1813

Пример 8. Разложим в произведение независимых циклов подстановку

Первый цикл начинаем, например, с единицы: 1 → 3 →1. Цикл "закрыт". Второй цикл начинаем с одного из оставшихся символов, например, с 2: 2 → 2 . Второй цикл "закрыт" – это цикл длины 1. Третий цикл начинаем, например, с 4: 4 →8 → 5 → 6 → 4 . Третий цикл "закрыт". Вне этих циклов осталось лишь одно число 7. Оно образует цикл длины 1. В результате получим:

a = (1,3)(2)(4,8,5,6)(7) .

В этом разложении циклы (2) и (7) длины 1 действуют как тождественная подстановка, т. е. они оставляют все символы на месте. Поэтому циклы длины 1 обычно в разложении подстановки опускают, т. е. выписывают лишь циклы длины ≥ 2 , которые действительно перемещают символы. Так, для данной подстановки a S8 окончательно получаем следую-

щее разложение:

a = (1,3)(4,8,5,6) .

Отметим, что если степень n подстановки заранее известна (в нашем примере n =8 ), то никакой неоднозначности при отбрасывании циклов длины 1 не возникает.

Обратно, для всякой подстановки, заданной разложением в циклы, можно найти ее запись в обычной форме (т.е. в виде таблицы), при условии, что степень подстановки известна.

Пример 9. Подстановка a S7 задана в виде произведения независимых циклов: a = (1,3,7, 2)(4,5) . Запишем ее в виде таблицы в каноническом виде. Так как a S7 , то верх-

няя строка подстановки состоит из чисел 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.

во второй строке подстановки заполнятся еще две позиции - под числами 4 и 5:

Под числом 6 во второй строке осталось пустое место. Это значит, что число 6 циклами не перемещалось и является неподвижным элементом подстановки, т. е. 6 → 6 . Окончательно получим:

Так как в силу теоремы 3 разложение подстановки в циклы единственно с точностью до перестановки сомножителей, то будет корректно следующее определение.

Определение. Цикловой структурой подстановки a

называется запись [a] =[ 1k1 , k22 ,..., kmm ] , указывающая, что разложение подстановки a в произведение независимых циклов (включая единичные) состоит из k1 циклов длины

a =(1,3)(2)(4,8,5,6)(7) из примера 8 имеет вид [a] =[12 , 21, 41] .

1.4.Разложение подстановки в произведение транспозиций

Определение. Цикл длины 2 называется транспозици-

ей.

Любая транспозиция имеет вид a =(α1,α2) и оставляет на месте все символы, отличные от α1 и α2 . В виде таблицы транспозиция a = (α1,α2 ) Sn запишется следующим образом:

где многоточиями заменены числа, остающиеся на месте. Любой цикл (α1,α2,...,αk ) длины k >1 можно предста-

вить в виде произведения транспозиций следующим образом:

(α1,α2,...,αk ) =(α1,α2)(α1,α3)...(α1,αk ) . (1)

Проверьте это равенство самостоятельно, перемножив подстановки в его правой части.

Заметим, что при n >1 тождественная подстановка e тоже представляется в виде произведения транспозиций, например: e =(α, β)(β,α) .

Таким образом, из вышесказанного и теоремы 3 вытекает следующий результат.

Теорема 4. Любая подстановка группы Sn представи-

ма в виде произведения транспозиций.

Практически для разложения подстановки в произведение транспозиций надо найти сначала ее цикловую запись, а затем каждый цикл заменить произведением транспозиций по формуле (1).

Замечание 1. Разложение подстановки в произведение транспозиций не единственно (в отличие от разложения в циклы). Всякую подстановку можно многими разными способами разложить в произведение транспозиций. Например, в разложении всегда можно добавить два одинаковых множителя вида (α, β)(β,α) , которые дают в произведении тож-

дественную подстановку e , т.е. взаимно уничтожаются. Замечание 2. Транспозиции, в отличие от независи-

мыхциклов, не коммутируют при умножении.

Пример 10. Разложим в произведение транспозиций подстановку

из примера 8. Имеем:

a = (1,3)(4,8,5,6) = (1,3)(4,8)(4,5)(4,6) .

Имея разложение подстановки в произведение транспозиций, получим еще один способ определения четности подстановки.

Теорема 5. Пусть подстановка a Sn разложена в

произведение транспозиций. Тогда подстановка a четна, если число сомножителей в этом разложении четно, и a - нечетна, если число сомножителей нечетно.

Доказательство. 1) Покажем сначала, что при умножении подстановки справа на транспозицию происходит изменение четности подстановки.

Пусть a,b Sn и b - транспозиция, т.е.

