1948

реме сложения вероятностей несовместных событий искомая вероятность равна сумме вероятностей всех возможных сложных событий. Поскольку же вероятности всех этих сложных событий одинаковы, то искомая вероятность (появления k раз события А в п испытаниях) равна вероятности одного сложного события, умноженной на их число:

Полученную формулу называют формулой Бернулли.

Вероятность того, что в п испытаниях событие наступит менее k раз; равна Pn(0)+ Pn(1)+…+ Pn(k-1). Вероятность того, что в п испытаниях событие наступит более k раз, равна Pn(k+1)+ Pn(k+2)+…+ Pn(n). Вероятность того, что в п испытаниях событие наступит не более k раз; равна Pn(0)+ Pn(1)+…+ Pn(k).

Пример. 27. Вероятность того, что расход электроэнергии в продолжение одних суток не превысит установленной нормы, равна р=0,75. Найти вероятность того, что в ближайшие 6 суток расход электроэнергии в течение 4 суток не превысит нормы.

Р е ш е н и е : Вероятность нормального расхода электроэнергии в продолжение каждых из 6 суток постоянна и равна

р = 0,75. Следовательно, вероятность перерасхода электроэнергии в каждые сутки также постоянна и равна

q=1 - р==1 - 0,75 = 0,25.

Искомая вероятность по формуле Бернулли равна

31

1.19. Локальная теорема Лапласа

Выше была выведена формула Бернулли, позволяющая вычислить вероятность того, что событие появится в п испытаниях ровно k раз. При выводе мы предполагали, что вероятность появления события в каждом испытании постоянна. Легко видеть, что пользоваться формулой Бернулли при больших значениях п достаточно трудно, так как формула требует выполнения действий над громадными числами.

Существует несколько приближенных формул для вычисления искомой вероятности. Одна из них связана с локальная теоремой Лапласа и позволяет приближенно найти вероятность появления события ровно k раз в п испытаниях, если число испытаний достаточно велико.

Локальная теорема Лапласа. Если вероятность р появ-

ления события А в каждом испытании постоянна и отлична от нуля и единицы, то вероятность Рn (k) того, что событие А появится в п испытаниях ровно k раз, приближенно равна значению функции

при x k np / npq .

Имеются таблицы, в которых помещены значения функции, соответствующие положительным значениям аргумента х. Для отрицательных значений аргумента пользуются теми же таблицами, так как функция x четна, т. е. x x . Итак,

вероятность того, что событие А появится в п независимых испытаниях ровно k раз, приближенно равна

Формула Лапласа дает достаточно хорошие приближения лишь при достаточно больших значениях п.

32

Пример. 28. Найти вероятность того, что событие А наступит ровно 80 раз в 400 испытаниях, если вероятность появления этого события в каждом испытании равна 0,2.

Р е ш е н и е : По условию, n = 400; k = 80; р = 0,2; q = 0,8.

Воспользуемся формулой Лапласа:

1.20. Интегральная теорема Лапласа

Реализуется схема испытаний Бернулли. Производится п испытаний, в каждом из которых вероятность появления события А постоянна и равна р (0 < р < 1). Для вычисления вероятности Рп (k1, k2) того, что событие А появится в п испытаниях не менее k1 и не более k2 раз используется интегральная теорема Лапласа, которую мы приводим ниже, опустив доказательство.

Теорема. Если вероятность р наступления события А в каждом испытании постоянна и отлична от нуля и единицы, то вероятность Рп (k1, k2) того, что событие А появится в п испытаниях от k1 до k2 раз, приближенно равна определенному интегралу

При решении задач, требующих применения интегральной

33

теоремы Лапласа, пользуются таблицами функции Лапласа

для неотрицательных значений х; для х < 0 пользуются той же таблицей, зная, что функция Ф (х) нечетна, т. е.Ф(-х)= - Ф (х). В таблице приведены значения интеграла лишь до х = 5, а для х > 5 можно принять Ф (х) = 0,5.

