2569

Свободный резерв времени – это запас времени, на который можно отсрочить начало работы или увеличить ее продолжительность при условии, что она начнется в свой ранний срок и при этом ранние сроки начала последующих работ не изменятся.

Понятно, что все резервы критических работ равны нулю.

Все расчеты резервов времени для событий и работ проводят в четыре этапа:

1)вычисляют tp (i);

2)находят tп (i);

3)определяют R(i);

4)находят критический путь и резервы времени работ.

Пример 14.3. Рассчитать все резервы времени для событий и работ сетевого графика, изображенного на рис. 99.

Решение.

Этап 1

При вычислении tp (i) перемещаются по сети от исходного события 1

к завершающему событию 6 в порядке возрастания номеров.

Для исходного события tp (1)= 0 . Для остальных событий применяем формулу (14.1):

tp (2)= max(1,2) {tp (1)+t (1,2)}= max(1,2) {0 + 4} = 4 ,

tp (3)= max(1,3) {tp (1)+t (1,3)}= max(1,2) {0 +6} = 6,

tp (5)=max(2,5),{(tp (2)+t (2,5)),(tp (3)+t (3,5)),(tp (4)+t (4,5))}=

(3,5),

(4,5)

101

Следовательно, критический срок tкр =tp (6)= 23.

Этап 2

При вычислении поздних сроков свершения событий tп (i) перемещаются по сети от завершающего события 6 к исходному событию 1 в порядке убы-

вания номеров.

tп (1)= min(1,2),{(tп (2)−t (1,2)),(tп (3)−t (1,3)),(tп (4)−t (1,4))}=

(1,3),

(1,4)

Этап 3

Для вычисления резервов времени событий R(i) пользуются формулой

(14.3):

R(1)=tп (1)−tp (1)= 0 −0 = 0 , R(2)=tп (2)−tp (2)=9 −4 =5,

102

R(3)=tп (3)−tp (3)= 6 −6 = 0 , R(4)=tп (4)−tp (4)=14 −11 =3,

R(5)=tп (5)−tp (5)=15 −15 =0 , R(6)=tп (6)−tp (6)= 23 −23 = 0.

Часто на сетевом графике вершины графа заменяются кружками, разделенными на четыре сектора. В верхнем секторе записывается номер вершины, в нижнем – резерв времени этого события R(i), в левом – ранний срок сверше-

ния события tp (i), в правом – поздний срок свершения события tп (i)

(рис. 102).

tp (i) i tп (i) R(i)

Рис. 102. Представление вершины графа на сетевом графике

Этап 4

У критических событий резерв времени R(i) равен нулю. В нашем при-

мере критическими являются события 1, 3, 5 и 6. Они и определяют критические работы и критический путь 1–3–5–6 (рис. 103), который выделен жирными дугами.

Рис. 103. Сетевой график

103

Вычислим по очереди для каждой работы сети ранние и поздние сроки начала и окончания и резервы времени по формулам (14.4), (14.5) и (14.6).

Для работы (1,2) имеем

tп.о. (1,2)=tп (2)=9 , tр.н. (1,2)=tp (1)= 0 ,

tр.o. (1,2)=tp (1)+t (1,2)= 0 + 4 = 4 ,

tп.н. (1,2)=tп (2)−t (1,2)=9 −4 =5 ,

Rп(1,2)=tп (2)−tp (1)−t (1,2)=9 −0 −4 =5,

Rc(1,2)=tр (2)−tр (1)−t (1,2)= 4 −0 −4 = 0 .

Для работы (1,3) получим

tп.о. (1,3)=tп (3)= 6 , tр.н. (1,3)=tp (1)= 0,

tр.o. (1,3)=tp (1)+t (1,3)= 0 +6 = 6 ,

tп.н. (1,3)=tп (3)−t (1,3)= 6 −6 = 0 ,

Rп(1,3)=tп (3)−tp (1)−t (1,3)= 6 −0 −6 = 0 ,

Rc(1,3)=tр (3)−tр (1)−t (1,3)= 6 −0 −6 = 0 .

Для работы (1,4) имеем

tп.о. (1,4)=tп (4)=14, tр.н. (1,4)=tp (1)= 0 ,

tр.o. (1,4)=tp (1)+t (1,4)= 0 +3 =3,

tп.н. (1,4)=tп (4)−t (1,4)=14 −3 =11,

Rп(1,4)=tп (4)−tp (1)−t (1,4)=14 −0 −3 =11,

Rc(1,4)=tр (4)−tр (1)−t (1,4)=11−0 −3 =8 .

Для работы (3,4) имеем

tп.о. (3,4)=tп (4)=14 , tр.н. (3,4)=tp (3)=6 ,

tр.o. (3,4)=tp (3)+t (3,4)= 6 +5 =11,

tп.н. (3,4)=tп (4)−t (3,4)=14 −5 =9 ,

Rп(3,4)=tп (4)−tp (3)−t (3,4)=14 −6 −5 =3,

Rc(3,4)=tр (4)−tр (3)−t (3,4)=11−6 −5 =0 .

