1948

Воронежский государственный технический университет

В.В. Горбунов О.А. Соколова

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

Утверждено Редакционно-издательским советом университета в качестве учебного пособия

Воронеж 2005

УДК 519.2

Горбунов В.В., Соколова О.А. Теория вероятностей и математическая статистика: Учеб. пособие. Воронеж: Воронеж. гос. техн. ун-т, 2005. 86 с.

В учебном пособии излагаются элементы теории вероятностей и математической статистики. Теоретический материал иллюстрируется большим количеством примеров. Содержатся вопросы для самопроверки и задачи для самостоятельного решения.

Учебное пособие соответствует требованиям Государственного образовательного стандарта высшего профессионального образования по направлению 151000 «Конструкторскотехнологическое обеспечение автоматизированных машиностроительных производств», специальности 151002 «Металлообрабатывающие станки и комплексы», дисциплине «Математика».

Учебное пособие подготовлено на магнитном носителе в текстовом редакторе Microsoft Word и содержится в файле ―ТеорВер1.doc‖.

Ил. 5. Библиогр.: 4 назв.

Научный реактор д-р физ.-мат.наук, проф. В.Д. Репников

Рецензенты: кафедра естественно-научных дисциплин Международного института компьютерных технологий (зав. кафедрой канд. техн. наук, доц. С.П. Попов);

д-р физ.-мат.наук, проф. Д.С. Cайко

Гобунов В.В., Соколова О.А., 2005 ГОУВПО «Воронежский государственный технический университет», 2005

2

Введение

Современное машиностроительное производство предполагает наличие высокоразвитой системы технологического обеспечения. Компьютеризация конструкторскотехнологической подготовки требует наличие хорошей математической подготовки.

Данное пособие продолжает серию пособий по высшей математике и посвящено изучению элементов теории вероятностей и математической статистики.

Пособие имеет следующую структуру. В начале каждого параграфа приводятся соответствующие теоретические сведения (определения основных понятий, формулы, правила, признаки, методы). Затем следуют вопросы для самопроверки и примеры решения типовых задач различной степени трудности. Далее предлагаются задачи для самостоятельного решения. Ко всем задачам даны ответы.

Учебное пособие соответствует требованиям Государственного образовательного стандарта высшего профессионального образования по направлению 657800 «Конструкторскотехнологическое обеспечение машиностроительных производств», специальности 120200 «Металлообрабатывающие станки и комплексы».

3

Такие методы и разрабатываются в теории вероятностей. Ее предметом являются специфические закономерности, наблюдаемые в случайных явлениях.

Теория вероятностей есть математическая наук, изучающая закономерности в случайных явлениях.

Предметом теории вероятностей является изучение ве-

роятностных закономерностей массовых случайных событий. Знание закономерностей, которым подчиняются массовые случайные события, позволяет предвидеть, как эти события будут протекать.

Практика показывает, что, наблюдая в совокупности массы однородных случайных явлений, в них обнаруживаются вполне определенные закономерности, свойственные именно массовым случайным явлениям. Например, при ограниченном числе выстрелов по мишени точки попадания распределяются

вполном беспорядке, но по мере увеличения числа выстрелов

врасположении точек попадания начинает наблюдаться некоторая закономерность, и эта закономерность проявляется тем отчетливее, чем большее количество выстрелов произведено. Расположение точек попадания оказывается приблизительно симметричным относительно некоторой центральной точки: в центральной области группы пробоин они гуще, чем по краям; при этом густота пробоин убывает по вполне определенному закону.

Подобные специфические, так называемые «статистические» закономерности наблюдаются всегда, когда присутствует масса однородных случайных явлений. Отдельные особенности случайных явлений в массе как бы взаимно погашаются, нивелируются, и средний результат массы случайных явлений оказывается практически уже не случайным. Методы теории вероятности приспособлены только для исследования массовых случайных явлений. Они не дают возможности предсказать исход отдельного случайного явления, но дают возможность предсказать средний исход массы аналогичных опытов,

5

конкретный исход каждого из которых остается неопределенным, случайным.

Чем большее количество однородных случайных явлений участвует в задаче, тем определеннее и отчетливее проявляются присущие им специфические законы, тем с большей уверенностью и точностью можно осуществлять научный прогноз.

В настоящее время нет почти ни одной естественной науки, в которой, так или иначе, не применялись бы вероятностные методы. Методы теории вероятностей широко применяются в современной электротехнике, радиотехнике, метеорологии, астрономии, теории автоматического регулирования, в теории надежности, массового обслуживания, стрельбы, во многих теоретических и прикладных науках.

1.2. Событие

Под «событием» в теории вероятностей понимается всякое явление, которое в результате опыта или испытания может произойти или не произойти. Под опытом или испытанием подразумевается вся совокупность условий, при которых событие может произойти или не произойти.

Наблюдаемые нами события можно подразделить на три вида: достоверные, невозможные, случайные.

Достоверным называется событие, которое обязательно произойдет, если будет осуществлена определенная совокупность условий. Например, событие, состоящее в том, что при подбрасывании монеты выпадет либо орел, либо цифра, есть достоверное событие.

Невозможным называется событие, которое заведомо не произойдет, если будет осуществлена совокупность условий. Например, событие «при подбрасывании монеты не произошло выпадение орла или цифры» заведомо не произойдет, т.е.

6

будет невозможным.

