1476

тывать в нечетном и четном полуциклах изменение коэффициентов приведения рх и р2, за счет изменения от полуцикла к полуциклу коэффициента асиммет­ рии:

о"»+ ' £ ( - [ ) * & k) i

т5l0' + S ( —

В случае накопления односторонней пластической деформации при мягком нагружении можно ожидать «сполза­ ния» кривых деформирования при жест­ ком нагружении, однако изменение коэффициента асимметрии г оказы­ вается таким, что это «сползание» ком­ пенсируется. В результате устанавли­ вается величина г, при которой накоп­ ление односторонней деформации при мягком нагружении прекращается. Со­ поставление результатов эксперимента, проведенного при жестком нагружении, с кривыми, полученными пересчетом по данным мягкого нагружения с уче­ том изменения коэффициента асиммет­ рии г для стали ЗОХГС (ан = = 133 кгс/см2), показано на рис. 15, б. Из рисунка следует, что после периода некоторого изменения коэффициента г

при дальнейшем росте числа полуциклов этот коэффициент почти не изме­ няется. Соответствие между экспери­ ментом и расчетом можно считать удов­ летворительным.

Хорошее соответствие мягкого и жесткого нагружения дает основание считать, что диаграмма циклического деформирования для мягкого нагруже­ ния, может быть использована при монотонном изменении напряжений и деформаций в пределах квадранта меж­

координатах о — е. Согласно соотно­ шению (2.1) напряжения и деформа­ ции в k-u полуцикле составят

k—1

8“ '= 5 » + 2 J

т= 1

+(—1)* 25* (fe).

Для упрочняющихся материалов

^при F (/г) = ^ - ; р = 1 |в случае мяг­

кого нагружения при асимметричном

в зависимости от значения параметра циклического деформирования а для различных значений числа полуциклов k приведены на рис. 16.

При большом числе циклов диаграм­ ма деформирования упрочняющихся материалов стягивается в достаточно узкую петлю, ширина которой сопо­ ставима.с петлей упругого гистерезиса, и можно считать, что в предельном случае диаграмма деформирования мо­ жет быть выражена прямой, сдвинутой на величину предельной остаточной де­ формации

СО

здесь функция £ (а)= ^ ^ Г “ может

Аг = 1

быть выражена через дзета-функцию Римана t, (а) [2]:

Приближенно функция £ (а) выра­ жается уравнением

£ (а) = (— In 2-j-0,5) а — 0,5.

Для циклически разупрочняющихся материалов [при F (k) = exp Р (k — 1)] при мягком нагружении с амплитудой

аа и средним напряжением ат

2

- - —-

'1

/ /

/7

/

!

//

//

1

Рис. 18. Кривые циклического дефор• мирования, полученные по уравнени­ ям (2.29) — кривая 1 и (2.13) — кри­ вая 2

Как отмечалось выше, обобщенный принцип Мазинга дает выражение для кривой циклического деформирования

очень удобное для решения задач цик­ лической пластичности, так как из него вытекает подобие кривых однократного и циклического деформирования и, следовательно, имеется возможность получения решения циклической за­ дачи на основе решения статической.

щих от числа полуциклов, произво­ дится на основании экспериментов, (подробно рассмотренных выше) таким образом, чтобы кривая деформирова­ ния, основанная на указанном соот­ ношении, и экспериментально полу­ ченная кривая для каждого полуцикла соответствовали одна другой [9]. Дан­

циклов для разных материалов приве­ дены на рис. 17. Экспериментальные результаты хорошо описываются сте­ пенными зависимостями:

= S^'ky (для нечетных

полуциклов k = 2n— l);

S ^ = S ' " q k y (для четных k = 2п),

где q — коэффициент, описывающий циклическую анизотропию свойств.

Различие в зависимостях для четных и нечетных полуциклов дает возмож­ ность описать процесс накопления односторонней деформации. В первом

приближении можно принять S*.1*= 2.

На рис. 18 приведены кривые цикли­ ческого деформирования, построенные по приведенным зависимостям, а также данные эксперимента. Хотя соответст­ вие с экспериментальными данными в этом случае несколько хуже, чем для зависимостей типа (2.13), удобство решения задач циклической пластич­ ности может оправдать использование обобщенного принципа Мазинга для этих целей.

2. Напряженнодеформированное состояние при циклическом упруго­ пластическом деформировании

В главе 1 были рассмотрены реше­ ния упруго-пластических задач об однократном деформировании стерж­ ней, пластин и оболочек, а также произведена приближенная оценка кон­ центрации напряжений. Эти задачи решались применительно к линейной и полигональной аппроксимации диа­ грамм однократного деформирования.

Как показано в работе В. В. Москвитина [8], при циклическом дефор­ мировании могут быть использованы уравнения теории малых упруго-пла­ стических деформаций для случая простого нагружения или близкого

кпростому.

