2491

Следует помнить, что матрица Ds получается дифференцированием матрицы А по времени. Это не только осложняет процесс вычисления Ds при аналитическом дифференцировании А, но и снижает точность получаемого решения на компьютере при численном дифференцировании А.

1.6. Постановка задачи динамики ММ на основе принципа наименьшего принуждения Гаусса

Метод решения задач динамики ММ на основе принципа наименьшего принуждения Гаусса не требует предварительного составления уравнений движения звеньев ММ, но требует предварительного вывода системы уравнений, описывающей все связи, налагаемые на относительные движения звеньев кинематическими парами.

В общем случае система уравнений связей для ММ может быть записана в виде матричного уравнения

вектора Vi скорости центра масс звена i в абсолютной системе

ханизма; р – число приводов звеньев ММ, которое обычно равно числу звеньев n; A={a ji} (r 6n), A={b jl} (r p), С=

130

{ C j }RT ; R – число связей, определяемое количеством и классами кинематических пар.

При отсутствии общих связей, налаженных на движения звеньев ММ, общее число связей, наложенных на движения звеньев механизма число связей

где pk – число кинематических пар k-того класса.

Элементы матриц А, В и вектора С зависят в общем случае от компонент вектора qˆ и времени.

Если i-1, i кинематическая пара вращательная, то уравнения связей, налагаемых парой на относительные движения i-1 и i-того звеньев, имеют вид

где первое уравнение отражает параллельность орта еi и вектора относительной угловой скорости i , второечетвертое -

темы Zi, связанной с звеном i. Последнее уравнение отражает

свойство ортогональности векторов Vi и еi .

Если i-1, i кинематическая пара поступательная, то система уравнений связей, налагаемых этой парой на относительные движения звеньев i-1 и i, получается из (2) заменой первого и четвертого уравнений на уравнения

Зависимость коэффициентов рассмотренных уравнений связей от обобщенных координат ql , а через них от времени,

131

ния, зависят от обобщенных координат и времени. Поскольку при составлении уравнений связей рассматривают только движение в кинематических парах, можно считать, что

Уравнения связей инвариантны относительно выбора систем координат, поэтому правые их части могут быть определены при ql = 0, т.е. для начального положения ММ, а левые –

при произвольном ql . При этом qik (k=1,2,3) будут равны про-

Дифференцированием (1) по времени получаются уравнения связей для квазиускорений

Уравнения связей (1) и (4) являются соотношениями между возможными квазискоростями и квазиускорениями и обобщенными скоростями и ускорениями. Действительные квазискорости и квазиускорения также удовлетворяют этим уравнениям, но кроме этого они должны удовлетворять уравнениям динамики.

Пусть внешние нагрузки, действующие на звено i, приведены к главному вектору силы

Выражение (5) задает способ определения меры принуж-

ˆ

дения для возможного вектора ускорений Х . В таком случае принято говорить, что мера принуждения Мр является функ-

ˆ

ционалом, определенным на всевозможных векторах Х . Согласно принципу наименьшего принуждения Гаусса величина

Мр минимальна для вектора ˆ действительных ускорений. В

Х

силу квадратичной зависимости Мр от ˆ вторые частные

Х

Таким образом, принцип наименьшего принуждения Гаусса сводит задачу определения ускорений звеньев к задаче ми-

нимизации величины принуждения Мр при квазискоростях ˆ

Х

и квазиускорениях ˆ удовлетворяющим уравнениям связей

Х

(1) и (4). Для решения этой задачи используются методы теории оптимизации.

Один из методов решения задачи минимизации Мр основан на использовании матрицы - градиента зависимости Мр, который определяется соотношением

gˆ grad Mp=d Mp/d xˆ =Ф xˆ .

Компоненты матрицы gˆ равны частным производным

функции Мр по компонентам матрицы ˆ .

Х

Процесс решения задачи минимизации Мр является процессом многошагового поиска минимума Мр , реализуемым на основе алгоритмов теории оптимизации. Для его реализации

необходим начальный вектор ускорений ˆ , задаваемый из

Х

какихлибо соображений. Следует отметить, что процесс оптимизации сам по себе является весьма сложным вычислительным процессом, требующим не только специальный мате-

134

матический аппарат, но и интуиции и высокой квалификации в программировании и методах вычислений от исследователя.

Следует подчеркнуть, что принцип наименьшего принуждения Гаусса позволяет определить матрицу квазиускорений

ˆ по известным внешним нагрузкам и обобщенным силам,

Х

развиваемым приводами, при известной матрице квазискоро-

смотрен ниже в разделе 3.8, где описан алгоритм интегрирования дифференциальных уравнений динамики манипуляционных механизмов.

3.7. Сравнение методов динамического анализа ММ

Рассмотренные методы динамического анализа обладают примерно одинаковой универсальностью, поскольку используют самую общую информацию о звеньях механизма.

