1948

0P A 1.

1.4.Основные формулы комбинаторики

Комбинаторика изучает количества комбинаций, подчиненных определенным условиям, которые можно составить из элементов конечного множества. При непосредственном вычислении вероятностей часто используют формулы комбинаторики. Приведем наиболее употребительные из них.

Перестановками называют соединения п различных элементов, отличающиеся только порядком их расположения. Число всех возможных перестановок Рп равно

Рп=п!,

где n!= 12 3...n. Заметим, что 0! = 1.

Пример 8. Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, если каждая цифра входит в изображение числа только один раз?

Р е ш е н и е : Искомое число трехзначных чисел

Р3 = 3! = 12 3 = 6.

Размещениями из m элементов по n называют соединения п различных элементов, которые отличаются либо самими элементами, либо порядком расположения этих элементов. Число всех возможных размещений из m элементов по n равно

Пример 9. Сколько можно составить корабельных сигналов из 6 флажков различного цвета, взятых по 2?

Р е ш е н и е : . Искомое число сигналов равно

Сочетаниями из m элементов по n называют соединения п

11

различных элементов, которые отличаются самими элементами. Число сочетаний из m элементов по n равно

Пример 10. Сколькими способами можно выбрать две детали из ящика, содержащего 10 деталей?

Р е ш е н и е : Искомое число способов равно

C102=10!/(2!8!) = 45.

1.5. Относительная частота. Устойчивость относительной частоты

Относительной частотой события называют отношение числа испытаний, в которых событие появилось, к общему числу фактически произведенных испытаний. Таким образом, относительная частота события А определяется формулой

W(A)=m/n,

где т — число появлений события, п — общее число испытаний.

Определение вероятности не требует, чтобы испытания производились в действительности; определение же относительной частоты предполагает, что испытания были произведены фактически.

Пример 11. Отдел технического контроля обнаружил 2 бракованные детали в партии из 50 случайно отобранных деталей. Относительная частота появления бракованных деталей

W (А) = 2/50=1/25.

Пример 12. По цели произвели 24 выстрела, причем было зарегистрировано 9 попаданий. Относительная частота пора-

12

жения цели

W (А) =9/24.

Наблюдения показали, что если в одинаковых условиях производят опыты, в каждом из которых число испытаний достаточно велико, то относительная частота обнаруживает свойство устойчивости, колеблясь около некоторого постоянного числа. Оказалось, что это постоянное число есть вероятность появления события.

Таким образом, если опытным путем установлена относительная частота, то полученное число можно принять за приближенное значение вероятности.

Пример 13. По данным статистики, относительная частота рождения девочек за 1935 г. по месяцам характеризуется следующими числами: 0,486; 0,489; 0,490; 0,471; 0,478; 0,482; 0.462; 0,484; 0,485; 0,491; 0,482; 0,473.

Относительная частота колеблется около числа 0,482, которое можно принять в качестве приближенного значения вероятности рождения девочек.

1.6. Ограниченность классического определения вероятности. Статистическая вероятность

Классическое определение вероятности предполагает, что число элементарных исходов испытания конечно. На практике же весьма часто встречаются испытания, число возможных исходов которых бесконечно. В таких случаях классическое определение неприменимо. Это обстоятельство является первым ограничением классического определения вероятности.

Во-вторых, очень часто невозможно представить результат испытания в виде совокупности элементарных событий. Еще труднее указать основания, позволяющие считать элементарные события равновозможными. Обычно о равновозможности элементарных исходов испытания говорят из соображений

13

симметрии. Так, например, предполагают, что игральная кость имеет форму правильного многогранника (куба) и изготовлена из однородного материала. Однако задачи, в которых можно исходить из соображений симметрии, на практике встречаются весьма редко. По этой причине наряду с классическим определением вероятности используют и другие определения, в частности статистическое определение: в качестве статистиче-

ской вероятности события принимают предел относительной частоты при n, стремящемся к бесконечности. Свойства ве-

роятности, вытекающие из классического определения, сохраняются и при статистическом определении вероятности.

