1813

Пример 36. В любой группе G единичная подгруппа H ={e} и сама подгруппа G будут нормальными делителя-

ми. Действительно, если H ={e}, то левосторонне и право-

стороннее разложения группы G по подгруппе H совпадают с разложением группы G на отдельные элементы:

aH ={ae} ={a}, Ha ={ea} ={a} aH = Ha a G .

Если же H = G , то оба разложения группы G по этой подгруппе состоят из одного класса, совпадающего с самой группой G :

aH ={x : x = ah h H} = G ,

Ha ={x : x = ha h H} = G aH = Ha = G a G .

Пример 37. В любой группе G подгруппа H индекса 2 является нормальным делителем (докажите!). В этом случае любой смежный класс G по H совпадает с H или с G \ H . В частности, в любой симметрической группе Sn ее

подгруппа An четных подстановок является нормальным де-

лителем.

Пример 38. В группе S4 подмножество

K4 ={e, (1,2)(3,4), (1,3)(2,4), (1,4)(2,3)}

есть абелева подгруппа и нормальный делитель (докажите!).

Группа K4 называется группой Клейна или четверной груп-

пой.

Пример 39. В аддитивной группе целых чисел ( , +)

нормальными делителями являются подгруппы H = m . Действительно, в примере 31 были построены левые смежные классы a + H - это классы вычетов по модулю m , и так как G =( ,+) является абелевой группой, то a +H = H +a

a G .

Пример 40. Пусть G = GLn ( ) - группа невырожденных матриц порядка n . Пусть H ={X : | X |=1} - подгруппа

матриц с определителем, равным 1. Покажем, что H является нормальным делителем.

Действительно, A GLn ( ) имеем

AH ={B : B = AX} ={B : | B |=| A |},

HA ={C : C = XA} ={C : | C |=| A |} ,

т.е. левый и правый смежные классы для данной матрицы A состоят из одних и тех же элементов - матриц, определители которых равны определителю матрицы A . Следовательно, AH = HA A G и подгруппа H является нормальным делителем.

Пример 41. Не является нормальным делителем под-

aH =Ha a G не выполнено.

Приведем критерий нормального делителя для произвольной группы. Сначала сформулируем вспомогательное определение.

Определение. Элементы a и b группы G называются сопряженными, если существует элемент g G такой, что

b = g−1ag .

Теорема 18. Подгpуппа H группы G является нормальным делителем тогда и только тогда, когда она вместе с каждым элементом содержит все сопряженные с

ним элементы (т.е. когда h H влечет g−1hg g G ).

Доказательство. 1) Пусть H - нормальный делитель в группе G , т.е. aH = Ha a G . Покажем, что подгруппа

H вместе с каждым элементом содержит все сопряженные с ним элементы.

Из равенства aH = Ha вытекает, что для любого элемента h H существует h1 H такой, что ah1 = ha . Умно-

жим обе части последнего равенства на a−1 слева: a−1(ah1) = a−1(ha) , откуда h1 = a−1ha .

Но элемент h1 H , тогда элемент a−1ha H h H , т.е. вместе с каждым элементом h подгруппа H содержит все

сопряженные с ним элементы a−1ha .

2) Докажем утверждение в обратную сторону. Пусть подгруппа H вместе с каждым элементом h содержит все

(a−1)−1ha−1 = h2 , и по условию h2 H . Обе части последне-

Теорема 19. Если H1 и H2 - нормальные делители группы G , то их пересечение H1 ∩H2 также будет нормальным делителем группы G .

Доказательство. Пусть H1 и H2 - нормальные делители группы G . Тогда их пересечение H1 ∩H2 является подгруппой, как пересечение двух подгрупп (в силу теоремы 14 п.1.9). Пусть h - произвольный элемент из H1 ∩H2 . Тогда h H1 , но H1 - нормальный делитель и вместе с каждым элементом содержит все элементы ему сопряженные, значит

18 H1 ∩H2 является нормальным делителем группы G . ■

Контрольные вопросы и задания к п. 1.12

1.Какая подгруппа называется нормальным делителем?

2.Приведите примеры нормальных делителей.

3.Докажите, что любая подгруппа абелевой группы является ее нормальным делителем.

