1813

Определение. Экспонентой группы (G, ) называют наименьшее натуральное число m такое, что

Используя теорему 10, найдем экспоненты групп подстановок S3 и S4 :

exp S3 = HOK(1, 2,3) = 6 ,

exp S4 = HOK (1, 2,3, 4) =12 . (Проверьте!)

Контрольные вопросы и задания к п. 1.7

1.Что называется порядком элемента группы?

2.Приведите пример группы, в которой есть элементы конечного и бесконечного порядков.

3.Как найти порядок подстановки?

4.Докажите, что в группе порядки элементов ab и ba равны.

Указание. Равенство (ab)n = e умножить слева на b , а справа на a .

5. Могут ли в мультипликативной группе G существовать ровно два элемента второго порядка?

Указание. Если a,b - элементы второго порядка, то рассмотреть элемент aba .

6.Докажите, что в группе элементы abc и cba могут иметь разные порядки.

Указание. Рассмотрите подстановки (1 2 3) , (1 2) и (1 3) .

7. Даны подстановки a,b S9 :

Найдите порядок этих подстановок и вычислите a47 , b83 . 8. Найдите порядки всех элементов групп S3 , S4 , Z4 , Z8 ,

Z7 , Z12 .

9.Какой наибольший порядок могут иметь элементы групп

S5 , S6 , S10 ?

10.Найдите порядки всех ненулевых элементов поля GF(7) .

11. Найдите порядок элемента группы:

1.8. Понятие циклической группы

В предыдущем пункте было введено понятие степени

ak элемента a для любого целого k .

Определение. Группа G называется циклической, если она состоит из степеней одного из своих элементов a . В этом случае элемент a называют образующим элементом группы и говорят, что группа G порождается элементом a .

Если группа G порождается элементом a , будем использовать следующее обозначение G = a .

Теорема 11. Любая циклическая группа является абелевой.

Приведем примеры циклических групп.

Пример 23. Аддитивная группа целых чисел ( , +) яв-

ляется бесконечной циклической группой. Ее образующим элементом является число 1 или -1, так как всякое целое

число кратно 1 или -1. Поэтому можем записать = 1 или

= −1 .

Пример 24. Аддитивная группа вычетов по модулю m , т.е. ( m , +) , является конечной циклической группой поряд-

ка m . Ее образующим элементом является класс 1 , так как m ={0, 1,..., m −1} и любой элемент из m можно записать в виде k 1 , где k = 0,1,..., m −1, т.е. любой элемент из m

является кратным элемента 1 .

Пример 25. Приведем еще один пример конечной циклической группы. Рассмотрим (Ωn , ) - мультипликативную

группу корней n -й степени из единицы. Эта группа состоит

Образующим элементом этой группы является число

zk = ρk (cos kϕ +i sin kϕ) , и поэтому εk =ε1k k = 0, n −1 .

Следующая теорема показывает, что примерами 23 и 24 или 23 и 25 исчерпываются по существу все циклические группы.

Теорема 12. Все бесконечные циклические группы изоморфны между собой; все конечные циклические группы данного порядка также изоморфны между собой.

Следствие. Все бесконечные циклические группы изоморфны аддитивной группе целых чисел. Все конечные циклические группы данного порядка m изоморфны аддитивной группе вычетов по модулю m .

Контрольные вопросы и задания к п. 1.8

1.Какая группа называется циклической?

2.Приведите примеры циклических групп. Укажите их образующие элементы.

3.Сформулируйте теорему об изоморфных циклических группах.

4.Будет ли группа обратимых элементов кольца вычетов Z16

циклической? (Ответ: Нет, так как порядок группы равен 8, а по-

рядок каждого элемента не превосходит 4.)

5. Выясните, являются ли данные группы циклическими:

равен порядку группы G .

7.Докажите, что группа G конечного порядка n является циклической тогда и только тогда, когда в ней существует элемент порядка n .

8.Укажите, какие из следующих утверждений являются верными:

а) каждая циклическая группа абелева; б) каждая абелева группа циклическая;

в) каждый элемент циклической группы, отличный от единичного, является ее образующим элементом;

г) каждая группа порядка n < 4 циклическая; д) каждая группа порядка n ≤ 4 циклическая.

