2644

Это и есть закон. Коэффициент пропорциональности k зависит от физических свойств материала (температуры, давления и пр.), формы тела, положения точки приложения нагрузки A и точки B , перемещение которой определяется.

Закон Гука устанавливает пропорциональность деформаций соответствующим напряжениям.

Этот закон является приближенным. Для одних материалов, например, для стали, его можно считать достаточно точным, а для других, таких как чугун, его можно принять только в грубом приближении.

1.9.ОСНОВНЫЕ ПРИНЦИПЫ (ГИПОТЕЗЫ)

СОПРОТИВЛЕНИЯ МАТЕРИАЛОВ

Данные гипотезы позволяют получить приближенные решения целого ряда задач, которые очень сложно, а иногда и невозможно, решить в строгой постановке. Проверка достоверности решений, получаемых с использованием введенных принципов, осуществляется путем сопоставления расчета и эксперимента.

Гипотеза независимого действия сил (принцип суперпозиции)

Она непосредственно следует из закона Гука. Согласно принципу суперпозиции перемещения, деформации и напряжения, возникающие в упругом теле при действии на него системы сил, не зависят от порядка приложения нагрузок и равны суммам перемещений, деформаций и напряжений от действия каждой из нагрузок в отдельности.

Это значит, что деформация детали не зависит от последовательности приложения действующих сил. Это позволяет свести сложную задачу к ряду простых.

Гипотеза начальных размеров

В сопротивлении материалов рассматриваются малые по сравнению с размерами тела перемещения.

Согласно принципу начальных размеров в случае малых деформаций и перемещений при составлении уравнений для решения равновесия, совместности перемещения или

30

состояния, тело можно рассматривать как жесткое, имеющее начальную форму и размеры.

Принцип Сен-Венана

Согласно принципу, в точках тела, достаточно удаленных от места приложения нагрузки, напряжения и деформации не зависят от способа приложения нагрузки.

Это значит, что характер приложения нагрузки влияет на распределение деформаций

будем считать, что эта область исключена из рассмотрения.

ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ

1.Каковы основные задачи курса сопротивления материалов?

2.Какие методы оценки прочности используют в сопротивлении материала?

3.Что такое расчетная схема?

4.Что является предметом изучения курса сопротивления материалов?

5.С какими объектами работают в сопротивлении материалов?

6.Какие гипотезы используются при описании свойств материала?

7.По каким признакам и как классифицируют нагрузки?

8.Что представляют собой внутренние силы?

9.В чем сущность метода сечений?

10.Какие внутренние силовые факторы возникают в поперечном сечении стержня в общем случае нагружения?

11.Дайте определение деформации. По каким признакам

икак классифицируют виды деформирования?

31

12.Что называется напряжением и какую размерность оно имеет?

13.Что называется нормальным и касательным напряжением? Каков физический смысл напряжения?

14.Что понимают под перемещениями?

15.Что называют линейной и угловой деформациями?

16.В чём состоит закон Гука?

17.В чём заключается принцип независимости действия

сил?

18.В чём состоит принцип начальных размеров?

19.Как формулируется принцип Сен-Венана?

32

2.РАСТЯЖЕНИЕ, СЖАТИЕ

2.1.ВНУТРЕННИЕ СИЛЫ ПРИ РАСТЯЖЕНИИ

Осевым растяжением (или сжатием) стержня принято называть его деформацию, при которой все волокна получают одинаковое удлинение (или укорочение). При этом мы будем предполагать, что в рассматриваемом стержне все плоские сечения, нормальные к его оси, остаются и после деформации плоскими и нормальными. Эта гипотеза носит название гипотезы плоских сечений. Отсюда следует, что все продольные элементы стержня растягиваются совершенно одинаково.

Растяжение (сжатие) реализуется, когда в сечениях стержня прикладывают параллельную оси стержня силу (или

поперечном сечении стержня действует только нормальная

рассмотрим равновесие одной из них (рис. 2.2 б). Приложим нормальную реакцию N , направленную из сечения, в

33

предположении, что стержень растягивается (если по решению она получится отрицательной, то стержень сжимается). Составляем уравнение равновесия:

Т.о. нормальная сила равна алгебраической сумме проекций внешних сил, приложенных по одну сторону от сечения, на ось стержня в противоположном направлении:

2.2. НАПРЯЖЕНИЕ И ДЕФОРМАЦИЯ

Т.к. в поперечных сечениях стержня внутренняя сила направлена вдоль нормали (рис. 2.3), то возникают только нормальные напряжения, равномерно распределенные по сечению и определяемые по формуле

В знаменатель (2.4) может входить не l0 , а l , если использовать принцип начальных размеров (см. раздел 1.9.2).

