Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Воронежский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

1813

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.11.2022

Размер:

932.64 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 87 8 > Следующая >>>

При построении простого расширения F(z) возможны

следующие случаи:

1) Элемент z является корнем некоторого ненулевого многочлена f F[x] . Тогда расширение F(z) называется

простым алгебраическим. (Напомним, что через F[x] обо-

значается кольцо многочленов, коэффициенты которых при-

надлежат полю F .)
2) Элемент z	не является корнем никакого многочлена
f F[x] . Тогда	расширение F(z)	называется простым
трансцендентным.
Пример 75. Расширение поля		, полученное присое-

динением к	элемента 3 , имеет вид
	( 3) ={a +b 3; a,b }

и является простым алгебраическим расширением, так как

число	3	является, например,	корнем многочлена
x2 −3	[x] .
Пример 76. Расширение поля			, полученное присое-
динением к		мнимой единицы i , имеет вид

(i) ={a +bi; a,b } =

- это множество всех комплексных чисел. Полученное расширение является простым алгебраическим, так как число i

является корнем многочлена x2 +1			[x] .
Пример 77. Расширение поля			,	полученное присое-
динением к иррационального числа π , имеет вид

(π) =	f (π)	, где f , g	[x],	g(π) ≠ 0	,

g(π)

т.е. (π) состоит из всевозможных отношений вида

a πn +... +a π +a
n	1	0	, где	a	,b	.
			, где	a	,b	.
b πm +... +b π +b				i	i
m	1	0

Расширение (π) является простым трансцендентным рас-

ширением, так как число π не является корнем никакого многочлена с рациональными коэффициентами.

Отметим, что простые расширения поля F , полученные с помощью различных элементов, могут быть как изо-

морфны,		так	и не изоморфны. Например, поля		( 3) ,
(−	3)	и	(1+ 3) изоморфны (они совпадают),		а поля
(	3) и	(	5) неизоморфны.
	Введем теперь понятие конечно порожденного расши-
рения.
	Пусть, как и выше, F - подполе поля			P . Последова-
тельно присоединяя к полю F элементы z1 ,				z2 , … ,	zs , при-

надлежащие полю P , мы получим расширение поля F , которое обозначается F(z1, z2 ,..., zs ) и называется конечно по-

рожденным расширением.

Множество F(z1, z2 ,..., zs ) является полем и состоит из

всевозможных отношений вида	f (z1, z2 ,..., zs )					, где	f и g -

	g(z , z	2	,..., z	s	)
	1

многочлены над полем F , зависящие от s переменных, и g(z1, z2 ,..., zs ) ≠ 0 .

Таким образом, можно дать следующую классификацию расширений полей (по минимальному числу элементов, порождающих эти расширения):

1) простые расширения поля F (которые получаются присоединением к F одного элемента z ).

120

121

Простые расширения в свою очередь бывают:

а) простые алгебраические (если z - корень некоторого ненулевого многочлена f F[x] ),

б) простые трансцендентные (если z не является корнем никакого многочлена f F[x] );

2) конечно порожденные расширения (которые получаются присоединением к F нескольких элементов).

Контрольные вопросы и задания к п. 3.5-3.7

1.Что называется подполем и расширением поля? Приведите примеры.

2.Сформулируйте критерий быть подполем.

3.Какое поле называют простым? Приведите примеры.

4.Что называется простым расширением поля?

5.Приведите примеры простого алгебраического и простого трансцендентного расширения.

6.Что называется конечно порожденным расширением поля?