Однако эти методы приводят к различным по форме дифференциальным уравнениям и требуют, совершенно разных по сути методов решения этих уравнений.

Наиболее простым и легко алгоритмизируемым является кинетостатический метод, который не требует оптимизационных процедур для получения решения.

Примерно такими же качествами обладает метод, основанный на уравнениях Лагранжа II рода и метод возможных перемещений. Однако, первый и этих методов требует аналитического или численного дифференцирования кинетической энергии механизма, что повышает вероятность ошибок и сни-

135

жает точность результатов вычислений при численном решении задачи динамики.

Метод наименьшего принуждения Гаусса предполагает использование процедуры оптимизации функционала, выражающего меру принуждения. Реализация подобной процедуры может оказаться не проще, чем решение задачи динамики одним из других методов. Практика решения задач оптимизации многими исследователями, в том числе и автором настоящего пособия, показывает, что эти методы нужно применять только в тех случаях, в которых оптимизация порождается сутью решаемой задачи, а не формой ее описания.

3.8.Интегрирование уравнений динамики ММ

Сточки зрения теории дифференциальных уравнений уравнения динамики ММ несмотря на различие способов, которыми они были получены (за исключением метода наименьшего принуждения Гаусса), являются неоднородными дифференциальными уравнениями второго порядка, линейными относительно второй производной искомой матрицы и нелинейными относительно первой производной этой матрицы.

Искомой матрицей может быть либо матрица qˆ обобщенных

координат ММ, либо матрица квазискоростей ˆ . Однако, ис-

Х

пользуя связь

ˆ

ˆ

Х = С q ,

всегда можно исключить из системы дифференциальных урав-

нений матрицу квазискоростей ˆ и получить систему диффе-

Х

ренциальных уравнений относительно qˆ . Таким образом, в

136

любом случае, система дифференциальных уравнений динамики манипулятора может быть приведена к системе

где А – матрица порядка р р, р - количество обобщенных координат манипулятора, равное для манипуляторов, образованных открытыми кинематическими цепями числу подвижных звеньев манипулятора или его числу степеней подвижности; В

– матрица – столбец размерности р.

Решение системы уравнений (1) аналитическими методами практически невозможно, поскольку система нелинейная

по обобщенным скоростям qˆ и содержит для манипуляторов

универсальных роботов не менее шести уравнений. Поэтому обычно уравнение (1) не решается как дифференциальное

Рекуррентные соотношения (2) и (3) можно использовать для определения закона движения ММ, т.е. функции qˆ (t) оп-

ределенной на отрезке [0, t0], где 0, t0 - моменты времени, соответствующие началу и концу рассматриваемого процесса

движения. Для этого необходимо иметь матрицы qˆ (0), qˆ (0),

qˆ (0). Первые две матрицы обычно задаются, т.к. в противном случае решение задачи динамики становится неопределенным.

137

Матрица qˆ (0) может быть определена из системы уравнений

(1), которую нужно записать для начального момента времени t0

и (3), можно из системы уравнений (1), записанной для момен-

ный процесс для всех выбранных на отрезке [0, t0] достаточно близких друг к другу моментов времени, можно определить

зависимости матриц qˆ (t), qˆ (t) и qˆ (t) от времени. По этим

матрицам можно определить координаты, скорости и ускорения любых точек звеньев ММ, решая прямые задачи о положении и ориентации схвата, а также прямую задачу кинематики.

Таким образом решается обратная задача динамики ММ. Прямая задача динамики ММ, т.е. задача в которой по извест-

ным матрицам qˆ , qˆ и qˆ определяется матрица обобщенных

сил ˆ , действующих на приводы ММ, решается гораздо про-

Р

ще и сводится к алгебраическим матричным операциям.

3.9. Влияние относительного вращения роторов приводных двигателей на динамику ММ

Если электро-, гидроили пневмодвигатель вращательного движения установлен на подвижном звене ММ, то его вра-

щающийся ротор оказывает влияние на матрицу qˆ обобщенных ускорений звеньев ММ за счет гироскопического эффекта.

Статор двигателя не меняет своего положения относительно звена, на котором он закреплен, поэтому инерционные

138

характеристики звена с не вращающимся ротором относительно осей, связанной с звеном системы координат, не зависят от времени. Эти инерционные характеристики определяются методами, изложенными в [7].

Движение звена с вращающимся ротором можно представить как сумму движения звена с не вращающимся ротором и собственного вращения ротора.

Пусть J* и * - момент инерции и вектор угловой скоро-

вектор момента импульса ротора относительно его оси вращения, вдоль которой направлен вектор * , определится формулой

где rs - вектор-радиус, идущий из центра масс S звена с двига-

телем в произвольную точку С ротора; rsR - вектор-радиус, идущий из точки S в центр масс R ротора; r - вектор-радиус,

идущий из центра масс R ротора в точку ротора С; Vc =Ve + Vr

носная скорость для точки С ротора, обусловленная движени-