4.Сформулируйте критерий нормальности подгруппы.

5.Докажите, что любая подгруппа H индекса 2 в группе G является ее нормальным делителем.

6.Центром группы называется множество всех ее элементов, коммутирующих со всеми элементами группы. Докажите, что центр группы является ее нормальным делителем.

1.13. Фактор-группа

Из определения нормального делителя вытекает, что левые и правые смежные классы по подгруппе, которая является нормальным делителем, совпадают и их можно не различать. Поэтому естественным способом можно построить новую группу, элементами которой являются смежные классы.

Пусть G - произвольная группа и H - ее нормальный делитель (т.е. H - подгруппа, такая что aH = Ha a G ).

Рассмотрим множество всех смежных классов группы G по подгруппе H . В этом множестве определим операцию умножения классов следующим образом:

xH yH = (xy)H .

Другими словами, чтобы найти произведение двух смежных классов, надо произвольным образом выбрать в этих классах по одному представителю и взять тот класс, в котором лежит произведение этих представителей. (Напомним, что всякий класс порождается любым из своих элементов).

Покажем, что операция умножения классов определена корректно и не зависит от выбора конкретных представителей в перемножаемых классах xH и yH .

Рассмотрим класс xH , выберем в нем некоторый эле-

y1H = yH . По определению умножения классов имеем: xH yH = (xy)H ,

x1H y1H = (x1y1)H .

Но xH = x1H и yH = y1H , т.е. левые части равенств равны. Покажем, что правые части равенств также равны, т.е. докажем равенство (x1 y1)H = (xy)H .

Рассмотрим класс (x1 y1)H . Имеем: x1 xH , y1 yH . Тогда в силу определения левого смежного класса найдутся такие h1, h2 H , что x1 = xh1 , y1 = yh2 . Тогда

x1 y1 = xh1 yh2 = x(h1 y)h2 .

Здесь элемент h1 y Hy . Но подгруппа H является нормаль-

Отсюда в силу свойства 3 смежных классов (см. п. 1.10) имеем

(x1 y1)H = (xy)H .

Таким образом, произведение классов не зависит от выбора конкретных представителей в этих классах. Следовательно, операция умножения классов введена корректно.

Покажем, что множество классов с введенной операцией умножения образует группу.

Теорема 20. Пусть H - нормальный делитель группы G . Множество смежных классов группы G по подгруппе H является группой относительно операции умножения классов.

Доказательство. Проверим три аксиомы группы.

1) Покажем, что операция умножения классов ассоциативна. По определению операции имеем

(xH yH ) zH = (xyH ) zH = (xyz)H ,

xH ( yH zH ) = xH ( yzH ) = (xyz)H .

Следовательно, (xH yH ) zH = xH ( yH zH ) для любых классов xH , yH , zH .

2) Нейтральным элементом является сама подгруппа H , так как для любого класса xH верно:

xH H = xH eH = (xe)H = xH ,

H xH = eH xH = (ex)H = xH .

3) Для каждого класса xH существует обратный (xH )−1 , который определяется равенством (xH )−1 = x−1H . Действительно,

(xH ) (x−1H ) = (xx−1)H = eH = H ,

(x−1H ) (xH ) = (x−1x)H = eH = H .

Из свойств 1) - 3) вытекает, что множество смежных классов по нормальному делителю H образует группу. ■

Полученная группа обозначается GH и называется фактор-группой группы G по ее нормальному делителю H .

Задача. Пусть G = S3 - симметрическая группа третьей степени; пусть H = A3 - подгруппа ее четных подстановок. Постройте фактор-группу GH ; убедитесь, что она состоит

из двух элементов и, следовательно, является циклической группой второго порядка.

Контрольные вопросы и задания к п. 1.13

1.Как определяется операция умножения смежных классов? Докажите корректность этого определения.

2.Сформулируйте определение фактор-группы.

3.Приведите примеры фактор-групп.

4.Укажите, сколько элементов содержится в фактор-группе:

Выпишите эти элементы.

1.14.Разложение группы в классы сопряженных элементов

Рассмотрим еще один способ разбиения группы G на классы – классы сопряженных элементов. Понятие сопряженных элементов уже было введено ранее (см п. 1.12). Напомним соответствующее определение.