Приложение ЗАДАНИЯ К ТИПОВЫМ РАСЧЕТАМ

ОСНОВЫ ТЕОРИИ ГРУПП. КОЛЬЦА И ИДЕАЛЫ ЗАДАЧА 1. Найдите подстановку x S9 из уравнения:

а)	ax = c ,				б)	xb = c ,				в)	axb = c , где:
1)	1 2 3 4 5 6 7 8 9											1 2 3 4 5 6 7 8 9
1)	a =									,	b =	,
	4 6 9 5 1 8 2 7 3											5 7 4 6 8 3 2 9 1
	1		2	3	4	5	6	7	8	9
	c =	7	4	5	6	9	2	8	1	;
		7	4	5	6	9	2	8	1	3
2)	1 2 3 4 5 6 7 8 9										1 2 3 4 5 6 7 8 9		,
2)	a =									,	b =		,
	5 7 4 3 6 1 2 8 9										4 6 8 5 9 7 2 3 1
	1		2	3	4	5	6	7	8	9
	c =	7	2	8	5	6	4	1	3	;
		7	2	8	5	6	4	1	3	9
3)	1 2 3 4 5 6 7 8 9										1 2 3 4 5 6 7 8 9		,
3)	a =									,	b =		,
	5 3 2 7 6 1 9 8 4										1 2 4 3 7 9 8 5 6
	1		2	3	4	5	6	7	8	9
	c =	4	3	9	7	5	8	1	6	;
		4	3	9	7	5	8	1	6	2
4)	1 2 3 4 5 6 7 8 9											1 2 3 4 5 6 7 8 9
4)	a =									,	b =	,
	4 6 3 1 8 7 9 5 2											4 5 7 6 2 1 8 3 9
	1		2	3	4	5	6	7	8	9
	c =	4	3	2	7	9	6	8	1	;
		4	3	2	7	9	6	8	1	5
5)	1 2 3 4 5 6 7 8 9										1 2 3 4 5 6 7 8 9
5)	a =									,	b =	,
	1 9 5 8 6 7 3 4 2										3 5 4 7 2 9 8 1 6
	1		2	3	4	5	6	7	8	9
	c =	7	6	8	3	9	4	1	2	;
		7	6	8	3	9	4	1	2	5

122

123

6)	1					2	3	4		5		6		7		8		9
6)	a =					2	6	7		4		3		9		8		,
	1					2	6	7		4		3		9		8		5
	1					2	3	4		5		6		7		8		9
	c =					7	6	2		9		8		4		3		;
	1					7	6	2		9		8		4		3		5
7)	1					2	3	4		5		6		7		8		9
7)	a =	5				6	7	2		1		9		3		8		,
		5				6	7	2		1		9		3		8		4
	1					2	3	4		5		6		7		8		9
	c =					2	8	6		9		7		5		3		;
	1					2	8	6		9		7		5		3		4
8)	1					2	3	4	5		6		7		8		9
8)	a =					7	3	2	8		4		6		5			,
	1					7	3	2	8		4		6		5		9
	c =	1				2	3	4		5		6		7		8		9
	c =			2		1	8	6		9		7		4		3		;
				2		1	8	6		9		7		4		3		5
9)	1					2	3	4		5		6		7		8		9
9)	a =					5	7	3		9		8		4		6		,
	1					5	7	3		9		8		4		6		2
	1					2	3	4		5		6		7		8		9
	c =		9			7	4	6		1		3		8		2		;
			9			7	4	6		1		3		8		2		5
10) a =			1			2	3	4		5		6		7		8		9	,
10) a =					7	5	9	4		6		2		3		8			,
					7	5	9	4		6		2		3		8		1
	c =	1				2	3	4		5		6		7		8		9
	c =					2	7	8		4		3		9		5		;
		1				2	7	8		4		3		9		5		6

1		2	3	4	5	6	7	8	9	,
b =	9	2	4	1	5	6	8	7
									3

1		2	3	4	5	6	7	8	9	,
b =	5	6	3	9	8	1	7	2
									4

1		2	3	4	5	6	7	8	9	,
b =	5	6	9	7	8	2	4	1
									3

1		2	3	4	5	6	7	8	9	,
b =	3	1	2	9	8	5	4	6
									7

1		2	3	4	5	6	7	8	9	,
b =	6	7	1	2	8	3	4	9
									5

11)	1 2 3 4				5	6 7 8 9				,		1	2	3	4	5	6	7	8	9	,
11)	a =				1					,	b =	5	9	7	3	2	4	6	8		,
	4 7 3 5				1	8 6 2 9						5	9	7	3	2	4	6	8	1
	1	2	3	4	5	6	7	8	9
	c =	7	9	6	8	3	5	2	;
	1	7	9	6	8	3	5	2	4

