2402

3.Если точка принадлежит линии, то проекция точки принадлежит этой линии:

A l A1 l

4.Если отрезок прямой линии делится точкой в каком-либо отношении, то и проекция отрезка делится проекцией точки в том же отношении.

5.Точка пересечения проекций двух пересекающихся прямых линий является проекцией точки пересечения этих линий.

6.Проекция отрезков параллельных прямых параллельны и их длины находятся в таком же соотношении, как и длины проецируемых отрезков.

7.Проекции двух скрещивающихся (непересекающихся) прямых линий в зависимости от направления проецирования могут или пересекаться или быть параллельными.

8.При ортогональном проецировании прямой угол проецируется без искажения (с прямым углом), если одна из его сторон параллельна плоскости проекций, а другая не перпендикулярна ей.

9.Плоская фигура, параллельная плоскости проекций, проецируется на эту плоскость без искажения.

10.При параллельном перемещении фигуры или плоскости проекций, изображение фигуры на этой плоскости не изменяется.

Вопросы для самопроверки:

1.Что такое центральное проецировании?

2.Что такое параллельное проецировании?

3.Что такое ортогональное проецирование?

13

4. Перечислите основные свойства параллельного проецирования.

3. ЭПЮР МОНЖА

Выдающийся математик Гаспар Монж (1746-1818 г.г.) дал обобщающий метод решения стереометрических задач геометрическими построениями на плоскости, создав тем самым науку НГ. Он систематизировал и обобщил различные способы изображения пространственных предметов на плоскости в 2-х проекциях, рассматривая чертеж (эпюр) как результат совмещения 2-х взаимноперпендикулярных плоскостей проекций.

Положение точки в пространстве может быть определено, если будет задана какая-либо координатная система. Наиболее удобной является декартова система

координат (рис. 3.1). Z

+

14

1 – горизонтальная плоскость проекций

2 – фронтальная плоскость проекций

3 – профильная плоскость проекций

Оси: X – абцисс, Y – ординат, Z – аппликат. Точка О – начало координат.

Плоскости проекций делят пространство на 8 октантов. При отчете координат точки и данном направлении осей

получим:

Эпюр – чертеж, составленный из 2-х или 3-х связанных между собой ортогональных проекций геометрической фигуры. Преобразование пространственного макета в эпюр осуществляется путем совмещения плоскостей 1 и 2 с 3

(рис. 3.2.).

Z

Y

3.2. Плоскости проекций на эпюре Монжа

15

Вопросы для самопроверки:

1. Как располагаются плоскости проекций и оси координат на эпюре Монжа?

4. ОРТОГОНАЛЬНАЯ ПРОЕКЦИЯ ТОЧКИ

(Свойство № 1: A A1 )

Пусть дана в пространстве т. А и три взаимно перпендикулярных плоскости 1, 2, 3. Положение т.А определяется тремя координатами (x, y, z), показывающими, на какое расстояние эта точка отдалена от плоскости проекций (рис. 4.1).

Z

Рис. 4.1. Комплексный чертеж точки

АА1 - горизонтально-проецирующая прямая; АА2 - фронтально-проецирующая прямая; АА3 – профильно-проецирующая прямая.

16

Две проецирующие прямые определяют проецирующую плоскость.

Чтобы получить эпюр т. А преобразуем пространственный макет. Фронтальную проекцию т. А оставим на том же месте, а горизонтальную и профильную – развернем до совмещения 1 и 3 с плоскостью 2.

Связь с профильной проекцией может быть установлена с помощью дуги или постоянной прямой k эпюра Монжа, для этого проводят биссектрису угла.

Итак, чтобы определить положение точки в пространстве, необходимо знать три ее координаты x, y, z :

А1(x, y), А2(x, z), А3(y, z).

Свойство. Положение точки в пространстве вполне определяется положением двух ее ортогональных проекций.

Следствие. По двум любым заранее заданным проекциям точки всегда можно построить недостающую третью проекцию.

Задание: достроить третью проекцию, если известны а)В2 и В3, б) С1 и С3.

Вопросы для самопроверки:

1.Дайте определение комплексного чертежа

2.Назовите и обозначьте основные плоскости проекций. 3.Что такое вертикальная и горизонтальная линии

связи?

4.Как называется расстояние, определяющее положение точки относительно плоскостей проекций?

5.Как построить третью проекцию точки, если известны две ее проекции?

6.Какие координаты точки можно определить по ее горизонтальной проекции, по профильной проекции?

7.Как построить комплексный чертеж точки по ее

17

координатам?

5. ОРТОГОНАЛЬНАЯ ПРОЕКЦИЯ ПРЯМОЙ

Для определения проекции прямой, достаточно знать проекции двух точек, принадлежащих этой прямой.

5.1. Прямая общего положения

Прямая l, которая пересекает три проекционные плоскости, называется прямой общего положения (рис. 5.1).

Точка пересечения прямой l c плоскостью проекций, называется следом прямой.

18