Определение. Элементы a и b группы G называются сопряженными, если существует элемент g G такой, что

b = g−1ag .

Для сопряженных элементов используется следующее обозначение: a ≈ b .

Приведем свойства отношения сопряженности.

1) Каждый элемент сопряжен самому себе: a ≈ a (рефлексивность).

Доказательство. Для любого элемента a G верно

a = e−1ae , где e - нейтральный элемент группы G . Следовательно, a ≈ a . ■

2) Если b ≈ a , то a ≈ b (симметричность).

Доказательство. По условию b ≈ a . Это значит, что существует элемент g G такой, что b = g−1ag . Умножим

обе части этого равенства слева на g и справа на g−1 . Получим gbg−1 = g(g−1ag)g−1 , откуда gbg−1 = a . Но в силу

свойств обратного элемента g = (g−1)−1 . Тогда для элемента a имеем:

a = gbg−1 = (g−1)−1bg−1 = f −1bf , где f = g−1 G .

Отсюда вытекает, что a ≈ b . ■

3) Если a ≈ b и b ≈ c , то a ≈ c (транзитивность).

Доказательство. По условию a ≈ b и b ≈ c . Отсюда по определению сопряженных элементов имеем

a = g−1bg и b = f −1cf , где g, f G .

Тогда для элемента a в силу ассоциативности групповой операции и равенства ( fg)−1 = g−1 f −1 получим:

a = g−1bg = g−1( f −1cf )g =(g−1 f −1)c( fg) =( fg)−1c( fg) = h−1ch ,

где обозначено h = fg G . Отсюда вытекает, что a ≈ c . ■

Из свойств 1 - 3 следует, что отношение сопряженности определяет разбиение группы G на непересекающиеся классы сопряженных между собой элементов. Покажем это.

Теорема 21. Классы сопряженных между собой элементов не пересекаются.

Доказательство. Пусть G - группа. Рассмотрим два произвольных элемента x, y G . Обозначим через S(x) -

класс элементов, сопряженных с x , а через S( y) - класс элементов, сопряженных с y , т.е.

S(x) ={x : x ≈ x}, S( y) ={y : y ≈ y}.

Для элементов x, y G возможны следующие случаи: эти элементы либо сопряжены, либо нет.

1 случай. Пусть x ≈ y . Покажем, что S(x) = S( y) , т.е.

что соответствующие классы сопряженных элементов совпадают.

Рассмотрим произвольный элемент x S(x) , т.е. x ≈ x . Но по условию x ≈ y , тогда в силу свойства транзи-

тивности x ≈ y , значит x S( y) . Последнее означает, что

S(x) S( y) .

Докажем обратное включение. Рассмотрим произвольный элемент y S( y) , т.е. y ≈ y . Но y ≈ x (в силу свойст-

ва симметричности), и следовательно в силу транзитивности y ≈ x . Отсюда получаем y S(x) , что означает

S( y) S(x) .

Таким образом, S(x) S( y) и S( y) S(x) . Следовательно, S(x) = S( y) , т.е. все сопряженные между собой эле-

менты попадают в один и тот же класс.

2 случай. Пусть x ≈/ y (элемент x не сопряжен с элементом y ). Покажем, что в этом случае классы S(x) и S( y)

не пересекаются.

Предположим противное. Пусть S(x) ∩S( y) ≠ , т.е.z S(x) ∩S( y) . Элемент z одновременно принадлежит как классу S(x) , так и классу S( y) . Так как z S(x) , то z ≈ x , или в силу свойства симметричности x ≈ z . Так как z S( y) , то z ≈ y . Тогда в силу свойства транзитивности x ≈ y , что невозможно, так как по условию x ≈/ y . Следовательно, если x ≈/ y , то соответствующие классы S(x) и S( y) не пересе-

каются. ■

Таким образом, вся группа G распадается на непересекающиеся классы – классы сопряженных элементов. Каждый элемент попадает только в один класс, и объединение всех этих классов дает всю группу G .

Опишем свойства классов сопряженных элементов. Класс элементов, сопряженных с элементом a , обозна-

чим через S(a) , т.е.