12)	1 2 3 4 5 6 7 8 9											1 2 3 4 5 6 7 8 9
12)	a =									,		b =			,
	1 6 7 8 9 5 4 3 2											5 9 8 6 2 3 4 7 1
	1		2	3	4	5	6	7	8	9
	c =	6	1	2	9	8	7	3	4	;
		6	1	2	9	8	7	3	4	5
13)	1 2 3 4 5 6 7 8 9										,		1	2	3 4 5 6 7 8 9
13)	a =										,	b =	6	5	,
	7 4 8 9 5 6 1 3 2												6	5	7 4 2 1 9 8 3
	1		2	3	4	5	6	7	8	9
	c =	2	7	5	6	3	8	1	9	;
		2	7	5	6	3	8	1	9	4
14)	1 2 3 4 5 6 7 8 9										,		1	2	3 4 5 6 7 8 9
14)	a =										,	b =	7	4	,
	3 5 6 4 7 8 2 9 1												7	4	2 6 5 9 8 1 3
	1		2	3	4	5	6	7	8	9
	c =		5	9	7	6	2	4	3	;
	8		5	9	7	6	2	4	3	1
15)	1 2 3 4 5 6 7 8 9										,		1	2	3 4 5 6 7 8 9	,
15)	a =										,	b =	7	4		,
	5 3 7 6 8 9 2 1 4												7	4	6 9 5 3 8 1 2
	1		2	3	4	5	6	7	8	9
	c =		7	6	5	9	8	2	3	;
	1		7	6	5	9	8	2	3	4
16)	1 2 3 4 5 6 7 8 9										,		1	2	3 4 5 6 7 8 9	,
16)	a =										,	b =	6	3		,
	3 4 7 1 8 9 2 5 6												6	3	7 9 8 1 5 2 4
	1		2	3	4	5	6	7	8	9
	c =	9	5	8	4	2	1	6	3	;
		9	5	8	4	2	1	6	3	7
17)	1 2 3 4 5 6 7 8 9										,		1 2 3 4 5 6 7 8 9
17)	a =										,	b =	5		,
	7 9 3 4 2 5 8 1 6												5	6 3 9 8 4 7 1 2
	1		2	3	4	5	6	7	8	9
	c =	7	8	6	4	3	1	5	9	;
		7	8	6	4	3	1	5	9	2

124

125

18)	1 2 3 4 5 6 7 8 9										,		1 2 3 4 5 6 7 8 9
18)	a =										,	b =	,
	6 9 7 3 4 1 5 8 2												7 5 2 6 3 9 8 1 4
	1		2	3	4	5	6	7	8	9
	c =	4	8	5	7	3	6	9	2	;
		4	8	5	7	3	6	9	2	1
19)	1 2 3 4 5 6 7 8 9										,		1 2 3 4 5 6 7 8 9	,
19)	a =										,	b =		,
	7 5 9 1 2 8 4 3 6												5 8 2 6 7 4 9 3 1
	1		2	3	4	5	6	7	8	9
	c =	2	9	7	6	5	4	8	3	;
		2	9	7	6	5	4	8	3	1
20)	1 2 3 4 5 6 7 8 9												1 2 3 4 5 6 7 8 9
20)	a =									,		b =	,
	6 1 9 5 4 2 3 8 7												5 1 8 3 2 9 6 4 7
	1		2	3	4	5	6	7	8	9
	c =	4	9	8	7	2	3	1	6	.
		4	9	8	7	2	3	1	6	5

ЗАДАЧА 2. Для подстановок a,b S9 из задачи 1 вы-

числите a2 , b3 , ab , ba , (ab)−1 , a2b−3 , a100 , b101 .

