1476

Эти интегральные уравнения решают в деформациях методом последователь­ ных приближений.

Переход от деформаций к напряже­ ниям после получения решения осуще­ ствляется по формулам:

®Г = Т ( ч ~4 °я .) ф (2^ + ёе)фоё0о.

Сходимость последовательных при­ ближений при решении в деформациях вполне удовлетворительная, при реше­ нии в напряжениях приближения мо­ гут расходиться. Интегральные урав­ нения при решении в напряжениях аналогичны по структуре уравнениям в деформациях (1.155).

Рассмотрим расчет диска. Распреде­ ление напряжений в диске при различ­ ной частоте вращения показано на рис. 27 для случая идеальной пластич­

ности (GT = 0) при р = 4,6 и при отсутствии контурных нагрузок (а^ =

У р а в н е н и е р а в н о в е с и я

где М Г— изгибающий момент на еди­ ницу длины, действующий в радиаль­ ном направлении; Л40 — изгибающий момент в окружном направлении на не­ котором текущем радиусе г.

Поперечное усилие на единицу дли­ ны, действующее на том же радиусе, определяют из выражения

где Pi — сила, распределенная по ок­ ружности радиуса ^ (на единицу дли­ ны); q (г) — нагрузка, распределенная по некоторой кольцевой площади; Nv — распределенная по контуру ре­ акция (на единицу длины).

Индекс v относится к наружному или

Обозначив интегральную функцию пластичности

Mr = - J ф и (2хЛ+ х0);

(1.171)

^ 0= Т Фи (2хе+йл)-

Если перейти к абсолютным значе­ ниям усилий, то

Efv*

где D = -g -----цилиндрическая жест кость при ц, = 0,5.

По формуле (1.170) с учетом выра­ жения (1.173) найдем

Ттах

e}de{

Значения величин /, необходимые для вычисления интегральной функции пластичности, приведены в работе [2 1].

Для случая линейного упрочнения

1 — Ст

Ф = —-------[-от и интегральная функ-

ех

£ - / , 4 , к ,) + ( £ ) / < » +

стинки постоянной толщины для раз­ личных величин распределенной нагрузки <7= <7/?т, где <1?=48/i2сгт ПР»

GT = 0, полученные на основании ана­ логичных вычислений.

Для случая совместного действия на круговую пластинку осесимметричного растяжения и изгиба можно записать систему уравнений равновесия

£ ( r M r) - M B = Qr,

(1.182)

^-r (rNr) - N Q= Nr

Суммарная деформация от изгиба и растяжения в некоторой точке пла­ стинки с координатами (г, г)

^0= 2K0-|-С0р= б0и-f-б0р, /

где индексом р обозначены деформации от растяжения усилиями Nr и NQ, индексом и — деформации от изгиба.

Используя уравнения связи, после преобразований получим в относитель­ ных координатах

Напряжения и деформации отнесены соответственно к напряжению и дефор­ мации предела текучести ат и ет.

Уравнения для усилий в сечении имеют вид

(1.186)

Интегральные функции пластично­ сти Ф„, Фр и Фир зависят от интенсив­ ности суммарных деформаций ё* =

- j/ j V & + ёгё&+ ее, которую в слу­

чае совместного действия на пластинку растяжения и изгиба можно записать в виде

ё/ — У rfxi + т^хе+ ejp; где

Xi? = у (Х0 + Хл + X0X,-);

Пользуясь этой формулой, выразим ординату сечения через интенсивность деформаций

деформация Вц достаточно велика). В этом случае

[1 —ц2 (1 +Х)2] 1 1 —р,2 (1 —Я)2]= 0 (1.194)

и корень уравнения, соответствующий границе, где сплошное пластическое сечение не реализуется, равен

(Лт1 = т1т2 при е/т а х -*-«>).

Это соответствует линии 2 на рис. 30.

жет быть выполнено интегрирование выражений для Фи, Фр и Фир, резуль­ таты которого в силу симметрии могут

быть использованы и для условия

3 = р

j2 /шах’

При заданном соотношении парамет­ ров р, и "к одна область пластичности соответствует деформации

£шах Y 2 ц2 (1 _J_^2) — 1 '

две области пластичности — деформа­ ции

К 2 7 м г + ^ 2) - 1 " ,тах

K V \ 2— [1 — ц2 (1 + Ь 2)]2 ’

область сплошной пластичности — де­ формации

_________ 2м-________

4Ц4 Х 2 _ [1 _ ^ (1 + Х2)]2*

ции пластичности при одной области пластичности

Графики интегральных функций пла­ стичности Фи, Фр и Фир показаны на рис. 31 для р = 0,5 и л, — 1,2. Значе­ ния функции Фир существенно меньше значений функций Фи и Фр; это связано с тем, что функция <р при совместном изгибе и растяжении пластинки близка

ксимметричной.

Если для практических расчетов по­

ложить Ф„р = 0 независимо от дефор­ мации ё|-тах и параметров р и К, то

уравнения (1.185) существенно упро­

щаются:

M Q = — (2 x 0 -j-X /-) Ф н .

«J

Эти уравнения аналогичны уравне­ ниям (1.152) и (1.171) для чистого ра­ стяжения и чистого изгиба круговой пластинки и совместно с уравнениями (1.182) и (1.183) могут быть преобразо­ ваны в систему интегральных уравне­ ний, аналогичных уравнениям (1.162), (1.163) и (1.177), (1.178). Интегральные

уравнения для деформаций изгиба хд и

хЛи деформаций растяжения едр и егр связаны между собой через значения интегральных функций.

Графики функций Фи и Фр приве­ дены на рис. 26, гл. 11 в зависимости от деформации £,.max по параметрам

р, и К для случая идеальной пластично­ сти (GT = 0). Для других значений мо­

дуля линейного упрочнения GT интег­ ральные функции пластичности могут быть получены из соотношений

1 —Фи = (1 —GT) ( I —Ф„0); )

по этим же графикам для одинаковых значений деформаций ё;тах, индекс 0 означает идеальную пластичность.

И з г и б о с е с и м м е т р и ч н ы х о б о л о ч е к . Система дифференци­ альных уравнений для упруго-пласти­ ческого деформирования тонкой осесим­ метричной оболочки может быть запи­ сана следующим образом (рис. 32):

Рис. 30. Область возможных соот­ ношений параметров

где Мф и Мф — момент и усилие, дей­ ствующие в меридиональном напра­ влении; Q — усилие, действующее в на­ правлении нормали; ft — изменение угла между нормалью к оболочке и осью вращения в результате деформа­ ции; и, w — осевое и радиальное пере­ мещение срединной поверхности обо­ лочки; Rx и R2 — главные радиусы кривизны срединной поверхности; ф — угол между нормалью к срединной по­ верхности и осью вращения оболочки; h — толщина оболочки; г — расстояние от срединной поверхности оболочки до оси вращения; s — расстояние, изме-

С032ф\

и — ) = ° ;

(1.200)