2569

s11 =1, s13 =1, s15 =1, s31 =1, s33 =1, s35 =1 и s51 =1, s53 =1, s55 =1). Из второй, чет-

вертой и шестой строк видно, что вершины υ2 , υ4 и υ6 взаимно достижимы

(элементы s22 =1, s24 =1, s26 =1, s42 =1, s44 =1, s46 =1 и s62 =1, s64 =1, s66 =1).

Таким образом, в орграфе две компоненты сильной связности: подграф с вершинами υ1 , υ3 , υ5 и подграф с вершинами υ2 , υ4 и υ6 (рис. 63).

υ1 υ6

υ3 υ4

Рис. 63. Компоненты сильной связности

Как видно из рис. 63, дуга, исходящая из вершины υ6 и заходящая в вершину υ5 , не вошла ни в одну компоненту сильной связности.

9.4. Вершинная и реберная связность

Числом вершинной связности κ(G) называется число, равное наи-

меньшему числу вершин, удаление которых приводит к несвязному или одновершинному графу.

Числом рёберной связности λ(G) называется число, равное наимень-

шему числу рёбер, удаление которых приводит к несвязному или одновершинному графу.

Например, для графа, изображённого на рис. 64, числа вершинной и рёберной связности соответственно равны κ(G)=1 (при удалении вершины υ8

граф распадается на две компоненты связности), λ(G)=3 (при удалении трех ребер, например, инцидентных вершине υ4 , граф распадается на две компонен-

ты связности).

Вершина υi графа G называется точкой сочленения (разделяющей точкой), если граф Gυi , полученный после удаления у графа G вершины υi , имеет

больше компонент связности, чем сам граф G . При этом если граф G связный и υi – точка сочленения, то граф Gυi несвязный.

61

10. Расстояния в графе

Пусть граф G является связным неорграфом. Так как любые две вершины графа υi и υj связаны, то существуют простые цепи с концами υi и υj . Таких

цепей может быть несколько, и они имеют длины, выражающиеся целыми неотрицательными числами. Следовательно, между вершинами υi и υj должны

существовать простые цепи наименьшей длины.

Наименьшая из длин цепей, связывающих вершины υi и υj , называется расстоянием d (υi ,υj ) между этими вершинами.

Из определения следует, что d (υi ,υi )= 0 . Также можно отметить, что расстояние d (υi ,υj ) между вершинами υi и υj обладает следующими свойст-

С понятием расстояния в графе связаны такие метрические характеристики графа, как эксцентриситет вершины, диаметр и радиус графа.

Для фиксированной вершины υi графа G =<V ,U > расстояние до наиболее удалённой от неё вершины называется эксцентриситетом вершины υi :

Диаметром графа G называется число, равное расстоянию между наиболее удалёнными друг от друга вершинами графа:

Простая цепь, длина которой совпадает с диаметром графа, называется

диаметральной цепью.

Вершина υi называется периферийной, если её эксцентриситет равен

диаметру графа: e(υi )= d (G).

Минимальный из эксцентриситетов вершин связного графа G называется его радиусом r (G):

Так как диаметр графа равен максимальному из эксцентриситетов вер-

63

e(υ1 )= max{d (υ1,υ2 ), d (υ1,υ3 ), d (υ1,υ4 ), d (υ1,υ5 )}= max{1, 2,1, 2} = 2 . e(υ2 )= max{d (υ1,υ2 ), d (υ2,υ3 ), d (υ2,υ4 ), d (υ2,υ5 )}= max{1,1,1,1} =1. e(υ3 )= max{d (υ1,υ3 ), d (υ2,υ3 ), d (υ3,υ4 ), d (υ3,υ5 )}= max{2,1, 2,1} = 2 . e(υ4 )= max{d (υ1,υ4 ), d (υ2,υ4 ), d (υ3,υ4 ), d (υ4,υ5 )}= max{1,1, 2,1} = 2 . e(υ5 )= max{d (υ1,υ5 ), d (υ2,υ5 ), d (υ3,υ5 ), d (υ4,υ5 )}= max{2,1,1,1} = 2 .