ЗАДАЧА 3. Пусть a,b, c S9 - подстановки из задачи 1. Для каждой из подстановок:

1)найдите разложение в произведение независимых циклов

итранспозиций;

2)определите четность тремя способами – по определению, по декременту, при помощи транспозиций;

3)найдите порядок (как элемента группы S9 ).

Укажите, какие из подстановок a , b , c являются сопряженными элементами группы S9 .

ЗАДАЧА 4. Найдите четность и декремент подстановки x S9 , если известно, что x−1 = a2b−3c−1b , где a , b , c –

подстановки из задачи 1.

ЗАДАЧА 5. Докажите, что данное множество относительно указанной операции образует группу; укажите несколько ее подгрупп (ответ обосновать):

1)множество матриц с определителем, равным единице, относительно умножения;

2)множество диагональных матриц над R , все элементы диагонали которых отличны от нуля, относительно умножения;

множество

ненулевых

матриц

вида

где

x, y R , относительно умножения;

−y

множество

ненулевых

матриц

вида

где

λy

x, y R , λ R и λ < 0 , относительно умножения;

0 0 1 i

0 0 i

множество матриц ±

1 ,± −1

0 ,±

−i

,±

относительно умножения;

6)множество диагональных матриц относительно сложения;

7)	множество	комплексных	чисел			вида		a +bi		3 ,	где
	a,b Q , a2 +b2 ≠ 0, относительно умножения;
8)	множество	ненулевых матриц			вида			a	b	,	где
	a,b R , относительно умножения;						−2b		a
	a,b R , относительно умножения;
9)	множество	действительных		чисел		вида		a +b		5 ,	где
	a,b Q , a2 +b2 ≠ 0, относительно умножения;
10)	множество матриц вида		x	y	,	где	x, y Q , относи-
		2 y		x

тельно сложения;

126

127

11)	множество чисел вида	a	,	где a Z , k N0 относи-

		3k
	тельно сложения;
12)	степени данного действительного числа a,				a ≠ 0, ±1, с
	целыми показателями относительно умножения;
13)	множество упорядоченных пар (a,b) , где a,b R , a ≠ 0,
	относительно умножения,			определяемого	формулой
	(a,b)(c, d) = (ac, ad +b) ;
14)	множество действительных			чисел вида a +b 7 , где

a,b Q , a2 +b2 ≠ 0, относительно умножения;

15)множество квадратных невырожденных матриц второго порядка над полем Z2 и определителем, равным 1, относительно умножения;

16)множество матриц с целыми элементами и определителем, равным 1, относительно умножения;

17)множество целых чисел, кратных данному натуральному числу n , относительно сложения;

18) множество всех невырожденных треугольных матриц

	a11		a12	a13
вида		0	a	a	,	где a R , относительно умно-
			22	23		ij
		0	0	a
				33

жения;

19)множество чисел вида 5ak , где a Z , k N0 относи-

тельно сложения;

20)множество матриц порядка n с целыми элементами и определителем, равным ±1, относительно умножения.

ЗАДАЧА 6. Докажите, что данное множество матриц образует группу, причем изоморфную группе подстановок

{e, (1 2), (3 4), (1 2)(3 4)} :