Случайным называют событие, которое при осуществлении совокупности условий может либо произойти, либо не произойти. Например, брошенная монета может упасть либо «орлом», либо «цифрой». Поэтому событие «при бросании монеты выпал «орел» - случайное. Каждое случайное событие есть следствие действия очень многих случайных причин (в нашем примере: сила, с которой брошена монета, форма монеты и многих других). Невозможно учесть влияние на результат всех этих причин, поскольку число их очень велико и законы их действия неизвестны. Поэтому теория вероятностей не ставит перед собой задачу предсказать, произойдет единичное событие или нет. В дальнейшем, вместо того чтобы говорить «совокупность условий осуществлена», будем говорить кратко: «произведено испытание». Таким образом, событие будет рассматриваться как результат испытания.

Пример 1. Из карточной колоды извлекается одна карта.. Извлечение карты из колоды есть испытание. Появление туза – случайное событие.

Введем некоторые вспомогательные понятия. Полной группой событий называется такая совокупность событий, что в результате испытания обязательно появится хотя бы одно событие из этой совокупности. Появление хотя бы одного из событий полной группы есть достоверное событие.

Пример 2. Брошена монета. Выпадение орла и выпадение решки образуют полную группу событий. Появление либо орла, либо решки есть достоверное событие.

События называют несовместными, если появление одного из них исключает появление других событий в одном и том же испытании. В частности, если события, образующие полную группу, попарно несовместны, то в результате испытания появится одно и только одно из этих событий.

Пример 3. Из ящика с деталями наудачу извлечена деталь. Появление стандартной детали исключает появление бракованной

7

детали. События «появилась стандартная деталь» и «появилась бракованная деталь» - несовместные.

Пример 4. Приобретены два билета денежно-вещевой лотереи. Обязательно произойдет одно и только одно из следующих событий: выиграл только первый билет, выиграл только второй билет, выиграли оба билета, оба билета оказались без выигрыша. Эти события образуют полную группу попарно несовместных событий.

Пример 5. Стрелок произвел выстрел по цели. Обязательно произойдет одно из следующих двух событий: попадание, промах. Эти два несовместных события образуют полную группу.

События называют равновозможными, если есть основания считать, что ни одно из них не является более возможным, чем другое.

Пример 6. Появление орла и появление цифры при бросании монеты - равновозможные события. Действительно, предполагается, что монета однородна, имеет правильную цилиндрическую форму.

Пример 7. Появление того или иного числа очков на брошенной игральной кости - равновозможные события. Действительно, предполагается, что игральная кость изготовлена из однородного материала, имеет форму правильного многогранника, и наличие очков не оказывает влияния на выпадение любой грани.

Противоположными называют два единственно возможных события, образующих полную группу. Если одно из двух противоположных событий обозначено через А, то другое принято

обозначать A . Например, поломка станка в течение года и отсутствие поломки станка в течение годапротивоположные события.

8

1.3. Классическое определение вероятности

Классическое определение вероятности события основано на использовании понятия элементарного исхода. Пусть в урне содержится 6 одинаковых шаров: два красных, четыре синих, три белых. Возможность вынуть наудачу из урны красный или синий шар больше, чем возможность извлечь белый шар. Вероятность есть число, характеризующее степень возможности появления события.

Дадим количественную оценку возможности того, что взятый наудачу шар цветной. Появление цветного шара будем рассматривать в качестве события А. Каждый из возможных результатов испытания, (испытание состоит в извлечении шара из урны) назовем элементарным исходом (элементарным событием).

Элементарные исходы обозначим через 1, 2 , 3 и т. д. В нашем примере возможны следующие 9 элементарных исходов: события 1 , 2 , 3 связаны с появлением белого шара; 4 , 5 - с появлением красного шара; 6 , 7 , 8 , 9 - с появлением синего ша-

ра. Эти элементарные исходы образуют полную группу попарно несовместных событий (обязательно появится только один шар) и являются равновозможными (шар вынимают наудачу, шары одинаковы и тщательно перемешаны).

Элементарные исходы, в которых интересующее нас событие наступает, назовем благоприятствующими эму событию элементарными исходами. В нашем примере благоприятствуют событию А (появлению цветного шара) следующие 5 исходов: 4 , 5 ,

6 , 7 , 8 , 9 .

Событие А наблюдается, если в испытании наступает любой из благоприятствующих элементарных исходов. Отношение числа благоприятствующих событию А элементарных исходов к их общему числу называют вероятностью события А и обозначают Р ( А ) . В рассматриваемом примере всего элементарных исходов 9; из них 6 благоприятствуют событию А. Вероятность того, что взятый шар окажется цветным, равна

9

Р ( А ) = 6/9.

Вероятностью события А называют отношение числа благоприятствующих этому событию исходов к общему числу всех равновозможных несовместных элементарных сходов, образующих полную группу. Вероятность бытия А определяется формулой

P( A) mn ,

где m - число элементарных исходов, благоприятствующих событию А; п - число всех возможных элементарных исходов испытания.

Из определения вероятности вытекают следующие ее свойст-

ва:

Свойство 1. Вероятность достоверного события равна единице.

Действительно, если событие достоверно, то каждый элементарный исход испытания благоприятствует событию, следовательно,

P( A) m / n n / n 1 .

Свойство 2. Вероятность невозможного события равна ну-

лю.

Действительно, если событие невозможно, то ни один из элементарных исходов испытания не благоприятствует событию. В этом случае m = 0, следовательно,

P(A) 0/ n 0.

Свойство 3. Вероятность случайного события есть положительное число, заключенное между нулем и единицей.

Действительно, случайному событию благоприятствует лишь часть из общего числа элементарных исходов испытания. Вероятность любого события удовлетворяет двойному неравенству

10