Кривая циклического деформирова­

ния в пределах одного полуцикла, как показано выше, может быть аппрокси­ мирована линейным или полигональ­ ным упрочнением.

Функции пластичности в этом случае: при полигональной аппроксимации

+ В *(Ч ,

при линейной аппроксимации

Эти функции по структуре аналогич­ ны функциям пластичности при одно­ кратном деформировании.

Следовательно, для определения на­ пряженного и деформированного со­ стояния в пределах одного &-го полуцикла могут быть использованы методы решения для однократного деформиро­ вания, изложенные в гл. 1 .

Исключение составляют те случаи, в которых вектор-момент нагрузки периодически изменяется не только по величине, но и по направлению. Тогда возникает сдвиг фаз между усилием и смещением за счет петли упруго-пласти­ ческого циклического деформирования, который отсутствует при однократном нагружении. В соответствии с этим решение для таких случаев не может быть достигнуто на основе решений для однократного деформирования и должно быть получено специально.

Характерным примером может слу­ жить и з г и б в р а щ а ю щ е г о с я с т е р ж н я . В этом случае изгибаю­ щий момент равномерно вращается относительно сечения, создавая эффект сдвига фаз.

Рассмотрим наиболее важный для практики случай изгиба вращающегося вала круглого сечения. Для первых нескольких оборотов стержня харак­ терен неустановившийся процесс де­ формирования, возникающий за счет изменения областей пластичности и упругой области от цикла к циклу нагружения [1].

Установившееся состояние возникает достаточно быстро после нескольких оборотов стержня, и для практических расчетов именно оно представляет наи­ больший интерес. В этом состоянии при неизменном циклическом пределе те­ кучести упругая область сечения пред­ ставляет собой круг, диаметр которого не изменяется с числом циклов нагру­ жения.

Для циклически стабильного мате­ риала параметры, характеризующие деформирование, остаются неизмен­ ными, т. е. имеет место стационарное деформирование. Для материалов упро­ чняющихся и разупрочияющихся уста­ новившееся состояние также, по-види- мому, достигается достаточно быстро, однако нестационарность процесса де­ формирования сохраняется за счет

Рис. 19. Схема распределения дефор­ маций в сечении вращающегося стержня

изменения диаграммы циклического де­ формирования. Ниже рассмотрен уста­ новившийся нестационарный процесс упруго-пластического изгиба вращаю­ щегося стержня. Имея в виду, что период иеустановившегося деформи­ рования весьма мал по сравнению с долговечностью стержня, его влия­ нием на разрушение можно прене­ бречь [2].

На рис. 19 приведена схема распре­ деления деформаций в сечении стерж­ ня, основанная на гипотезе плоских сечений

где и = г sin ф, v = г cos 9 . Деформация точки с ординатой v,

лежащей на радиусе г, равна

а деформация точки, лежащей на том же луче на радиусе R

Максимальная деформация точки, лежащей на радиусе г, достигается на вертикальном диаметре круга.

Если вести отсчет от момента начала разгрузки, как это обычно делается при рассмотрении диаграммы цикличе­ ского деформирования, то можно запн-

причем действующий в сечении изги­ бающий момент равен

м = у Щ Т Щ ,

а угол сдвига между линией нулевых деформаций и вектором момента М

п

Функции / т и Jn получаются после интегрирования выражений в фигур­ ных скобках и проведения соответст­ вующих преобразований, с учетом соотношения e*aXjR = 2е*ахд

M t = J ^ a x R { g ( k) +

_|_ 1— ё№) | arcc0s ( j

:ша xR

0 \ emaxi?/

Сопоставление зависимостей момен­ тов и углов отклонения от макси­ мальной деформации для стабиль­ ной стали 45, упрочняющегося спла­ ва АК.6, разупрочняющейся стали ЗОХГС, полученных экспериментально и найденных теоретически, по при­ веденным выше формулам с учетом того, что

показано на рис. 21. Результаты рас­ чета и данные эксперимента достаточно близки.

Для случая концентрации напряже­ ний могут быть непосредственно исполь­ зованы формулы, приведенные ранее в гл. 1 для коэффициентов концентра­ ции напряжений и деформации и для построения диаграммы циклического деформирования с модулем g (k) для

линейного упрочнения и т (k) для степенного [5].

Зависимости коэффициентов концен­ трации Кг и K s от числа полуциклов нагружения для различных_ уровней

поминальных напряжений ап пока­ заны на рис. 22. Теоретический коэф­ фициент концентрации напряжений аа

равен '3. Расчет коэффициентов Ks и K R проводился для циклически разупрочняющейся теплоустойчивости ста­ ли с учетом зависимости параметра циклического разупрочнения р от де­

формации нулевого полуцикла

С накоплением числа полуциклов силь­ нее изменяется коэффициент концент-