1)	1	0	,	3	2	,		−3 −2				,	−1 0 ;
	0	1						4 3						0
	0	1		−4 −3				4 3						0		−1
2)	1	0	,	7	2		,	−7 −2					,	−1 0 ;
	0	1		−24 −7					24 7						0
	0	1		−24 −7					24 7						0		−1
3)	1	0	,	5	2		,	−5 −2					,	−1 0 ;
	0	1		−12 −5					12 5						0
	0	1		−12 −5					12 5						0		−1
4)	1	0	,	−3 2 ,		3 −2 ,					−1 0 ;
	0	1											0
	0	1		−4 3 4						−3			0		−1
5)	1	0	,	−5 2		,		5 −2 ,					−1 0 ;
	0	1												0
	0	1		−12 5 12 −5										0		−1
6)	1	0	,	9	2		,	−9 −2					,	−1 0 ;
	0	1		−40 −9					40 9						0
	0	1		−40 −9					40 9						0		−1
7)	1	0	,	−7 2		,		7 −2				,	−1 0 ;
	0	1												0
	0	1		−24 7				24 −7						0		−1
8)	1	0	,	11	2		,		−11 −2					,		−1 0 ;
	0	1
	0	1		−60 −11						60 11						0 −1
9)	1	0	,	27	2		,			−27 −2					,		−1 0 ;
	0	1		−364
	0	1		−364	−27					364		27					0 −1

128

129

10)	1		0	,	13	2	,	−13			−2	,	−1			0 ;
		0	1		−84 −13									0
		0	1		−84 −13				84 13					0		−1
11)	1		0	,	−11	2 ,		11		−2 ,		−1			0	;
		0	1
		0	1		−60 11			60 −11					0 −1
12)	1		0	,	15	2		,	−15		−2		,	−1		0 ;
		0	1		−112	−15				112	15				0
		0	1		−112	−15				112	15				0	−1
13)	1		0	,	−13	2 ,		13		−2 ,		−1			0	;
		0	1
		0	1		−84 13			84 −13					0 −1
14)	1		0	,	17	2		,	−17		−2		,	−1		0 ;
		0	1		−144	−17				144	17				0
		0	1		−144	−17				144	17				0	−1
15)	1		0	,	−15	2 ,		15			−2 ,		−1			0 ;
		0	1		−112										0
		0	1		−112	15		112			−15				0	−1
16)	1		0	,	19	2		,	−19		−2		,	−1		0 ;
		0	1		−180	−19				180	19				0
		0	1		−180	−19				180	19				0	−1
17)	1		0	,	21	2	,		−21		−2 ,			−1		0 ;
		0	1							220	21				0
		0	1		−220 −21					220	21				0	−1
18)	1		0	,	−19	2 ,		19			−2 ,		−1			0 ;
		0	1		−180										0
		0	1		−180	19		180			−19				0	−1
19)	1		0	,	25	2		,	−25		−2		,	−1		0 ;
		0	1		−312	−25				312					0
		0	1		−312	−25				312	25				0	−1
20)	1		0	,	−23	2	,	23			−2 ,			−1		0 .
		0	1		−264	23			264		−23				0
		0	1		−264	23			264		−23				0	−1

ЗАДАЧА 7. Докажите, что множество матриц данного вида (где n Z ) образует подгруппу группы GL3 (R) . Дока-

жите, что эта подгруппа – циклическая.

	2n	2n −3n n 2n−1
		n
1)	0	n	0	;
1)	0	3	0	;
	0	0	2n

	2n	5(2n −3n )	n 2n−1
		n
2)	0	n	0		;
2)	0	3	0		;
	0	0	2n

	3n	3n −5n		n 3n−1
			n
6)	0	5	n	0	;
6)	0	5		0	;
	0	0		3n

	5n	5n −3n		n 5n−1
			n
7)	0		n	0	;
7)	0	3		0	;
	0	0		5n

3)0

4)0

2n+1 −2 3n		n 2n−1				2n
	n
	n	0		;	8)	0
3		0		;	8)	0
	0	2n				0

5(3n −2n )		n 3n−1				2n
	n
2	n	0	;		9)	0
2		0	;		9)	0
0		3n				0

2n −5n		n 2n−1
	n
5		0	;

0		2n

3(2n −5n )		n 2n−1
	n
5		0	;

0		2n

	3n	3(3n −2n )		n 3n−1			5n	3(5n −2n )		n 5n−1
			n						n
5)	0	2	n	0	;	10)	0	2	n	0	;
5)	0	2		0	;	10)	0	2		0	;
	0	0		3n			0	0		5n

