

напряжение зависит от площади поперечного сечения стержня,

перемещение стержня как сумму удлинений участков стержня:

прочности и жесткости выполняются.

ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ

1.Какой вид деформирования называется растяжением (сжатием)? Когда он реализуется?

2.В чем заключается гипотеза плоских сечений?

3.Как определяется нормальная сила в произвольном поперечном сечении стержня? Какое правило знаков принято при определении нормальной силы через внешние силы?

4.Что называется полным или абсолютным продольным удлинением? Что называется относительным продольным удлинением? Какова его размерность? Какова связь между относительной продольной и поперечной деформациями? Что называют абсолютным удлинением?

50

5.Сформулируйте закон Гука. Что характеризует модуль упругости первого рода? Какова размерность модуля упругости? Что называется жесткостью стержня при растяжении и сжатии? Все ли материалы подчиняются действию закона Гука?

6.Как определяются напряжения при растяжении (сжатии) для различных видов расчетов на прочность: проверочного, проектного, на предельную нагрузку?

7.Какое напряжение называется предельным? Какое напряжение называется допускаемым? Как оно выбирается для хрупких и пластичных материалов?

8.Расчет на жесткость: проверочный, проектный, на предельную нагрузку?

9.Какие системы называются статически определимыми и статически неопределимыми? Как устанавливается степень статической неопределимости?

10.Сформулируйте алгоритм решения статически неопределимых задач с применением уравнений совместности перемещений.

11.Закон Пуассона. Что такое коэффициент Пуассона?

51

3.КРУЧЕНИЕ

3.1.ВНУТРЕННИЕ УСИЛИЯ ПРИ КРУЧЕНИИ

Кручением называют такой вид деформирования, при котором в поперечных сечениях стержня возникает только одна внутренняя сила – крутящий момент М к (или М z ).

Деформации кручения подвергаются многие детали машин и конструкций: валы, пружины и пр. Стержень, работающий на кручение, называют валом. В машиностроительных конструкциях элементы, работающие на кручение, как правило, имеют круглое поперечное сечение.

Кручение прямого бруса стержня происходит при нагружении его внешними (скручивающими) моментами mi

(или miz ) относительно его продольной оси z .

Крутящий момент в поперечном сечении вала определяют методом сечений. Он равен алгебраической сумме скручивающих моментов mi , приложенных к валу по одну

сторону сечения:

3.2. ЗАКОН ГУКА ПРИ КРУЧЕНИИ

При изучении деформации стержня, работающего на кручение, вводятся следующие предположения:

1) поперечные сечения вала в процессе нагружения остаются плоскими и перпендикулярными к его оси;

52

2)расстояния между поперечными сечениями в процессе нагружения вала не меняются;

3)радиусы поперечных сечений в процессе нагружения не искривляются и не изменяют своей длины.

Т.о. в процессе нагружения вала каждое поперечное сечение поворачивается в своей плоскости как жёсткая фигура на некоторый угол (этот угол свой для каждого сечения), причем расстояния между сечениями не изменяются.

При кручении в каждой точке сечения возникает только касательное напряжение , которое перпендикулярно радиусу, соединяющему данную точку с центром тяжести сечения.

Согласно закону Гука в пределах упругого деформирования между касательным напряжением и угловой деформацией существует прямо пропорциональная связь:

53

(рис. 3.3). Рассмотрим вырезанный элемент более подробно

54

Подставим (3.7) в закон Гука (3.2):

G . (3.8)

Считая в пределах сечения const (сечение поворачивается целиком), подставим (3.8) в (3.4):

F

называется полярным моментом инерции. Он является геометрической характеристикой сечения.

Тогда:

Рис. 3.5

55

3.4.ПОЛЯРНЫЙ МОМЕНТ ИНЕРЦИИ И ПОЛЯРНЫЙ

МОМЕНТ СОПРОТИВЛЕНИЯ ТРУБЧАТОГО СЕЧЕНИЯ ВАЛА

Рассмотрим сечение вала с наружным диаметром D и

диаметром соосного отверстия d . Обозначим Dd .

или, с учётом (3.15):

56

Из условия прочности (3.18) вытекают три вида расчетов:

4)Проверочный расчет. Сводится к вычислению возникающих в детали напряжений и непосредственной проверке соблюдения условия (3.18).

5)Проектный расчет. Заключается в определении минимально необходимой площади поперечного сечения вала. Для этого условие (3.18) представляется в виде:

Для вала трубчатого сечения с учётом (3.16) условие прочности имеет вид:

6) Расчет на предельную нагрузку. Надо определить допустимую величину нагрузки. Для этого (3.18) представляем в виде:

Определив максимальное допустимое значение [M к ] , с

использованием эпюры крутящих моментов устанавливают допустимые значения скручивающих моментов.

3.6. РАСЧЕТ НА ЖЁСТКОСТЬ ПРИ КРУЧЕНИИ

Определим взаимный угол поворота концевых сечений вала используя соотношения (3.6) и (3.12):

57

если модуль сдвига, крутящий момент и полярный момент инерции сечения постоянны на каждом участке вала.

Условие жёсткости для абсолютных углов закручивания имеет вид:

закручивания, задаваемое конструктором из условий эксплуатации.

Условие жесткости по относительному углу закручивания представляется в виде

где [ ] – допускаемое значение относительного угла

закручивания.

По условиям (3.26) и (3.27) проводят те же виды расчетов, что и из условия прочности (3.18).

3.7. ЭПЮРЫ КРУТЯЩИХ МОМЕНТОВ

При решении статически определимых задач используется следующий алгоритм:

1) Определение реактивных моментов (при необходимости) из условий равновесия.

58

2)Разбиение вала на участки. Границами участков являются: сечения, в которых приложены сосредоточенные моменты, начинается/заканчивается распределенный момент, меняется геометрия сечения.

3)Составление уравнений для крутящего момента на

участках.

4)Определение абсолютных углов закручивания на

участках.

4) Построение эпюр M к (z) и (z) .

5) Проверка на прочность и жёсткость.

Если рассчитывается статически неопределимый вал, то дополнительно надо провести раскрытие статической неопределимости: установить степень статической неопределимости; рассматривая схему деформирования вала; составить уравнение совместности перемещений; в уравнении совместности перемещений заменить углы поворота сечений через крутящие моменты и жесткости ступней вала.

3.8. ЗАДАЧА К1 К КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЕ

Стальной вал кольцевого сечения нагружен скручивающими моментами mi (рис. К1.0–К1.9). Определить

реактивный и наибольший крутящий момент. Построить эпюры крутящих моментов и абсолютных углов закручивания.

и округлить его до ближайшего стандартного размера. Проверить жесткость вала при заданном допускаемом значении

относительного угла закручивания [ ] 4 см . G 8 104

МПа. Численные данные приведены в таблице К1.

Указания. Задача К1 – на расчет на прочность и жесткость при кручении статически определимого вала. Решение задачи проводится в соответствии с алгоритмом, описанным в разделе 3.7. Подробный ход решения аналогичной задачи приведен в примере К1.

59