Учитывая формулы (10.2) и (10.3), вычислим диаметр и радиус графа:

d (G)= max{e(υ1 ), e(υ2 ), e(υ3 ), e(υ4 ), e(υ5 )}= max{2,1, 2, 2, 2} = 2. r (G)= min{e(υ1 ), e(υ2 ), e(υ3 ), e(υ4 ), e(υ5 )}= min{2,1, 2, 2, 2} =1.

Центром графа является вершина υ2 , так как её эксцентриситет совпадает

с радиусом графа. Все остальные вершины являются периферийными. Диаметральными цепями являются, например, цепи υ1 −υ2 −υ3 , υ1 −υ2 −υ5 ,

υ1 −υ2 −υ4 .

Для связного орграфа расстояния между вершинами определяются как расстояния между соответствующими вершинами в его основании.

Для каждого графа можно ввести так называемую матрицу расстояний P =(pij ), где

расстояний P =(pij ) можно определить эксцентриситет e(υi ) любой вершины

υi графа. Он будет равен наибольшему из чисел, стоящих в i-й строке.

Пример 10.2. Составить матрицу расстояний P =(pij ) для неорграфа, изображённого на рис. 67, и указать центральные и периферийные вершины.

υ2υ3

υ5

υ1 υ4

Рис. 67. Неорграф

65

Решение. Составим матрицу расстояний. Эта матрица будет квадратной пятого порядка, симметричной и элементы её главной диагонали будут нулями, потому что d (υi ,υi )= 0 . Так как элементы pij (i ≠ j ) матрицы расстояний оп-

ределяются в соответствии с (10.4), то найдем их так же, как и в примере 10.1. В итоге получим

Наибольшее число, стоящее в первой строке, равно трем. Следовательно, e(υ1 )=3. Подобным образом определим, что e(υ2 )= 2 , e(υ3 )= 2 , e(υ4 )=3 и e(υ5 )=3. Таким образом, получим d (G)=3, а r (G)= 2 . Следовательно, цен-

трами графа являются вершины υ2 и υ3 . Вершины υ1 , υ4 и υ5 являются периферийными.

Задача нахождения центральных вершин возникает в практической деятельности людей. Пусть, например, граф представляет собой сеть дорог, т.е. вершины соответствуют населенным пунктам, а ребра – дорогам между ними. Требуется оптимально распределить больницы, пункты обслуживания и т.п. В подобных ситуациях оптимизация заключается в минимизации расстояния от места обслуживания до наиболее удаленного населенного пункта. Следовательно, местами размещения должны быть центральные вершины графа. Так, в работе [1] был определен центр московского метро. Схема московского метро представлена в виде графа, вершинами которого являются станции, а ветки метро и переходы между станциями – ребрами, соединяющие вершины. В результате вычислений было определено, что в представленной модели центральных станций московского метро оказывается всего пять: Павелецкая (кольце-

вая), Добрынинская, Октябрьская (кольцевая), Парк Культуры (кольцевая) и

Серпуховская. Их эксцентриситет равен радиусу графа r (G), равному 14. Диаметр графа d (G) равен 26. Две станции имеют подобный эксцентриситет – Ал-

туфьево и Битцевский парк. Результаты вычислений отображены на схеме метро (см. рис. 68). В двойных числах первое соответствует кольцевой станции. Подчеркнем, что это именно схема, а не граф, так как здесь не отражены ребра графа – переходы между станциями, которые входят в вычисление центра метро.

66

11. Рёберные и вершинные обходы графов

11.1. Эйлеровы графы

Рассмотрим обходы рёбер графа. В 1736 г. Эйлером была сформулирована и решена общая проблема теории графов: при каких условиях связный граф имеет цикл, проходящий по каждому его ребру один раз?

Цикл в графе G называется эйлеровым, если он содержит все рёбра графа. Связный граф, который содержит эйлеров цикл, называется эйлеровым.

Эйлеровой цепью называется цепь, содержащая все рёбра графа.

Эйлеров граф можно нарисовать, не отрывая карандаша от бумаги и не повторяя линий. Примером эйлерового графа является граф, изображённый на рис. 69. Этот граф является эйлеровым, так как он содержит цикл υ6 −υ1 −υ2 −υ6 −υ4 −υ2 −υ3 −υ4 −υ5 −υ6 . Можно указать и другие циклы, которые будут различаться лишь порядком обхода рёбер.