130

131

11)0

12)0

02n

13)0

07n

14)0

03n

15)0

2(3n −5n )					n 3n−1					7n	7n −3n			n 7n−1
			n									n
	5		n		0			;	16)	0		n			0		;
	5				0			;	16)	0	3				0		;
		0			3n					0	0				7n

2(5n −3n )					n 5n−1					5n	5n −7n			n 5n−1
			n									n
			n		0			;	17)	0	7	n			0		;
		3			0			;	17)	0	7				0		;
		0			5n					0	0				5n

2n −7n				n 2n−1						7n	7n −5n			n 7n−1
		n										n
7		n			0		;		18)	0	5	n			0		;
7					0		;		18)	0	5				0		;
0					2n					0	0				7n

7n −2n				n 7n−1						2n	3(2n −7n )				n 2n−1
		n											n
2		n			0		;		19)	0		7	n			0		;
2					0		;		19)	0		7				0		;
0					7n					0		0				2n

3n −7n				n 3n−1						7n	3(7n −2n )				n 7n−1
	n												n
7	n				0				20)	0		2	n			0
7					0	;			20)	0		2				0	.
0					3n					0		0				7n

			ЗАДАЧА 8. Найдите порядок данного элемента в
группе GL4 (C) :
	1 0 1−i				0				1			0	1−i	0
1)		0	−1	0	0	;		6)		0		−1	0	0	;
		0	0	i	0					0		0	i	0
		0	1−i	0 −i						0		4 −4i	0 −i
	1		0	1−i	0				1			0	1−i	0
2)		0	−1	0	0 ;			7)		0		−1	0	0	;
		0	0	i	0					0		0	i	0
		0	2 −2i	0 −i						0		5 −5i	0 −i
	1		0	3 −3i		0			1 0 6 −6i					0
3)		0	−1	0		0	;	8)		0		−1	0	0	;
		0	0	i		0				0		0	i	0
		0	3 −3i	0	−i					0		1−i	0	−i
	1		0	5 −5i		0			1			0	2 −2i	0
4)		0	−1	0		0	;	9)		0		−1	0	0 ;
		0	0	i		0				0		0	i	0
		0	5 −5i	0	−i					0		3 −3i	0	−i
	1		0	1−i	0					1		0	2 −2i		0
5)		0	−1	0	0 ;			10)			0	−1	0		0	;
		0	0	i	0						0	0	i		0
		0	3 −3i	0 −i							0 4 −4i		0	−i

132

133

	1		0	2 −2i	0
11)		0	−1	0	0	;
		0	0	i	0
		0 5 −5i		0	−i
	1		0	3 −3i	0
12)		0	−1	0	0 ;
		0	0	i	0
		0 1−i		0	−i
	1		0	3 −3i	0
13)		0	−1	0	0	;
		0	0	i	0
		0 2 −2i		0	−i
	1		0	3 −3i	0
14)		0	−1	0	0	;
		0	0	i	0
		0 4 −4i		0	−i
	1		0	3 −3i	0
15)		0	−1	0	0	;
		0	0	i	0
		0 5 −5i		0	−i

	1		0
16)		0	−1
		0	0
		0 3 −3i
	1		0
17)		0	−1
		0	0
		0 5 −5i
	1		0
18)		0	−1
		0	0
		0 6 −6i
	1		0
19)		0	−1
		0	0
		0 6 −6i
	1		0
20)		0	−1
		0	0
		0 6 −6i

4 −4i	0
0	0	;
i	0
0	−i
4 −4i	0
0	0	;
i	0
0	−i
6 −6i	0
0	0	;
i	0
0	−i
2 −2i	0
0	0	;
i	0
0	−i
3 −3i	0
0	0 .
i	0
0	−i

ЗАДАЧА 9. Найдите правые и левые смежные классы знакопеременной группы A4 по циклической подгруппе H ,