1.9. Подгруппы

Пусть (G, ) - группа и H - непустое подмножество

группы G .

Определение. Подмножество H группы G называется ее подгруппой, если выполняются два условия:

Обозначение: H < G .

Теорема 13. Подгруппа H является самостоятельной группой относительно бинарной операции, определенной в исходной группе G .

Доказательство. Пусть H < G . Для доказательства достаточно показать, что H содержит нейтральный элемент. В силу определения подгруппы имеем: если x H , то

x−1 H ; кроме того, если элементы x и x−1 H , то их про-

изведение также принадлежит H : xx−1 = e H . ■ Приведем примеры подгрупп.

Пример 26. Простейшими подгруппами любой группы являются подмножество {e} , состоящее из одного нейтраль-

ного элемента, и сама группа. Эти подгруппы называют

тривиальными.

довательно, m - подгруппа.

Пример 28. В мультипликативной группе GLn ( ) не-

вырожденных матриц n -го порядка подгруппу образуют матрицы, определители которых равны единице. (Докажите!)

Пример 29. В cимметрической группе Sn подгруппу

образуют все подстановки четной степени. (Докажите!) Пример 30. Пусть дана группа (G, ) и элемент a G .

Подгруппу образуют всевозможные степени (положительные и отрицательные) элемента a :

H ={... , a−2 , a−1, a0 = e, a, a2 , a3, ...} .

Эту подгруппу H называют циклической подгруппой, поро-

жденной элементом a . Причем, если элемент a имеет конечный порядок, то эта подгруппа конечная. А именно, если ord a = m , то H ={a0 = e, a, a2 , ... , am−1}.

Опишем свойства подгрупп.

Теорема 14. Пересечение двух подгрупп группы G является подгруппой в G .

Доказательство. Пусть H1 и H2 - две подгруппы данной группы G . Покажем, что их пересечение H1 ∩H2 также является подгруппой.

Рассмотрим два произвольных элемента x, y H1 ∩H2 .

Теорема 15. Пусть H - подгруппа группы G . Тогда

1)нейтральные элементы групп G и H совпадают;

2)для любого элемента a H элемент, обратный к a в H , совпадает с обратным к a элементом в G .

Доказательство. 1) Пусть e - нейтральный элемент в

где e1 - нейтральный элемент группы H . Но в силу предыдущего свойства e1 = e , где e - нейтральный элемент в G . Тогда по определению обратного элемента из (3) следует, что a′ = a−1 в группе G . ■

В заключение приведем теорему, которая раскрывает роль группы подстановок.

Теорема 16 (теорема Кэли). Любая конечная группа порядка n изоморфна некоторой подгруппе группы Sn .

Контрольные вопросы и задания к п. 1.9

1.Сформулируйте определение подгруппы.

2.Справедливо ли утверждение: любая подгруппа группы G является группой? Ответ обоснуйте.

3.Будет ли пересечение двух подгрупп некоторой группы являться подгруппой? Ответ обоснуйте.

4.Пусть H - подгруппа в G . Докажите, что единицы группы H является единицей группы G .

5.Докажите, что в абелевой группе G множество элементов

вида {g2 , g G} образует подгруппу в G .

6.Докажите, что множество четных подстановок является подгруппой группы Sn .

7.Является ли множество нечетных подстановок подгруппой группы Sn ?

8.Найдите циклическую подгруппу H группы S4 , порожденную подстановкой a =(1,4,3) .

9.Докажите, что данное множество подстановок образует подгруппу в группе S6 :

Докажите, что эта подгруппа изоморфна группе S3 .

10. Выясните, является ли подгруппой группы S4 следующее множество подстановок:

где ϕ - произвольное действительное число, образует

подгруппу группы невырожденных матриц второго порядка (относительно операции умножения).

1.10.Разложение группы в смежные классы по подгруппе

Пусть H - подгруппа группы G и a - некоторый элемент группы G .