υ1

υ6υ2

υ4

Рис. 69. Эйлеров граф

Примером графа, не являющегося эйлеровым, служит задача о кенигсбергских мостах (см. рис. 1 и 14). Именно Эйлером было доказано, что задача имеет отрицательный ответ, так как соответствующий граф не содержит эйлерова цикла. Эйлер сформулировал теоремы, которые позволяют установить, является ли граф эйлеровым.

Теорема 11.1 (Эйлера). Связный граф является эйлеровым тогда и только тогда, когда степени всех его вершин являются чётными.

Теорема 11.2 (Эйлера). Мультиграф обладает эйлеровой цепью тогда и только тогда, когда он связный и число его вершин нечётной степени равно нулю или двум.

68

Из теоремы 11.2 следует, что вершины нечетной степени являются началом и концом эйлеровой цепи. Если таких вершин нет, то эйлерова цепь становится эйлеровым циклом.

Для нахождения эйлерового цикла (эйлеровой цепи) в эйлеровом графе были разработаны специальные алгоритмы. К ним относят алгоритм Флери.

Алгоритм Флери

1.Выбирается произвольная вершина υi .

2.Выбирается произвольно некоторое ребро υi &υk , и ему присваивается

номер 1. Это ребро называется пройденным. Пройденное ребро вычеркиваем. 3. Далее выбираем ребро υk &υj . Присваиваем ему номер на 1 больший

номера предыдущего вычеркнутого ребра и т.д. На этом этапе выбор ребер проводится с учетом следующих условий:

● находясь в вершине υk , не выбираем ребра υk &υi , если имеется воз-

можность иного выбора;

● находясь в вершине υk , не выбирают ребро, являющееся мостом, т.е.

ребро, при удалении (вычеркивании) которого нарушается связность оставшегося графа (т.е. графа, образованного невычеркнутыми рёбрами).

4. После того, как в графе будут занумерованы все рёбра, образуется эйлеров цикл (эйлерова цепь), причём порядок нумерации соответствует последовательности обхода рёбер.

Пример 11.1. Определить, является ли граф, изображенный на рис. 70, эйлеровым, и если является, то найти в нем эйлеров цикл.

υ1 υ2 υ7 υ6

υ5 υ4υ3

Рис. 70. Неорграф

Решение. Так как граф является связным и все степени вершин – четные

(δ (υ1 )=δ (υ2 )=δ (υ3 )=δ (υ5 )=δ (υ6 )=δ (υ7 )= 2, δ (υ4 )= 4 ), то он является эй-

леровым и обладает эйлеровой цепью (в данном случае эйлеровым циклом). Для определения эйлерова цикла применим алгоритм Флери. В качестве начальной вершины выберем, например, вершину υ2 . Далее начнем обходить

ребра в произвольном порядке, например, по часовой стрелке. Присвоим номер

69

1 ребру, соединяющему υ2 с вершиной υ3 . Затем присвоим номер 2 ребру

υ3 &υ4 (рис. 71).

После прохождения ребер 1 и 2 имеются три возможности выбора: ребра υ4 &υ1 , υ4 &υ5 и υ4 &υ7 . Ребро υ4 &υ1 выбирать нельзя, так как оно является

мостом, т.е. если его выбрать, то граф (см. рис. 71) становится несвязным

(рис. 72).

На рис. 72 ребра υ3 &υ4 и υ2 &υ3 не показаны, так как после их нумера-

ции эти ребра вычеркиваются. Таким образом, в качестве третьего ребра можно выбрать любое из υ4 &υ5 и υ4 &υ7 , например υ4 &υ5 . Ему присвоим номер 3.

Далее обходим все оставшиеся незанумерованными ребра и получаем эйлеров цикл: υ2 −υ3 −υ4 −υ5 −υ6 −υ7 −υ4 −υ1 −υ2 (рис. 73).

υ1 8 υ2

11.2. Гамильтоновы графы

Рассмотрим обходы вершин графа. В 1859 г. Сэр Вильям Гамильтон* предложил математическую игру-головоломку, связанную с обходом вершин додекаэдра (задача состояла в нахождении пути вдоль ребер додекаэдра, про-

* Биографические сведения см. в прил. 2.

70