порожденной данной подстановкой					a . Укажите порядок и
индекс подгруппы H .
1)	(1 2 3) ;	8)	(1 2)(3 4) ;		15)	(1 3 4 2) ;
2)	(2 3 4) ;	9)	(1 4)(2 3) ;		16)	(1 3 2 4) ;
3)	(1 2 4) ;	10)		(1 2) ;	17)	(1 4 2 3) ;
4)	(1 4 2) ;	11)		(1 3) ;	18)	(1 4 3 2) ;
5)	(2 4 3) ;	12)		(2 3) ;	19)	(3 1 2) ;
6)	(1 3 4) ;	13)		(1 3 2) ;	20)	(4 2 3) .
7)	(1 4 3) ;	14)		(1 2 4 3) ;

ЗАДАЧА 10. Пусть G = a - циклическая группа данного порядка k . Постройте все левые смежные классы груп-

пы G по подгруппе H = am			. Найдите индекс подгруппы
H в группе G .
1)	k = 36 ,	m = 3 ;	11)	k =18 ,	m = 2 ;
2)	k =15 ,	m = 3 ;	12)	k = 20 ,	m = 2 ;
3)	k =18 ,	m = 3 ;	13)	k = 22 ,	m = 2 ;
4)	k = 21,	m = 3 ;	14)	k = 24 ,	m = 2 ;
5)	k = 24 ,	m = 3 ;	15)	k = 26 ,	m = 2 ;
6)	k = 27 ,	m = 3 ;	16)	k = 28 ,	m = 2 ;
7)	k = 30 ,	m = 3 ;	17)	k = 30 ,	m = 2 ;
8)	k = 32 ,	m = 4 ;	18)	k = 20 ,	m = 4 ;
9)	k =14 ,	m = 2 ;	19)	k = 24 ,	m = 4 ;
10) k =16 ,		m = 2 ;	20)	k = 28 ,	m = 4 .

134

135

ЗАДАЧА 11. Найдите с точностью до изоморфизма все абелевы группы порядка k :

1)	k = 75 ;	6)	k = 96 ;	11)	k =100 ;	16)	k =126 ;
2)	k =88 ;	7)	k = 90 ;	12)	k = 75 ;	17)	k = 225 ;
3)	k = 64 ;	8)	k = 72 ;	13)	k =180 ;	18)	k = 242 ;
4)	k = 56 ;	9)	k = 48 ;	14)	k =108 ;	19)	k =135 ;
5)	k = 78 ;	10) k = 36 ;		15)	k =196 ;	20)	k =189 .

ЗАДАЧА 12. Выясните, изоморфны ли данные группы

Zm Zn и Z p Zq :

1)	m =18,	n = 9,	p = 6,	q = 27;
2)	m =16,	n = 4,	p =8,	q =8;
3)	m = 24,	n = 4,	p =12,	q =8;
4)	m = 48,	n =8,	p =12,	q = 32;
5)	m = 20,	n = 4,	p =8,	q =10;
6)	m = 24,	n = 6,	p =16,	q = 9;
7)	m = 28,	n = 4,	p =14,	q =8;
8)	m = 32,	n =8,	p =16,	q =16;
9)	m = 36,	n = 9,	p =81,	q = 4;

10)	m = 30,	n =15,	p = 45,	q =10;
11)	m =12,	n =18,	p = 6,	q = 36;
12)	m = 60,	n =10,	p = 30,	q = 20;
13)	m = 6,	n =100,	p = 60,	q =10;

14)	m =12,	n =18,	p = 9,	q = 24;
15)	m = 36,	n =10,	p =8,	q = 45;
16)	m = 40,	n = 4,	p =16,	q =10;
17)	m = 9,	n = 24,	p = 6,	q = 36;
18)	m = 30,	n = 20,	p = 6,	q =100;
19)	m = 36,	n = 9,	p = 27,	q =12;
20)	m = 24,	n = 32,	p = 48, q =16.