Умножим подстановку a справа на транспозицию b :

Замечаем, что подстановки a и ab различаются лишь перестановкой чисел αk и αr в нижней строке таблицы. Отсюда

в силу свойств перестановок (см. Алгебра, ч.1, теорема 2 п.1.1) получаем, что четности подстановок a и ab противоположны.

2) Докажем теперь утверждение теоремы. Пусть подстановка a разложена в произведение транспозиций:

a = (α1, β1)(α2 , β2 )...(αm , βm ) .

Определим четность этой подстановки. Заметим, что подстановка не изменится, если умножить ее на тождественную подстановку e :

a = ea = e(α1, β1)(α2 , β2 )...(αm , βm ) .

Так как подстановка e - четная, то в силу вышедоказанного произведение e(α1, β1) - нечетная подстановка, e(α1, β1)(α2, β2) - четная и так далее. Окончательно получим,

что четность подстановки a будет совпадать с четностью числа m . Отсюда и следует утверждение теоремы. ■

Например, подстановка a из примера 8:

a = (1,3)(2)(4,8,5,6)(7) = (1,3)(4,8,5,6) = (1,3)(4,8)(4,5)(4,6)

будет четной, так как она разлагается в четное число транспозиций. Этот же результат можно получить непосредственным подсчетом числа инверсий в нижней строке подстановки. (Проверьте!)

1.5. Декремент подстановки

Пусть дана подстановка a Sn . Пусть p - число циклов в ее разложении длины ≥ 2 и q - число циклов длины 1.

Определение. Число n − p −q называется декрементом подстановки a Sn .

Обозначение: d(a) = n − p −q .

Другими словами, декремент – это разность числа n и числа всех циклов в полной цикловой записи подстановки.

Зная декремент подстановки, получим новый пособ определения ее четности.

Теорема 6 (о декременте). Четность подстановки a ≠ e из группы Sn совпадает с четностью ее декремента.

Доказательство. Подстановку a Sn сначала разложим в произведение независимых циклов:

a =(α1,α2,...,αk )(β1,β2,...,βs ) ... (γ1,γ2,...,γm) ,

затем каждый цикл разложим в произведение транспозиций: a =(α1,α2)...(α1,αk )(β1,β2)...(β1,βs ) ... (γ1,γ2)...(γ1,γm) .

Замечаем, что число транспозиций в разложении каждого из циклов на единицу меньше длины цикла.

Найдем общее число транспозиций в разложении подстановки a Sn , оно равно

(k −1) +(s −1) +.. +(m −1) = k + s +...+m − p ,

где через p обозначено число циклов в разложении данной

подстановки (это циклы длины ≥ 2 ). Кроме того, (k +s +...+m) - это число всех элементов, записанных в цик-

лах длины ≥ 2 , т.е. это число мобильных элементов подстановки. Оно равно n −q , где q - число циклов длины 1.

Таким образом, общее число транспозиций в разложении данной подстановки равно

(k + s +... +m) − p = n −q − p ,

что совпадает с декрементом этой подстановки. Отсюда в силу теоремы 5 следует доказываемое утверждение. ■

Пример 11. Рассмотрим подстановку a S8 :

ное, поэтому в силу теоремы 6 данная подстановка a является нечетной. Этот же результат получаем и при непосредственном подсчете числа инверсий в нижней строке.

Контрольные вопросы и задания к п. 1.3-1.5

1.Что называется циклом длины k ?

2.Какие циклы называются независимыми? Приведите примеры.

3.Какие элементы подстановки называются мобильными, а какие – неподвижными?

4.Верно ли, что цикл длины k можно записать единственным образом?

5.Как разложить подстановку в произведение независимых циклов?

6.Как разложить подстановку в произведение транспозиций?

7.Докажите равенство:

(α1,α2,...,αk ) =(α1,α2)(α1,α3)...(α1,αk ) , k ≥ 3 . 8. Что называется декрементом подстановки?

9.Опишите различные способы определения четности подстановки – по определению, по декременту и при помощи транспозиций.

10.Разложите данные подстановки в произведение независимых циклов и транспозиций. Найдите четность подстановок тремя способами – по определению, по декременту, при помощи транспозиций:

1.6. Гомоморфизм и изоморфизм групп

Часто оказывается, что группы имеют одинаковые свойства, хотя они состоят из элементов, разных по своей природе. Это явление носит название изоморфизм групп. Дадим строгое определение.

Пусть G1 и G2 - две группы; в G1 определена бинарная

операция , а в G2 – операция .