104

Для работы (2,5) имеем

tп.о. (2,5)=tп (5)=15 , tр.н. (2,5)=tp (2)= 4 ,

tр.o. (2,5)=tp (2)+t (2,5)= 4 +6 =10 ,

tп.н. (2,5)=tп (5)−t (2,5)=15 −6 =9 ,

Rп(2,5)=tп (5)−tp (2)−t (2,5)=15 −4 −6 =5 , Rc(2,5)=tр (5)−tр (2)−t (2,5)=15 −4 −6 =5 .

Для работы (3,5) имеем

tп.о. (3,5)=tп (5)=15 , tр.н. (3,5)=tp (3)= 6 ,

tр.o. (3,5)=tp (3)+t (3,5)=6 +9 =15 ,

tп.н. (3,5)=tп (5)−t (3,5)=15 −9 = 6,

Rп(3,5)=tп (5)−tp (3)−t (3,5)=15 −6 −9 = 0 , Rc(3,5)=tр (5)−tр (3)−t (3,5)=15 −6 −9 = 0 .

Для работы (4,5) имеем

tп.о. (4,5)=tп (5)=15 , tр.н. (4,5)=tp (4)=11,

tр.o. (4,5)=tp (4)+t (4,5)=11+1 =12 ,

tп.н. (4,5)=tп (5)−t (4,5)=15 −1 =14,

Rп(4,5)=tп (5)−tp (4)−t (4,5)=15 −11−1 =3 , Rc(4,5)=tр (5)−tр (4)−t (4,5)=15 −11−1 =3.

Для работы (5,6) имеем

tп.о. (5,6)=tп (6)= 23, tр.н. (5,6)=tp (5)=15,

tр.o. (5,6)=tp (5)+t (5,6)=15 +8 = 23 ,

tп.н. (5,6)=tп (6)−t (5,6)= 23 −8 =15,

Rп(5,6)=tп (6)−tp (5)−t (5,6)= 23 −15 −8 = 0, Rc(5,6)=tр (6)−tр (5)−t (5,6)= 23 −15 −8 = 0.

В заключение заметим, что критических путей в сети может быть несколько. Они могут включать в себя и фиктивные работы.

105

15. Варианты расчетно-графической работы

Характеристика заданий

Расчетно-графическая работа состоит из шести заданий, а каждое задание содержит 30 вариантов. Тем самым, предлагаемые задания индивидуальны для каждого студента. Приступая к выполнению расчетно-графической работы, студент должен знать основные определения теории графов. Для этого ему нужно будет изучить первую и вторую главы данного пособия.

Первое задание расчетно-графической работы связано с понятием неориентированного графа. Отметим, что в этом задании рассматриваются только простые графы. Первое задание состоит из шести задач. Для выполнения первой из них от студента потребуется умение строить матрицы смежности и инцидентности неориентированного графа. С понятием об этих матрицах можно ознакомиться в пятой главе. При решении первой задачи студент должен обратить внимание на примеры 5.1 и 5.3.

Вторая задача первого задания посвящена вычислению количества циклических маршрутов заданной длины. В первую очередь, студенту необходимо изучить первый параграф восьмой главой и разобраться с такими понятиями, как маршрут заданной длины, замкнутый и незамкнутый маршруты и их разновидностями (цепи, пути, циклы и контуры). В этой задаче требуется определить количество маршрутов длины 3 и показать их. Как это делается, подробно разобрано во втором параграфе восьмой главой (см. пример 8.1). Для успешного выполнения второй задачи студенты должны уметь умножать матрицы (этот навык приобретается при изучении курса «Линейная алгебра»), причем в качестве умножаемых матриц используется матрица смежности неорграфа, полученная в первой задаче.

Третья задача первого задания связана с такими характеристиками графа, как радиус и диаметр графа. Эти характеристики описаны в десятой главе. Определение радиуса и диаметра графа связано с вычислением эксцентриситетов его вершин, так как диаметр графа равен максимальному из эксцентриситетов вершин, а его радиус – минимальному. Для вычисления эксцентриситетов необходимо уметь определять расстояния между вершинами графа. Отметим, что эксцентриситеты вершин можно быстро найти при помощи матрицы расстояний (эксцентриситет любой вершины υi будет равен наибольшему из чи-

сел, стоящих в i-й строке матрицы расстояний). После нахождения радиуса и диаметра графа приступают к определению его центральных и периферийных вершин. Решить третью задачу можно так, как показано в примере 10.1 или в

примере 10.2.

В четвертой задаче первого задания нужно найти степени вершин графа. Это понятие раскрыто в третьей главе пособия. При выполнении четвертой задачи следует обратить внимание на пример 3.1.

Пятая задача первого задания требует от студентов знаний таких поня-

106

тий как эйлеров граф, эйлеров цикл и эйлерова цепь. С ними студент может познакомиться в одиннадцатой главе. В пятой задаче студенту необходимо проверить наличие эйлерового цикла (цепи) в предложенном графе. Это можно осуществить, используя теоремы Эйлера (теоремы 11.1 и 11.2). Если эйлеров цикл или эйлерова цепь в графе существует, то ее находят по алгоритму Флери (см. пример 11.1), который описан в первом параграфе одиннадцатой главы. Следует отметить, что в пятой задаче используется решение четвертой задачи (т.е. используются найденные ранее степени вершин графа).