Определение. Левым смежным классом группы G по подгруппе H , порожденным элементом a , называется множество всех произведений вида ah , где h H , т.е.

aH ={x : x = ah h H} .

Аналогично определяется правый смежный класс:

Ha ={x : x = ha h H} .

Заметим, что для аддитивных групп левый и правый смежные классы обозначаются соответственно a + H и H +a :

Приведем свойства смежных классов.

1) eH = H , т.е. подгpуппа H является одним из смежных классов.

Доказательство. По опpеделению левого смежного класса имеем:

eH ={x : x = eh h H} ={x : x = h h H} = H . ■

2) a aH , т.е. элемент a всегда пpинадлежит тому классу, котоpый он поpождает.

Доказательство. В силу теоремы 15 нейтpальный элемент e гpуппы G является нейтpальным элементом ее подгpуппы H . Тогда для пpоизвольного элемента a G имеем: a = ae = ah пpи h = e , что означает a aH . ■

3) Если элемент b aH , то bH =aH , т.е. любой элемент b из класса aH порождает тот же смежный класс aH .

Доказательство. Рассмотpим пpоизвольный элемент b aH . В силу опpеделения левого смежного класса для элемента b веpно представление b = ah0 , где h0 H . Отсюда

для элемента a имеем: a = bh0−1 .

Докажем, что bH aH и aH bH , что и будет означать bH = aH .

Докажем сначала, что bH aH . Рассмотрим произвольный элемент x bH . Тогда для некоторого h1 H верно

x = bh1 = (ah0 )h1 = a(h0h1) .

Здесь h0h1 H , т.к. H - подгруппа и вместе с каждой паpой элементов h0 и h1 содержит их произведение. Тогда равен-

следует, что bH = aH . ■

Из свойства 3 вытекает, что любые два левых смежных класса группы G по подгруппе H либо совпадают, либо не пеpесекаются; а это означает, что каждый элемент гpуппы G попадает pовно в один смежный класс.

Таким обpазом, вся гpуппа G pаспадается на непеpесекающиеся левые смежные классы по подгpуппе H .

Это pазложение называют левостоpонним pазложением гpуппы G по подгpуппе H и обозначают G = aH .

a G

Аналогично опpеделяется пpавостоpоннее pазложение гpуппы G по подгpуппе H : G = Ha .

a G

Для абелевой группы оба ее разложения (левостоpоннее и пpавостоpоннее) по любой подгруппе сов-

падают, и говорят о разложении группы по подгруппе.

Определение. Индексом подгруппы H в группе G на-

зывают число левых (правых) смежных классов группы G

pазложим в смежные классы по подгpуппе H . Обpатим внимание на то, что мы не говоpим о левостоpоннем или пpавостоpоннем pазложении, поскольку pассматpиваемая гpуппа G является абелевой.

Пусть a - любое целое число. Постpоим смежный класс a + H , который порождается элементом a . Так как

H = m ={..., −3m, −2m, −m,0, m, 2m,3m,...},

то

a + H = a +m ={x : x = a +h h m } =

={..., a +(−3m), a +(−2m), a +(−m), a, a +m, a +2m, a +3m,...} .

Легко видеть, что все числа построенного класса a + H дают один и тот же остаток пpи делении на m , а именно, тот остаток r , котоpый пpи делении на m дает число a (напомним, что в силу теоремы о делении с остатком число a можно записать в виде a = mq +r , где 0 ≤ r ≤ m −1 ). Таким обpазом,

смежный класс a + H состоит из всех целых чисел, котоpые пpи делении на m дают один и тот же остаток. Поскольку этот остаток может пpинимать только m pазличных значений 0,1, 2,..., m −1, то мы получим m pазличных смежных

классов:

0 = m , 1 =1+m , 2 = 2 +m , … , m −1 = (m −1) +m .

Эти классы являются классами вычетов по модулю m . Следовательно, pазложение гpуппы G по подгpуппе H состоит из m pазличных смежных классов - это классы вычетов по

матриц, определитель которых равен единице. Построим левые смежные классы группы G по подгруппе H . Пусть матрица A GLn ( ) . Левый смежный класс, который поро-

ждается матрицей A , имеет вид:

т.е. класс AH , который порождается матрицей A , состоит из всех тех матриц, определители которых совпадают с определителем матрицы A .