Определение. Отображение ϕ : G1 →G2 называется

изоморфизмом, если:

1) ϕ - взаимно однозначно;

2) ϕ(x y) =ϕ(x) ϕ( y) x, y G1 .

Определение. Группы G1 и G2 называются изоморфными, если существует изоморфизм ϕ : G1 →G2 .

Изоморфные группы обозначают в виде: G1 G2 .

Если не требовать, чтобы отображение ϕ было взаимно однозначно, то получим определение гомоморфизма.

Определение. Отображение ϕ : G1 →G2 называется

гомоморфизмом, если ϕ(x y) =ϕ(x) ϕ( y) x, y G1 .

Пример 12. Пусть G1 = ( +, ) - мультипликативная группа положительных действительных чисел; G2 = ( , +) - аддитивная группа всех действительных чисел. Рассмотрим отображение ϕ : G1 →G2 , определяемое формулой ϕ(x) = lg x . Это отображение является изоморфизмом. Действительно:

1)ϕ - взаимно однозначно;

2)по свойству логарифмов для любых x, y G1 имеем

ϕ(xy) = lg(xy) = lg x +lg y =ϕ(x) +ϕ( y) .

Таким образом, G1 G2 .

Пример 13. Пусть G1 = ( 2 , +) - аддитивная группа классов вычетов по модулю 2, т.е. G1 - это конечная группа, состоящая из двух элементов 0 и 1 . Пусть G2 = ({1; −1}, ) - мультипликативная группа, состоящая из двух чисел 1 и -1. Покажем, что G1 G2 .

Обращаем внимание на то, что элементы в левом столбце и верхней строке таблиц расположены соответст-

вующим образом: на первом месте расположены 0 и 1, на втором месте 1 и −1, так как такое же соответствие устанавливает отображение ϕ : 0 →1, 1 → −1.

Сравнивая эти две таблицы, замечаем, что если заменить в таблице Кэли для G1 элементы 0 и 1 соответственно на 1 и −1, а операцию "+" на " " , то мы получим таблицу Кэли для G2 , т.е. с точки зрения операций группы (G1, +) и (G2 , ) отличаются лишь обозначением элементов и опера-

ций. Теперь заметим, что замена элементов 0 , 1 на 1, −1 есть взаимно однозначное отображение ϕ множества G1 на G2 , удовлетворяющее условию:

Следовательно, отображение ϕ - изоморфизм и G1 G2 . Отметим, что соотношение ϕ(x + y) =ϕ(x)ϕ( y) можно

проверить и непосредственно, не обращаясь к таблицам Кэли. Для этого придется проверить четыре равенства:

Пример 14. Пусть G1 = (GLn (P), ) - это группа невырожденных матриц порядка n над полем P ; G2 - это мультипликативная группа поля P , т. е. G2 = (P \{0}, ) . Рассмотрим отображение ϕ : G1 →G2 , действующее по правилу

ϕ( A) =| A | . Замечаем, что отображение ϕ не является взаим-

| B |=1, тогда ϕ(B) =1; т.е. разные элементы при отображении ϕ имеют одинаковые образы. Вычислим ϕ(AB) :

ϕ( AB) =| AB |=| A | | B |=ϕ( A) ϕ(B) A, B G1 .

Следовательно, отображение ϕ является гомоморфизмом группы G1 на группу G2 .

В алгебре, изучающей множества лишь с точки зрения свойств операций, изоморфные группы не различают, т.е. изучают группы лишь с точностью до изоморфизма. Это объясняется тем, что операции в изоморфных группах обладают одними и теми же свойствами.

Приведем некоторые свойства изоморфизма.

Теорема 7. Пусть ϕ - изоморфизм группы (G1, ) на группу (G2, ) . Тогда:

1)если группа G1 абелева, то группа G2 также является абелевой;

2)ϕ(e1) = e2 , где e1 - нейтральный элемент группы G1 ,

e2 - нейтральный элемент группы G2 .

коммутативности операции и условия ϕ(a b) =ϕ(a) ϕ(b) получим:

c d =ϕ(a) ϕ(b) =ϕ(a b) =ϕ(b a) =ϕ(b) ϕ(a) = d c .

Следовательно, операция также коммутативна, и значит группа (G2, ) является абелевой.

2) Пусть a - произвольный элемент группы G1 . Тогда в силу определения изоморфизма

ϕ(a) =ϕ(a e1) =ϕ(a) ϕ(e1) ,

ϕ(a) =ϕ(e1 a) =ϕ(e1) ϕ(a) .

Отсюда ϕ(a) =ϕ(a) ϕ(e1) =ϕ(e1) ϕ(a) . Следовательно, ϕ(e1)

-нейтральный элемент группы G2 , т.е. ϕ(e1) = e2 .