S(a) ={x : x ≈ a} ={x : x = g−1ag g G}.

Доказательство. Для любого элемента x ≈ e имеем x = g−1eg = g−1(eg) = g−1g = e g G .

Поэтому S(e) ={x : x ≈ e} ={e} . ■

3) Если элемент коммутирует со всеми элементами группы, то он образует отдельный класс.

Доказательство. Пусть элемент a G коммутирует со всеми элементами группы G , т.е. ag = ga g G . Пока-

жем, что S(a) ={a} . Рассмотрим элементы x , сопряженные с этим элементом a ; в силу равенства ag = ga и ассоциативности групповой операции имеем:

x = g−1ag = g−1(ag) = g−1(ga) = (g−1g)a = ea = a .

Отсюда вытекает, что класс S(a) состоит лишь из одного элемента a , т.е. S(a) ={a} . ■

4) В абелевой группе число классов сопряженных элементов равно порядку группы.

Доказательство. В силу свойства 3 в абелевой группе каждый элемент образует отдельный класс. Следовательно,

число классов равно числу элементов, т.е. равно порядку группы. ■

Отметим, что в некоммутативной группе число классов сопряженных элементов меньше порядка группы.

5) Порядки сопряженных между собой элементов одинаковы.

Доказательство. Пусть ord a = k , т.е. k - наименьшее натуральное число такое, что ak = e . Пусть b ≈ a , т.е. b = g−1ag . Покажем, что ord b = k . Вычислим bk . В силу ассоциативности операции и равенства gg−1 = e имеем

bk = (g−1ag)(g−1ag)...(g−1ag) =

kраз

=g−1a(gg−1)a(gg−1)...(g−1g)ag = g−1ak g = g−1eg = e .

Таким образом, bk = e . Покажем теперь, что k - наименьшее число такое, что bk = e . Рассмотрим некоторое натуральное число m такое, что bm = e . Вычислим am . По условию b = g−1ag , отсюда a = gbg−1 . Тогда

am = (gbg−1)(gbg−1)...(gbg−1) =

mраз

=gb(g−1g)b(g−1g)...(g−1g)bg−1 = gbm g−1 .

Отсюда вытекает, что наименьшее значение степени m , при

котором bm = e , должно равняться k (так как ak = e ), тогда ord b = k и элементы a , b имеют одинаковый порядок. ■

1.15. Критерий сопряженности подстановок

Опишем, что представляют собой классы сопряженных элементов в группе Sn .

Теорема 22. В группе Sn две подстановки сопряжены

тогда и только тогда, когда они имеют одинаковую цикловую структуру, т.е. когда их разложения в произведения независимых циклов содержат одинаковое число циклов одинаковой длины.

Доказательство. Рассмотрим подстановку a Sn ,

a ≠ e . Пусть подстановка a разложена в произведение независимых циклов следующим образом:

a = (α1, ... ,αk )(αk+1, ... ,αk+m ) ...

Найдем сопряженные с a элементы, т.е. все элементы b вида b = g−1ag g Sn . Для удобства вычислений подстановку g запишем в виде:

здесь элементы верхней строки расположены в том же порядке, в каком они следуют в циклах подстановки a .

Вычислим b = g−1ag , записав подстановку a в виде таблицы:

Пример 43. Разложим в классы сопряженных элементов группу S3 . Эта группа состоит из 6 различных подстано-

вок, каждую из них запишем в виде произведения независимых циклов (используем обозначения примера 7):

Сопряженными элементами группы S3 (в силу теоремы 22) являются подстановки, имеющие одинаковую цикловую

тогда S3 = K1 K2 K3 .

Заметим, что число элементов в каждом классе является делителем порядка группы. Этот факт будет доказан ниже.

Пример 44. Найдем число классов сопряженных элементов для группы S6 . В силу теоремы 22 классы сопряжен-

ных элементов однозначно определяются различными цикловыми структурами подстановок из S6 . Укажем эти цикло-

вые структуры:

Таким образом, всего имеется 11 разных цикловых структур, и соответственно 11 классов сопряженных элементов.