Шестая задача первого задания связана с понятием остова (покрывающего дерева) графа. Это понятие студент может усвоить, разобрав пятый параграф двенадцатой главы. Чтобы найти какой-либо остов графа и показать его, необходимо знать, сколько ребер нужно удалить у графа для получения его остова, а это можно выяснить, вычислив цикломатическое число графа. Цикломатическое число вычисляется в соответствии с теоремой 12.9.

Второе задание расчетно-графической работы связано с понятием ориентированного графа. В этом задании, так же как и в первом, рассматриваются только простые графы. Второе задание состоит из четырех задач. В первой задаче второго задания нужно найти полустепени исхода и захода вершин графа. Это понятие разобрано в третьей главе пособия. При решении первой задачи следует обратить внимание на пример 3.4.

При выполнении второй задачи второго задания студенту понадобится умение строить матрицы смежности и инцидентности ориентированного графа. Отличие между построением этих матриц для орграфов и неорграфов описано в пятой главе. При решении второй задачи студент должен обратить внимание на

примеры 5.2 и 5.5.

Третья задача второго задания посвящена вычислению количества маршрутов длины 2, 3 и 4 из вершины υ3 в υ2 . При решении этой задачи, как и при

решении второй задачи из первого задания будет использована найденная ранее (во второй задаче второго задания) матрица смежности орграфа. Матрицу смежности возводим сначала во вторую степень, затем в третью, а потом в чет-

вертую. Каждая из полученных матриц B2 , B3 и B4 будет показывать количество маршрутов соответствующей длины и, обратив внимание на численное

значение элемента β32 матриц B2 , B3 и B4 , узнаем количество маршрутов длины 2, 3 и 4 из вершины υ3 в υ2 . После выполнения вышеизложенных дейст-

вий следует указать все маршруты (см. пример 8.2).

В четвертой задаче второго задания необходимо найти компоненты сильной связности орграфа. Прежде чем приступать к выполнению задания нужно изучить девятую главу, посвященную связности графов, и разобраться с такими понятиями как компонента связности графа, сильно связный орграф и сильная компонента орграфа, а также, выяснить, как строить матрицы достижимости и контрдостижимости. При выполнении четвертой задачи студенту следует обратить внимание на пример 9.1. Следует отметить, что для решения

107

четвертой задачи будут использованы найденные ранее (во второй и третьей

задачах второго задания) матрица смежности орграфа и матрицы B2 , B3 и B4 . Третье задание расчетно-графической работы направлено на освоение студентом таких действий над графами, как их пересечение, объединение и симметрическая разность. Познакомиться с этими действиями студент может, разобрав шестую главу. Особое внимание нужно обратить на пример 6.2. Следует отметить, что при выполнении третьего задания от студента потребуется умение по заданным матрицам смежности строить графы (отметим, что в первом и втором заданиях расчетно-графической работы студент решает обратную задачу: по заданному изображению графа построить его матрицу смежности). Построив исходные графы G1 и G2 , далее строят их пересечение G1 ∩G2 , объе-

динение G1 G2 и симметрическую разность G1 G2 . Матрицы смежности графов G1 ∩G2 , G1 G2 и G1 G2 можно получить двумя способами:

● построив их по полученным изображениям графов G1 ∩G2 , G1 G2 и

G1 G2 ;

● из исходных матриц смежности B1 и B2 графов G1 и G2 , применив к

матрицам операции пересечения, объединения и симметрической разности. Четвертое задание расчетно-графической работы посвящено нахожде-

нию кратчайшего пути во взвешенном орграфе по алгоритму Дейкстры. Алгоритм Дейкстры описан в третьем параграфе восьмой главы. При решении четвертого задания необходимо обратить внимание на пример 8.5. Следует отметить, что при выполнении данного задания студенту понадобится знание таких понятий как взвешенный граф и матрица весов, а также потребуется умение строить взвешенный орграф по заданной матрице весов. Понятия взвешенного графа и матрицы весов рассмотрены во втором параграфе седьмой главы.

Пятое задание расчетно-графической работы связано с понятием взвешенного графа и посвящено решению такой экстремальной задаче на графах, как задача об остове наименьшего веса. Студенту требуется решить эту задачу, используя два алгоритма: Краскала и ближайшего соседа. Подробное описание алгоритмов рассмотрено в первом параграфе тринадцатой главы. При выполнении пятого задания необходимо обратить внимание на примеры 13.1 и 13.2.

Шестое задание затрагивает такое приложение теории графов, как сетевое планирование. Прежде чем приступить к выполнению задания студент должен изучить четырнадцатую главу и разобраться с понятиями сетевого графика, работы и события. Перед выполнением расчетов критического срока выполнения работ, сроков свершения событий, резервов времени событий, сроков начала и окончания всех работ, полных и свободных резервов времени всех работ (см. пример 14.3) студент должен построить сетевой график (см. пример 14.1) и определить правильную нумерацию его вершин (см. пример 14.2).

108