Таким образом, левостороннее разложение группы G по подгруппе H состоит из бесконечного числа левых смежных классов, и каждый класс в этом разложении состо-

сторонне разложение будет совпадать с левосторонним, хотя группа и не является абелевой. Действительно, правый смежный класс имеет вид

HA ={X : X =UA U H}.

Здесь | X |=|UA |=|U | | A |=| A | ; поэтому

HA ={X : | X |=| A |} = AH .

Подгруппы, для которых aH = Ha a G , более подробно

будут рассмотрены ниже, это так называемые нормальные делители группы.

Пример 33. Пусть G = S3 - группа подстановок третьей степени и H - ее подгруппа, порожденная подстановкой (1, 2) , т.е. H = (1, 2) ={e; (1, 2)}. Найдем левостороннее и

правосторонее разложение группы G по подгруппе H . Сначала построим все левые смежные классы. Имеем:

Всего получили три разных левых смежных класса, следовательно, левостороннее разложение группы G по подгруппе H имеет вид:

Следовательно, правостороннее разложение группы G по подгруппе H имеет вид:

Сравнивая разложения (4) и (5) замечаем, что левые смежные классы не совпадают с правыми, совпал только однин класс – это eH = He = H . Оба разложения содержат по три

класса, поэтому | G : H |= 3 . Заметим также, что все смежные

классы, как левые, так и правые, равномощны; каждый их классов состоит из двух элементов, как и подгруппа H .

Пример. Построим все левые смежные классы циклической группы G = a порядка 12 по подгруппе H = a3 .

Заметим, что по условию | G |=12 , поэтому a12 = e . Построим сначала подгруппу H , зная ее образующий элемент:

H ={a3, a6 , a9 , a12 = e}.

Найдем число смежных классов, т.е. индекс подгруппы H в группе G :

| G : H |= || HG || = 124 = 3 .

Отметим, что каждый левый смежный класс состоит из четырех элементов, так как столько же элементов содержит данная подгруппа H . Теперь можем построить левые смежные классы:

eH = H ={e, a3, a6 , a9},

aH ={a, a4 , a7 , a10} ,

a2 H ={a2 , a5 , a8 , a11}.

Итак, все возможные левые смежные классы построены, при-

чем классы a3H , a4H , … находить не надо, так как уже построенные три класса различны и их объединение дает все множество G .

Контрольные вопросы и задания к п. 1.10

1.Что называется левым (правым) смежным классом, порожденным элементом a ?

2.Чему равно число элементов смежного класса?

3.Перечислите свойства смежных классов.

4.Могут ли совпадать левостороннее и правостороннее разложения группы G по данной подгруппе H ?

5.Что представляет собой разложение произвольной группы G в левые (правые) смежные классы по единичной под-

группе и по самой G ?

6.Что называется индексом подгруппы в данной группе?

7.Является ли смежный класс группой?

8.Разложите группу (Z, +) в смежные классы по подгруппе

(mZ, +) , где m - данное натуральное число. Каков индекс этой подгруппы?

9. Пусть G = a - циклическая группа порядка 12. Докажи-

те, что множество H = a3 является подгруппой и по-

стройте все левые смежные классы по этой подгруппе. 10. Пусть G = a - циклическая группа порядка 8. Построй-

те левые смежные классы по подгруппе H = a2 .

11. Разложите группу S3 в левые и правые смежные классы по подгруппе H = (1 2) . Совпадают ли левостороннее и правостороннее разложения?

1.11. Теорема Лагранжа

Приведем одно интересное свойство конечных групп. Напомним, что число элементов группы G называется порядком группы и обозначается | G |.

Теорема 17 (Лагранжа). Порядок подгруппы конечной группы является делителем порядка самой группы.

Доказательство. Пусть G - конечная группа порядка n , H - ее подгруппа порядка k . Покажем, что n делится на k .