Замечание. Обращаем внимание, что утверждение теоремы 22 справедливо только для симметрической группы Sn . В знакопеременной группе An четных подстановок кри-

терий сопряженности уже неверен. Так, в A4 существуют несопряженные тройные циклы, например, (1, 2,3) ≈/ (1, 2, 4) .

Контрольные вопросы и задания к п. 1.14-1.15

1.Какие элементы группы называются сопряженными?

2.Перечислите свойства классов сопряженных элементов.

3.Чему равно число классов сопряженных элементов в абелевой группе?

4.Докажите, что сопряженные элементы группы имеют одинаковые порядки, но обратное утверждение неверно.

5.Что представляют собой классы сопряженных элементов в

симметрической группе Sn ?

6.Приведите пример группы, имеющей три класса сопряженных элементов.

7.В группе S4 найдите класс сопряженности:

а) подстановки (1 2)(3 4) ; б) подстановки (1 2 4) .

8. Есть ли в группах S5 и S6 несопряженные элементы оди-

наковых порядков?

9. Разложите группы S3 и S4 в классы сопряженных элементов.

10.Найдите число классов сопряженных элементов в группах S5 и S6 .

11.Опишите все конечные группы, разбивающиеся ровно на два класса сопряженных элементов.

1.16. Уравнение Коши

Определение. Уравнением Коши в группе Sn назвается уравнение вида

где подстановки a,b Sn .

Критерий спряженности подстановок в группе Sn (тео-

рема 22) позволяет описать способ решения таких уравнений. Заметим, что в силу определения сопряженных элементов (см. п. 1.14) разрешимость уравнения (6) равносильна сопряженности подстановок a,b Sn .

Как следует из доказательства теоремы 22, если подстановки a,b Sn имеют одинаковую цикловую структуру

a = (α1, ... ,αk )(αk+1, ... ,αk+m ) ...,

b = (β1, ... ,βk )(βk+1, ... ,βk+m ) ...,

где k ≥ m ≥..., то множество решений уравнения (6) есть множество всех подстановок вида

где нижняя строка соответствует различным способам разложения подстановки b в произведение независимых цик-

Множество всех решений x данного уравнения описывается следующей таблицей:

Таким образом, число решений данного уравнения равно 6, и эти решения имеют вид:

Отметим, что при составлении таблицы для записи всех вариантов нижних строк подстановки x надо всеми способами переставить между собой циклы одинаковых

длин, и для каждого варианта расстановки циклов перебрать все возможные способы записи каждого цикла.

Контрольные вопросы и задания к п. 1.16

1.Что называется уравнением Коши?

2.При каких условиях уравнение Коши имеет решения?

3.Как найти все решения уравнения Коши x−1ax = b ?

4.Найдите все решения уравнения Коши x−1ax = b , где подстановки a,b S5 :

1.17.Нормализатор элемента группы. Центр группы

Пусть (G, ) - группа и элемент a G .

Определение. Множество всех элементов группы, коммутирующих с элементом a , называется нормализатором элемента a и обозначается N(a) , т.е.

N (a) ={x G : ax = xa}.

Опишем некоторые свойства нормализатора.

Теорема 23. Нормализатор N(a) является подгруппой

группы G .

Доказательство. Покажем, что для любых элементов b, c N (a) верно bc N (a) и b−1 N (a) .

Пусть b, c N(a) . Это значит, что элементы b и c ком-

мутируют с элементом a , т.е. ab = ba и ac = ca . Тогда в силу ассоциативности групповой операции имеем

a(bc) = (ab)c = (ba)c = b(ac) = b(ca) = (bc)a .

Таким образом, a(bc) = (bc)a . Следовательно, bc N(a) . Покажем теперь, что b N(a) верно b−1 N (a) .

Пусть элемент b N(a) , тогда ab = ba , а значит, обратные элементы также равны: (ab)−1 = (ba)−1 . Отсюда в силу равенства (xy)−1 = y−1x−1 получим b−1a−1 = a−1b−1 . Обе части

последнего равенства умножим на элемент a слева и справа. Получим

a(b−1a−1)a = a(a−1b−1)a ab−1(a−1a) = (aa−1)b−1a ab−1 =b−1a .

Последнее равенство означает, что элемент b−1 коммутирует с элементом a . Следовательно, b−1 N (a) .