2491

нематической схеме механизма. Все перечисленные методы допускают матричную формулировку, что весьма удобно для использования на ЭВМ.

Кроме этих методов, уже ставших классическими, динамика ММ располагает методами, использующими математическое и динамическое программирование.

3.2. Задачи и цели динамики ММ

Прямой задачей динамики ММ называется определение обобщенных сил (сил и моментов сил, действующих на приводы ММ), при которых обеспечивается заданное движение звеньев ММ.

Задача, в которой по известным обобщенным силам определяется движение ММ, т.е. функции обобщенных координат qi (t) (i=1,2, …,n), от времени, называется обратной задачей динамики ММ.

Применительно к ММ имеет смысл говорить о функциональной динамике, позволяющей из некоторого набора законов движения ММ выбрать тот, который больше отвечает условиям, вытекающим из условий функционирования ММ. Функциональная динамика тесно связана с динамическим синтезом и проблемами оптимизации ММ. Изучение динамики ММ необходимо для проведения силового расчета ММ, так как в итоге динамических расчетов определяются законы изменения обобщенных ускорений qi (t), использующиеся в си-

ловом расчете.

110

Методы динамики ММ необходимы для конструирования методов оптимального и автоматизированного проектирования ММ, которые имеют важнейшее значение, поскольку не оптимально спроектированные ММ уже не удовлетворяют современным требованиям.

3.3. Кинетостатический метод составления дифференциальных уравнений динамики

Очевидно, что уравнения кинетостатики являются записанными в своеобразной форме дифференциальными уравнениями динамики звеньев механизма.

Методы составления уравнений кинетостатики, а также решения прямой задачи динамики ММ, рассмотрены в разделе «Силовой расчет ММ». При решении прямой задачи используются рекуррентные соотношения между силами и моментами. При решении обратной задачи использование рекуррентных соотношений уже невозможно, т.к. движение некоторого звена механизма зависит не только от приложенных к механизму внешних сил, но и сил инерции действующих на другие звенья механизма, а значит и от движений этих звеньев. Поэтому решение обратной задачи динамики требует составление полной системы динамических уравнений, включающей уравнения движения всех звеньев механизма. Такая система уравнений может быть получена на основе соотношений (1.5.5) которые можно представить в виде системы уравнений в матричной форме

111

Если i-1, i кинематическая пара вращательная, то Pi = PMi является моментом привода для этой пары и

где l – начальное значение индекса суммирования, являющееся функцией m=1,2, …,n;

i, при m i,

l(m)= m, при m i.

Если r-1, r - кинематическая пара является поступательной, то Pr = PFr является силой, действующей на привод в этой паре

и

Доказательство возможности представления соотношений (1.5.5.) и в виде (2) и (3) основано на простейших алгебраических операциях.

Действительно для i-1, i вращательной пары

113

где im и hi взяты согласно (2).

Для поступательной r-1, r -кинематической пары, согласно (1.5.5) получается

Полученные соотношения для PMi и PFr совпадают с соответствующими уравнениями системы (1).

Систему (1) можно использовать и для определения статических нагрузок на приводы ММ, если положить qˆ = 0, qˆ = 0.

Тогда получается система

115

получаются из (2) и (3) путем отбрасывания членов, содержащих в качестве множителей обобщенные скорости и ускорения.

Матрица Ф связывает нагрузки на звенья ММ с обобщенными ускорениями этих звеньев. Пусть А=Ф-1, тогда система

(1) примет вид

обобщенные силы и, наоборот, каждому вектору ˆ обобщен-

Р

ных сил соответствует вполне определенный вектор qˆ обоб-

щенных ускорений. Поэтому матрица Ф не может быть особенной и всегда имеет обратную матрицу. Следует отметить, что матрицы Ф и А не зависят от кинематических характеристик ММ и определяются геометрическими и динамическими характеристиками звеньев ММ.

3.4. Построение уравнений динамики ММ на основе принципа возможных перемещений

В соответствии с принципом возможных перемещений, при неизменных связях сумма возможных мощностей главных

низма равна определенной для всего механизма сумме возможных мощностей обобщенных сил, т.е. сил и моментов сил, действующих на приводы механизма.

116

линейной скорости точки приложения ГGm , угловой скорости

Эта система уравнений применима как для разомкнутой, так и для замкнутой кинематической цепи.

Для разомкнутой кинематической цепи можно считать, что изменение qi, то есть движение в i-1, i кинематической паре не изменяет обобщенные координаты прочих звеньев ММ, т.е. не вызывает относительных движений в остальных кинематических парах. При этом, очевидно, что части кинематической цепи, соединяющиеся i-1, i кинематической парой, движутся друг относительно друга как жесткие тела. В таком случае

методами.

117

Если i-1, i кинематическая пара поступательная, то все звенья с номерами j i движутся поступательно со скоростью

нья ММ не вращаются. Таким образом Vmi = 0 при m i,

Если i-1, i кинематическая пара вращательная, то все звенья ММ с номерами m i неподвижны, а звенья с номерами m

i вращаются с одинаковой угловой скоростью

векторрадиус, направленный из центра i-1, i пары в центр масс звена m.

В замкнутой кинематической цепи при изменении qi, как правило, изменяются одновременно с qi и несколько других обобщенных координат, т.е. движение в i-1, i кинематической паре обязательно сопровождается движениями в других кинематических парах ММ. В этом случае определение векторов

тодами кинематики, применяемыми для замкнутых кинематических цепей.

118