1.7. Геометрические вероятности

Чтобы преодолеть недостаток классического определения вероятности, состоящий в том, что оно неприменимо к испытаниям с бесконечным числом исходов, вводят геометрические вероятности – вероятности попадания точки в область (отрезок, часть плоскости и т.д.).

Пусть отрезок l составляет часть отрезка L. На отрезок L наудачу поставлена точка. Это означает выполнение следующих предположений: поставленная точка может оказаться в любой точке отрезка L, вероятность попадания точки на отрезок l пропорциональна длине этого отрезка и не зависит от его расположения относительно отрезка L. В этих предположениях вероятность попадания точки на отрезок l определяется равенством

P Ll .

Пример 14. На отрезок ОА длины L числовой оси Ox наудачу поставлена точка B x . Найти вероятность того, что меньший из отрезков ОВ и ВА имеет длину, большую L3 . Предполагается, что вероятность попадания точки на отрезок

14

пропорциональна длине отрезка и не зависит от его расположения на числовой оси.

Решение:. Разобьем отрезок ОА точками С и D на 3 равные части. Требование задачи будет выполнено, если точка

B x попадет на отрезок CD длины L3 . Искомая вероят-

ность

P L3 L 1 3 .

Пусть плоская фигура g составляет часть плоской фигуры G. На фигуру G наудачу брошена точка. Это означает выполнение следующих предположений: брошенная точка может оказаться в любой точке фигуры G, вероятность попадания брошенной точки на фигуру g пропорциональна площади этой фигуры и не зависит ни от ее расположения относительно G, ни от формы g. В этих предположениях вероятность попадания точки в фигуру g определяется равенством

P Площадьg ПлощадьG .

Пример 15. На плоскости начерчены две концентрические окружности, радиусы которых 5 и 10 см соответственно. Найти вероятность того, что точка, брошенная наудачу в большой круг, попадает в кольцо, образованное построенными окружностями. Предполагается, что вероятность попадания точки в плоскую фигуру пропорциональна площади этой фигуры и не зависит от ее расположения относительно большого круга.

Решение:. Площадь кольца (фигуры g)

15

1.8. Теорема сложения вероятностей несовместных событий

Суммой А+В двух событий А и В называют событие, со-

стоящее в появлении события А, или события В, или обоих этих событий. Например, два станка работают в течение месяца. Событие А — поломка первого станка, произошедшая в течение этого месяца. Событие B — поломка второго станка, произошедшая в указанное время. Событие А+В—поломка хотя бы одного станка: или первого станка, или второго станка, или двух станков вместе.

В частности, если два события А и В—несовместные, то

А+В - событие, состоящее в появлении одного из этих событий, безразлично какого.

Суммой нескольких событий называют событие, которое состоит в появлении хотя бы одного из этих событий. Например, событие А+В+С состоит в появлении следующих собы-

тий: А, В, С, А и В, А и С, В и С, А и В и С.

Теорема сложения вероятностей несовместных собы-

тий. Вероятность появления одного из двух несовместных событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий:

P(A+B) = P(A)+P(B).

Следствие. Вероятность появления одного из нескольких попарно несовместных событий, безразлично какого равна сумме вероятностей этих событий:

P(A1+A2+...+An) =P(A1)+P(A2)+...+P(An).

Пример 16. В урне 30 шаров: 10 красных, 5 синих и 15 белых. Найти вероятность появления цветного шара.

Решение: Появление цветного шара означает появление либо красного, либо синего шара.

Вероятность появления красного шара (событие А)

16

P(A)=10/30=1/3.

Вероятность появления синего шара (событие В)

P(B)=5/30.

События А и В несовместны (появление одного шара исключает появление шара другого цвета), поэтому теорема сложения применима.

Искомая вероятность

P(A+B)=P(A)+P(B)=1/3+1/6=1/2.

Следствие. Сумма вероятностей противоположных событий равна единице:

Р(А) + Р( A )=1.

Замечание. Если вероятность одного из двух противоположных событий обозначена через р, то вероятность другого события обозначают q . Таким образом, в силу предыдущей теоремы

р+q=1.