Рассмотрим все левые смежные классы группы G по подгруппе H ; пусть q - число таких классов. Каждый левый

смежный класс aH состоит из k различных элементов. Действительно, если H ={h1, h2 ,..., hk }, то класс aH имеет вид

aH ={ah1, ah2 ,..., ahk }. Предположим, что в aH имеется два совпадающих элемента ahi = ahj ( i ≠ j ). Тогда умножив обе

части этого равенства слева на a−1 , получим hi = hj , что не-

возможно, так как подгруппа H состоит из различных элементов.

Итак, каждый левый смежный класс состоит из k различных элементов; всего таких классов q , они не пересека-

ются и их объединение дает все множество G . Следовательно, для числа n элементов группы G имеем

n = k q , или | G |=| H | | G : H | ,

откуда получаем, что порядок подгруппы H является делителем порядка группы G . ■

Следствие 1. Любая конечная группа простого порядка является циклической.

Доказательство. Пусть G - конечная группа и ее порядок | G |= p , где p - простое число. В силу теоремы Ла-

гранжа группа G может содержать лишь подгруппы порядка 1 и порядка p .

Пусть a ≠ e - некоторый элемент группы G . Рассмотрим циклическую подгруппу H , которая порождается этим элементом, т.е.

H ={e, a, a2 , a3, ... , am} G .

Так как a ≠ e , то для этой подгруппы случай | H |=1 невозможен. Следовательно, | H |= p , т.е. H совпадает со всей

группой G , и значит G является циклической группой. ■

Следствие 2. Порядок любого элемента конечной группы является делителем порядка группы.

Доказательство. Пусть элемент a G и ord a = m .

Рассмотрим циклическую подгруппу, порожденную элементом a :

H = a ={a0 = e, a, a2 , ... , am−1}.

Эта подгруппа имеет порядок | H |= m = ord a . В силу теоремы Лагранжа | G | | H | , или | G | ord a . ■

Следствие 3. Если G - конечная группа, то exp G яв-

ляется делителем порядка группы.

Доказательство. В силу теоремы 10 для конечной

дущего следствия | G | ord g1 , … , | G | ord gn . Поэтому | G | является общим кратным для чисел ord g1 , … , ord gn , а зна-

чит | G | HOK (ord g1, ... ,ord gn ) , или | G | exp G . ■

Пример 34. Пусть G - конечная группа шестого порядка; например, G = S3 . В силу теоремы Лагранжа ее под-

группы могут иметь порядок 1 (это единичная подгруппа), 2, 3, 6 (это сама группа G ). Множества из 4 и 5 элементов не могут быть подгруппами в G . Отметим так же, что груп-

па G не обязана содержать подгруппы 2 и 3 порядков. Это надо специально доказывать.

Контрольные вопросы и задания к п. 1.11

1.Сформулируйте теорему Лагранжа.

2.Пусть | G | - простое число. Докажите, что G - циклическая группа.

3.Верно ли, что порядок любого элемента конечной группы является делителем порядка группы? Ответ обоснуйте.

4.Группа G состоит из 28 элементов. Могут ли в ней быть

элементы порядка: а) 7, 14, 4; б) 3, 5, 21?

5. Группа G состоит из 30 элементов. Может ли эта группа содержать подгруппы порядка: а) 3, 5, 6, 15; б) 4, 9, 25?

1.12. Нормальные делители группы

Пусть H - подгруппа группы G . Как уже отмечалось, если G - абелева, то левые и правые смежные классы группы G по подгруппе H совпадают. Однако такая ситуация возможна и в неабелевой группе для некоторых специальных подгрупп. Подгруппы, обладающие этими свойствами, называют нормальными делителями. Дадим строгое определение.

Определение. Подгруппа H называется нормальным делителем группы G , если для любого элемента a G выполняется равенство

aH = Ha ,

т.е. если любой левый смежный класс одновременно является правым смежным классом.

Левые и правые смежные классы группы G по ее нормальному делителю называются просто смежными классами.

Приведем примеры нормальных делителей.

Пример 35. В абелевой группе любая подгруппа является нормальным делителем.