3)Пусть a - произвольный элемент группы G1 . Тогда

a a−1 = a−1 a = e1 ,

где e1 - нейтральный элемент группы G1 . Применим изоморфизм ϕ к последнему равенству. Получим

ϕ(a a−1) =ϕ(a−1 a) =ϕ(e1) .

Отсюда в силу определения изоморфизма и свойства 1 имеем

ϕ(a) ϕ(a−1) =ϕ(a−1) ϕ(a) = e2 ,

где e2 - нейтральный элемент группы G2 . Следовательно,

Заметим, что утверждения теоремы 7 и их доказательства сохранят силу, если в условии теоремы 7 изоморфизм заменить на гомоморфизм.

Контрольные вопросы и задания к п. 1.6

1.Что такое гомоморфизм групп? Приведите примеры.

2.Что такое изоморфные группы? Приведите примеры.

3.Докажите, что при изоморфизме групп единичный элемент одной группы переходит в единичный элемент другой группы.

4.Докажите, что любые две группы, состоящие из трех элементов, изоморфны.

5.Докажите, что группы (2Z, +) и (3Z, +) изоморфны.

6.Докажите, что группы (Z6 , +) и (Z18, ) изоморфны.

7.Укажите, какие из следующих отображений являются гомоморфизмами группы (Z, +) в себя:

а) ϕ(m) = m +1 ;

б) ϕ(m) = 2m ;

в) ϕ(m) = −m ,

г) ϕ(m) = m2 , m Z .

Какие из гомоморфизмов являются изоморфизмами?

8. Укажите, какие из следующих отображений групп ϕ:C →R , где C =C \{0} и R = R \{0}, являются гомо-

морфизмами:

а) ϕ(z) =| z | ;

б) ϕ(z) = 2 | z | ;

в) ϕ(z) = | 1z | ;

г) ϕ(z) =1+| z |;

д) ϕ(z) =| z |2 ;

е) ϕ(z) =1;

ж) ϕ(z) = 2 .

Какие из гомоморфизмов являются изоморфизмами?

10. Докажите, что комплексные корни n -ой степени из единицы образуют абелеву группу (по умножению). Устано-

вите, что она изоморфна подгруппе {e, a,..., an−1} из Sn ,

G2 ={a +b 3; a,b Q, a2 +b2 > 0} .

1.7.Порядок элемента группы. Порядок подстановки

Пусть G - некоторая мультипликативная группа и элемент a G . Введем понятие степени элемента a .

1) Пусть n - натуральное число. Тогда n -й степенью элемента a называется

an = a a ... a .

n раз

2) Нулевую степень элемента a определим равенством: a0 = e , где e - нейтральный элемент группы G .

3) Отрицательную степень элемента a определим ра-

венством

a−n = (a−1)n = a−1 a−1 ... a−1 .

n раз

Введенное понятие степени обладает следующими свойствами:

1)(a−1)n = (an )−1 ,

2)an am = an+m ,

3)(an )m = anm ,

4)(ab)n = an bn , если G - абелева группа.

Свойства 1 - 4 проверьте самостоятельно.

Замечание. Если G - аддитивная группа, то вместо an пишут na и называют этот элемент n -м кратным элемента a .

Пусть a ≠ e - некоторый элемент мультипликативной

группы G . Рассмотрим его степени: a , a2 , a3 , … . При этом возможны два случая.

1) В этой последовательности никогда не встретится единица e , т.е. ak ≠ e k . Тогда говорят, что элемент

aявляется элементом бесконечного порядка.

2)В последовательности a , a2 , a3 , … встретится еди-

ница e , т.е. k такое, что ak = e . Тогда говорят, что элемент a является элементом конечного порядка.

Сформулируем строгое определение.

Определение. Пусть a - любой элемент группы G .

Наименьшее натуральное число k такое, что ak = e , называется порядком элемента a и обозначается ord a . Если такого натурального числа k не существует, то элемент a назы-

вается элементом бесконечного порядка.

Заметим, что если элемент a имеет конечный порядок k , т.е. ak = e , то все элементы a0 = e , a , a2 , … , ak−1 будут различны. И всякая другая степень элемента a (положительная или отрицательная) будет равна одному из элемен-

тов последовательности e , a , a2 , … , ak−1 . Так

ak = e , ak+1 = ak a = a , a−1 = e a−1 = ak a−1 = ak−1 и т.д.

Из последнего замечания вытекает, что в конечной группе нет элементов бесконечного порядка, а бесконечная группа может содержать элементы бесконечного и конечного порядка.

Замечание. В аддитивной форме равенство ak = e запишется в виде ka = 0 .