Пример 17. Вероятность того, что день будет дождливым, р=0,7. Найти вероятность того, что день будет ясным.

Решение. События «день дождливый» и «день ясный» - противоположные, поэтому искомая вероятность

q=1-р=1-0,7 = 0,3.

17

1.9. Принцип практической невозможности маловероятных событий

При решении многих практических задач приходится иметь дело с событиями, вероятность которых весьма мала, то есть близка к нулю. Длительный опыт показывает, что маловероятное событие в единичном испытании в подавляющем большинстве случаев не наступает. На основании этого факта принимают следующий «принцип практической невозможности мало-

вероятных событий»: если случайное событие имеет очень малую вероятность, то практически можно считать, что в единичном испытании это событие не наступит.

Достаточно малую вероятность, при которой (в данной определенной задаче) событие можно считать практически невозможным, называют уровнем значимости. На практике обычно принимают уровни значимости, заключенные между 0,01 и 0,05. Уровень значимости, равный 0,01 называют однопроцентным; уровень значимости, 0,02, называют двухпроцентным, и т. д.

Подчеркнем, что рассмотренный здесь принцип позволяет делать предсказания не только о событиях, имеющих малую вероятность, но и о событиях, вероятность которых близка к единице. Из принципа невозможности маловероятных событий вытекает следующее важное для приложений следствие: если случайное событие имеет вероятность, очень близкую к единице, то практически можно считать, что в единичном испытании это событие наступит. Ответ на вопрос о том, какую вероятность считать близкой к единице, зависит от существа задачи.

18

1.10. Теорема умножения вероятностей. Произведение событий

Произведением двух событий А и В называют событие А

В, состоящее в совместном появлении (совмещении) этих событий. Например, если А—станок исправный, В—токарь вышел на работу, то АВ—на станке производится работа. Произ-

ведением нескольких событий называют событие, состоящее в совместном появлении всех этих событий. Например, если А, В, С—появление «орла» соответственно в первом, втором и третьем бросаниях монеты, то ABC — выпадение «орла» во всех трех испытаниях.

1.11. Условная вероятность

Случайное событие определено как событие, которое при осуществлении совокупности условий S может произойти или не произойти. Если никаких других ограничений не налагается, то такую вероятность называют безусловной. Если же налагаются и другие дополнительные условия, связанные с другими случайными событиями, то вероятность события называют условной. Например, часто вычисляют вероятность события В при дополнительном условии, что произошло событие А. Если интересует вероятность извлечения из колоды карт туза при условии, что уже до этого был извлечен один туз, то речь идет об условной вероятности.

Условной вероятностью РА (В) называют вероятность события В, вычисленную при условии, что событие А уже наступило.

Условная вероятность события В при условии, что событие A уже наступило, по определению, равна

РА(В) = Р(АВ)/Р(А).

19

1.12. Теорема умножения вероятностей

Рассмотрим два события: A и В; пусть вероятности Р (А) и РА (В) известны.

Теорема. Вероятность совместного появления двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную в предположении, что первое событие уже наступило:

Р(АВ) = Р(А)РА(В).

Следует отметить, что справедливо равенство

Р(А)РА(В) = Р(В)РВ(А).

Вероятность совместного появления нескольких событий равна произведению вероятности одного из них на условные вероятности всех остальных, причем вероятность каждого последующего события вычисляется в предположении, что все предыдущие события уже появились. В частности, для трех событий

Р(АВС) = Р(А)РА(В)РАВ(С).

Заметим, что порядок, в котором расположены события, может быть выбран любым, т. е. безразлично какое событие считать первым, вторым и т. д.

Пример 18. В урне 5 белых, 4 черных и 3 синих шара. Каждое испытание состоит в том, что наудачу извлекают один шар, не возвращая его обратно. Найти вероятность того, что при первом испытании появится белый шар (событие А), при втором — черный (событие В) и при третьем — синий (событие С).

Р е ш е н и е . Вероятность появления белого шара в первом испытании

Р(А) = 5/12.

Вероятность появления черного шара во втором испыта-

20