34

В пределах упругой деформации между напряжением и деформацией существует прямо пропорциональная связь (закон Гука):

упругости характеризует жесткость материала, т.е. способность сопротивляться деформации. Величина модуля упругости материалов устанавливается экспериментально, она зависит от физических свойств материала (давления и температуры).

который под действием нагрузки P , изменил свою длину на l .

35

растяжении (сжатии). Чем больше будет жесткость стержня, тем меньшую деформацию он получит при одной и той же длине. Жесткость характеризует одновременно физические свойства материала и геометрические размеры сечения. Формула для напряжения (2.2) и закон Гука (2.5) являются основными при расчетах на растяжение и сжатие.

Если реакция и сечение постоянны, то (2.6) принимает

Отсюда следует, что удлинение (укорочение), получаемое стержнем, прямо пропорционально растягивающей (сжимающей) силе, длине стержня и обратно пропорционально площади поперечного сечения и величине модуля упругости материала. Иногда модули при сжатии и растяжении не равны (чугун).

В наиболее общем случае, когда законы изменения N и F для отдельных участков стержня различны:

Взаимное перемещение каких-либо двух поперечных сечений стержня равно удлинению (укорочению) той его части, которая заключена между этими сечениями.

36

2.3. РАСЧЕТ НА ПРОЧНОСТЬ

Экспериментально установлено, что детали из одинакового материала разрушаются при практически одинаковом значении напряжения. Его называют предельным напряжением пред .

В расчетах, чтобы исключить случайный фактор (колебания свойств материала или окружающей среды),

используют допустимое напряжение [ ] :

(например, в прессах).

Отсюда получаем условие прочности при растяжении

(сжатии) – деталь прочная, если наибольшее напряжение не

Из условия прочности (2.12) вытекают три вида расчетов: проверочный расчет, проектный расчет и расчет на предельную нагрузку.

1)Проверочный расчет (или проверка прочности).

Известны нагрузки, размеры, материал и допустимое напряжение. Сводится к вычислению возникающих в детали напряжений и непосредственной проверке соблюдения условия

(2.12).

2)Проектный расчет (или подбор сечений).

Известны нагрузки, материал и допустимое напряжение. Заключается в определении минимально необходимой площади поперечного сечения стержня. Для этого условие (2.12) представляется в виде:

37

грузоподъемности). Известны размеры, материал и допустимое напряжение. Надо определить допустимую величину нагрузки. Нагрузка будет наибольшей, когда условие (2.12) из неравенства превращается в равенство. Из него определяется допустимое значение нормальной силы:

Оно влияет на качество технологических операций.

Деталь называют жёсткой, если наибольшее удлинение не превышает допускаемых значений [ l] :

конструктором, исходя из условий эксплуатации.

Подставим (2.17) в (2.18):

N l

EF

l . (2.18)

Расчет на жёсткость обычно проверочный – из (2.13) определяют размеры детали, проверяют условие жёсткости (2.18) и если оно не выполняется, корректируют размеры.

38

2.5. СТАТИЧЕСКИ ОПРЕДЕЛИМЫЕ И СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫЕ СИСТЕМЫ

Системы, состоящие из элементов, имеющих форму стержня, называют стержневыми. Стержневые системы подразделяют на статически определимые и статически неопределимые.

Стержневые системы, в которых нормальные силы и реакции связей определяются при помощи метода сечений и уравнений равновесия, называются статически определимыми. В статически неопределимых системах использование метода сечений и уравнений равновесия для определения нормальных сил и реакций связей оказывается недостаточным. Разность между числом неизвестных усилий, подлежащих определению, и количеством независимых уравнений равновесия, которые могут быть составлены,

называется степенью статической неопределенности системы – n .

2.5.1.Эпюры внутренних сил и перемещения

При решении статически определимых задач используется следующий алгоритм:

1)Определение опорных реакций (при необходимости).

2)Разбиение стержня на участки. Границами участков являются: сечения, в которых приложены сосредоточенные силы, начинается/заканчивается распределенная нагрузка, меняется геометрия сечения.

3)Составление уравнений для нормальной силы на

участках.

4)Составление уравнений для нормальной напряжения на участках.

5) Построение эпюр N (z) и (z) .

6)Определение перемещений.

7)Проверка на прочность и жёсткость.

39