Вероятность того, что событие А появится в п независимых испытаниях от k1 до k2 раз,

Pn k1, k2 Ф x- Ф x ,

1.21. Распределение Пуассона

Пусть производится п независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события А равна р. Для определения вероятности k появлений события в этих испытаниях используют формулу Бернулли. Если же п велико, то пользуются асимптотической формулой Лапласа. Однако эта формула непригодна, если вероятность события мала ( p 0,1). В этих

случаях (п велико, р мало) прибегают к асимптотической формуле Пуассона

Формула Пуассона справедлива при условии, что произведение пр сохраняет постоянное значение, а именно пр = k. Это означает, что среднее число появлений события в различных сериях испытаний, т. е. при различных значениях п, остается неизменным.

Итак, вероятность того, что при очень большом числе ис-

34

пытаний, в каждом из которых вероятность события очень мала, событие наступит ровно k раз, вычисляется с помощью формулы Пуассона (6).

Пример.29. Завод отправил на базу 5000 доброкачественных изделий. Вероятность того, что в пути изделие повредится, равно 0,0002. Найти вероятность того, что на базу прибудут 3 негодных изделия.

Р е ш е н и е : По условию, п = 5000, р = 0,0002, k = 3.

Найдем :

= пр = 5000 • 0,0002 = 1.

По формуле Пуассона искомая вероятность приближенно равна

2.Случайные величины.

2.1.Виды случайных величин

Случайной называют величину, которая в результате испытания примет одно и только одно возможное значение, наперед не известное и зависящее от случайных причин, которые заранее не могут быть учтены. Например, число родившихся мальчиков среди тысячи новорожденных есть случайная величина, которая имеет следующие возможные значения: 0, 1, 2,

..., 1000. Расстояние, которое пролетит снаряд при выстреле из орудия, тоже есть случайная величина. Действительно, расстояние зависит не только от установки прицела, но и от многих других причин, которые не могут быть полностью учтены. Возможные значения этой величины принадлежат некоторому промежутку (а,b).

В первом из примеров случайная величина X могла принять одно из следующих возможных значений: 0, 1, 2, ..., 1000.

35

Эти значения отделены одно от другого промежутками, в которых нет возможных значений X. Таким образом, в этом примере случайная величина принимает отдельные, изолированные возможные значения. Во втором примере случайная величина могла принять любое из значений промежутка (а, в). Здесь нельзя отделить одно возможное значение от другого промежутком, не содержащим возможных значений случайной величины.

Дискретной (прерывной) называют случайную величину, которая принимает отдельные, изолированные возможные значения с определенными вероятностями. Число возможных значений дискретной случайной величины может быть конечным или бесконечным.

Непрерывной называют случайную величину, которая может принимать все значения из некоторого конечного или бесконечного промежутка. Очевидно, число возможных значений непрерывной случайной величины бесконечно.

Будем далее обозначать случайные величины прописными буквами X, Y, Z, а их возможные значения - соответствующими строчными буквами х, у, z. Например, если случайная величина X имеет три возможных значения, то они будут обозначены так:

x1, x2, х3.

2.2. Закон распределения вероятностей дискретной случайной величины

Для описания дискретной случайной величины недостаточно перечислить все возможные ее значения, нужно еще указать их вероятности.

Законом распределения дискретной случайной величины

называют соответствие между возможными значениями случайной величины и их вероятностями. Закон распределения дискретной случайной величины может быть задан таблично,

36

аналитически и графически.

При табличном задании закона распределения дискретной случайной величины первая строка таблицы содержит возможные значения, а вторая — их вероятности:

X xl х2 . . . хп

Рр1 р2 рп

Приняв во внимание, что в одном испытании случайная величина принимаетодно и только одно возможное значение, заключаем, что события X = xl, X = x2, . . ., X =хп образуют полную группу; следовательно, сумма вероятностей этих событий, т. е. сумма вероятностей второй строки таблицы, равна единице, т.е.

p1 p2 ... pn 1.

Пример 1. В денежной лотерее выпущено 100 билетов. Разыгрывается один выигрыш в 50 руб. и десять выигрышей по 1 руб. Найти закон распределения случайной величины X — стоимости возможного выигрыша для владельца одного лотерейного билета.

Р е ш е н и е : Напишем возможные значения случайной величины X: х1 = 50, x2= 1, х3 = 0. Вероятности этих возможных значений таковы:

р1 = 0,01. р2 = 0,1, p3= l-(p1 + p2) = 0.89.