ЗАДАЧА 13. Выясните, является ли данное множество подгруппой аддитивной группы, подкольцом или идеалом указанного кольца:

1)множество nZ чисел, кратных данному числу n >1 , в кольце Z целых чисел;

2)	множество {a +b 3; a,b 2Z} в кольце {a +b 3; a,b Z};
3)	множество M ={0,	2, 4}	в кольце вычетов Z6 ;
4)	множество {a +bi; a,b 3Z} в кольце {a +bi; a,b Z};
5)	множество матриц	−x	3x
5)	множество матриц			; x, y R в кольце квадрат-
		−y	3y

ных матриц второго порядка над полем R ;

6)множество M многочленов с четными свободными членами в кольце Z[x] многочленов с целыми коэффициентами;

a a			a b			;
7) множество матриц		;a R	в кольце		;a,b R
a a			b a
a a			a a			;
8) множество матриц	;a Q		в кольце	;a,b Q
a a			b b

136

137

9) множество матриц a		0 ; a R в кольце квадратных

	0	0
матриц второго порядка над полем R ;
10)	множество матриц a	0	, a,b R	в кольце квадрат-

	0	b
ных матриц второго порядка над полем R ;
11)	множество матриц a	b	; a,b R в кольце квадрат-

	0	0
ных матриц второго порядка над полем R ;
12)	множество матриц a	0	; a,b R в кольце квадрат-

	b	0
ных матриц второго порядка над полем R ;
13)	множество матриц x	2x ; x, y R в кольце квад-

	y	2 y

ратных матриц второго порядка над полем R ;

14)множество M ={0, 3} в кольце вычетов Z6 ;

15)множество всех матриц с нулевым последним столбцом в кольце Mn (P) всех квадратных матриц порядка n >1 над

полем P ;

16) множество всех матриц с нулевой последней строкой в кольце Mn (P) всех квадратных матриц порядка n >1 над

полем P ;

17) множество M многочленов с четными старшими коэффициентами в кольце Z[x] многочленов с целыми коэф-

фициентами;

18)множество Z[x] многочленов с целыми коэффициентами

вкольце Q[x] многочленов с рациональными коэффициентами;

19) множество всех матриц, последние r столбцов которых нулевые, 1 ≤ r ≤ n , в кольце Mn (P) всех квадратных мат-

риц порядка n >1 над полем P ;

20) множество всех матриц, последние r строк которых нулевые, 1 ≤ r ≤ n , в кольце Mn (P) всех квадратных матриц

порядка n >1 над полем P .

ЗАДАЧА 14. Выясните, является ли данное отображение гомоморфизмом указанных колец:

1)	f : M2 (R) → R ,
2)	f : a		b	; a,b

		b	a
3)	f : a		b	; a,b

		b	a
4)	f : a		a	; a,b

		b	b
5)	f : a		a	; a,b

		b	b
6)	f	: a	0	; a,b

		0	b
7)	f	: a	0	; a,b

		0	b

a f c

R →

b d =

R ,

a ;

f a	b	= a −b ;
b	a
f a	b	= a +b ;
b	a
f a	a	= a +b ;
b	b
f a	a	= a −b ;
b	b
f a	0	= a ;
0	b
f a	0	= b ;
0	b

138

139

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 87 8 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
15.11.2022915.63 Кб41791.pdf
#
15.11.2022925.77 Кб51800.pdf
#
15.11.2022926.78 Кб01802.pdf
#
15.11.2022927.81 Кб31806.pdf
#
15.11.2022930.3 Кб11810.pdf
#
15.11.2022932.64 Кб71813.pdf
#
15.11.2022939.61 Кб01826.pdf
#
15.11.2022945.83 Кб11837.pdf
#
15.11.2022949.61 Кб01846.pdf
#
15.11.2022951.12 Кб31848.pdf
#
15.11.2022951.95 Кб21851.pdf