Пример 15. Рассмотрим ( , +) - аддитивную группу

целых чисел. Элемент a = 0 является элементом порядка 1, любой другой элемент имеет бесконечный порядок.

ord 2 = ∞. Отметим, что эта группа содержит как бесконечное множество элементов бесконечного порядка, так и бесконечное множество элементов конечного порядка. В частности, элементами конечного порядка являются корни n -й степени из единицы при различных n .

Пример 18. В группе ( 3, +) имеем ord 0 =1, ord 1 = 3,

ord 2 = 3.

Из приведенных примеров и определения порядка элемента видно, что в любой группе существует лишь один элемент порядка 1, и этим элементом является нейтральный элемент e .

Пример 19. Рассмотрим S3 - симметрическую группу третьей степени. Она состоит из 3!=6 подстановок: e , (1, 2) ,

(2,3) , (1,3) , (1, 2,3) , (1,3, 2) . Легко проверить, что: e - элемент порядка 1;

(1, 2) , (2,3) , (1,3) - элементы порядка 2;

(1, 2,3) , (1,3, 2) - элементы порядка 3. (Проверьте!)

Отметим, что порядок подстановки легко найти по ее цикловой записи. Так как в ней подстановки-циклы независимы, то при возведении подстановки в степень происходит возведение в эту же степень каждого цикла. Порядок же цикла, очевидно, равен его длине. В итоге для группы Sn

получаем следующее утверждение.

Теорема 8. Порядок подстановки из группы Sn равен

наименьшему общему кратному длин независимых циклов, входящих в разложение этой подстановки.

Пример 20. Найдем порядок подстановки a S8 :

В силу теоремы 8 имеем: ord a = HOK (5, 2) =10 .

Используя этот факт, вычислим a100 , a102 , a99 . Так как ord a =10 , то a10 = e , поэтому

a100 = (a10 )10 = e10 = e ,

a102 = a100 a2 = e a2 = a2 ,

a99 = a100 a−1 = e a−1 = a−1 .

Пример 21. Рассмотрим подстановки b, c S8 . Подстановка b = (1, 2)(3, 4)(5,6)(7,8) имеет порядок 2; подстановка c = (1, 2)(3, 4)(5,6,7,8) имеет порядок 4. (Проверьте!)

Пример 22. Выясним, каким может быть максимальный порядок элементов группы S8 . Перебирая различные

разбиения числа 8 на положительные слагаемые, расположенные в неубывающем порядке, мы приходим к выводу, что порядками элементов ≠ e в S8 служат числа 2, 3, 5, 6, 7,

8, 10, 12, 15. В качестве элемента максимального порядка 15 можно взять, например, подстановку a = (1, 2,3, 4,5)(6,7,8) .

Приведем основные свойства о порядках элементов группы.

Теорема 9. Пусть a , b - элементы конечных порядков группы (G, ) . Тогда:

1) если ord a = m , то для любого целого числа k верно ak = e k m ;

r < m = ord a , тогда в силу определения порядка элемента a имеем r = 0 . Значит, k = mq и k m .

Докажем обратное: если k m , то ak = e . Пусть k m , тогда k = mq , и ak = amq = (am )q = eq = e . Свойство 1 доказано.

2) Обозначим ord(ak ) = t . По определению порядка элемента t - это минимальное натуральное число, удовлетворяющее условию (ak )t = akt = e . Отсюда в силу равенства ord a = m и свойства 1 получим, что (kt) m , или

Умножим обе части последнего равенства на t : mtd u + ktd v = t .

Отсюда в силу соотношения (2) получим

Из последнего равенства вытекает, что t md . Отсюда, учиты-

вая минимальность числа t , получаем t = md . Свойство 2 до-

казано.

3) Обозначим ord(ab) = k . Из условия следует, что

(ab)mn = amn bmn = (am )n (bn )m = en em = e .

Отсюда в силу свойства 1 имеем (mn) k . Докажем теперь, что k (mn) . Имеем:

akn = (abb−1)kn = (ab)kn (b−1)kn = en e−k = e .

Отсюда в силу свойства 1 получим (kn) m . Кроме того, по условию НОД(m, n) =1 , тогда по свойству взаимно простых

чисел k m .

Аналогично из симметричных соображений получаем,

что k n (для этого надо рассмотреть элемент bkm ).

Таким образом k m , k n и НОД(m, n) =1, тогда в силу свойств взаимно простых чисел k (mn) . Отсюда и из выше доказанного соотношения (mn) k следует, что k = mn , т.е. ord(ab) = ord a ord b = m n . Теорема полностью доказана. ■