Тогда искомый закон распределения имеет вид

X50 10 ... 0

Р0,01 0,1 0,89

Для наглядности закон распределения дискретной случайной величины можно изобразить и графически, для чего в прямоугольной системе координат строят точки (xi, рi), а затем соединяют их отрезками прямых. Полученную фигуру называ-

37

ют многоугольником распределения.

2.3. Биномиальное распределение

Пусть производится п независимых испытаний, в каждом из которых событие А может появиться с вероятностью р, либо не появиться с вероятностью q=1-р. Рассмотрим в качестве дискретной случайной величины X число появлений события А в этих испытаниях.

Необходимо найти закон распределения величины X. Для решения такой задачи требуется определить возможные значения X и их вероятности. Событие А в п испытаниях может либо не появиться, либо появиться 1 раз, либо 2 раза, . . . , либо п раз. Таким образом, возможные значения X таковы: х1 = 0, x 2 = l , x3 = 2, . . . , хп+1 = п. Вероятности этих возможных значений, находятся по формуле Бернулли (4). Она является аналитическим выражением искомого закона распределения.

Биномиальным называют распределение вероятностей, определяемое формулой Бернулли.

Напишем биномиальный закон в виде таблицы:

Пример 2. Монета брошена 2 раза. Написать в виде таблицы закон распределения случайной величины X — числа выпадений герба.

Р е ш е н и е : Вероятность появления герба в каждом бросании монеты равна р=1/2, следовательно, вероятность не появле-

ния герба q=1 – 1/2=1/2.

При двух бросаниях монеты герб может появиться либо 2 раза, либо 1 раз, либо совсем не появиться. Таким образом, возможные значения Х таковы: х1 = 2, x 2 = l , x3 =0. Найдем веро-

38

ятности этих возможных значений по формуле Бернулли:

Найдем вероятности этих возможных значений по формуле Бернулли:

Р2(2)=С22 р2=(1/2)2=0,25, Р2(1)= С12рq= 2 1/ 21/ 2 =0,5,

Р2(0)= С02q2=(1/2)2=0,25.

Напишем искомый закон распределения:

р0,25 0,5 0,25.

Контроль: 0,25 + 0,5+0,25=1.

2.4. Числовые характеристики дискретных случайных величин. Математическое ожидание дискретной случайной величины

Как уже известно, закон распределения полностью характеризует случайную величину. Однако часто закон распределения неизвестен и приходится ограничиваться меньшими сведениями. Приходится пользоваться числовыми характеристиками случайной величины, т.е. числами, которые описывают случайную величину суммарно. К числу важных числовых характеристик относится математическое ожидание.

Математическое ожидание, приближенно равно среднему значению случайной величины. Хотя математическое ожидание дает о случайной величине значительно меньше сведений, чем закон ее распределения, но для решения многих задач знание математического ожидания оказывается достаточным.

Математическим ожиданием дискретной случайной вели-

чины называют сумму произведений всех ее возможных значе-

39

ний на их вероятности.

Пусть случайная величина X может принимать только значения xl, х2, . . ., хп, вероятности которых соответственно равны р1, р2, . . ., рп.. Тогда математическое ожидание М (X) случайной величины X определяется равенством

М (X) = х1 р1 + х2 р2 + . . . + хп рп.

Следует отметить, что математическое ожидание дискретной случайной величины есть неслучайная (постоянная) величина.

Пример 3. Найти математическое ожидание случайной величины X, зная закон ее распределения:

р0,1 0,6 0,3.

Решение. Искомое математическое ожидание равно сумме произведений всех возможных значений случайной величины на их вероятности:

М(Х)= 30,1 50,6 2 0,3 =3,9.

Математическое ожидание приближенно равно среднему арифметическому наблюдаемых значений случайной величины, т.е. на числовой оси возможные значения расположены слева и справа от математического ожидания. Математическое ожидание характеризует положение центра распределения, и поэтому его часто называют центром распределения.

Рассмотрим свойства математического ожидания.

Свойство 1. Математическое ожидание постоянной величины равно самой постоянной:

Свойство 2. Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания:

М (СХ) = СМ (X).

40