Звенья первого порядка

Апериодическое (инерционное) звено 1 порядка.

Дифференциальное уравнение имеет вид: .

Получим передаточную функцию: .

.

Величины исоответственно называются коэффициентом усиления и постоянной времени апериодического звена.

Коэффициент характеризует уровень изменения выходного сигнала, постоянная времени характеризует инерционные свойства системы, т.е. как быстро система отрабатывает поступившее воздействие.

Примеры апериодических звеньев представлены на рис. 14.

Рис. 14. Примеры апериодических звеньев: а — электрический RC-фильтр; б — резервуар со сжатым газом;

в — процесс закалки детали в жидкости.

По известным формулам или таблице оригиналов ми изображений получим зависимости, определяющие импульсную переходную функцию и переходную характеристику: (рис.15).

(рис.16).

.

Рис.15 ИПФ Рис. 16. Переходная характеристика

апериодического звена апериодического звена

Преобразование Лапласа при ненулевых начальных условиях имеет вид: ;

Изображение выходного сигнала:.

Оригинал выходного сигнала: .

Найдем частотные характеристики. Представим функцию в виде действительной и мнимой частотных характеристик:

В теории управления часто используется метод качественного построения частотных характеристик по контрольным точкам. Вычислим контрольные точки для ДЧХ

;

Рис.17а Действительная частотная характеристика апериодического звена

.

Рис.17б Действительная частотная характеристика апериодического звена

По полученным контрольным точкам функций илегко построить годограф функции или амплитудно-фазочастотную характеристику. (рис.17в).

Рис. 17в. АФЧХ апериодического звена.

Определим амплитудную частотную характеристику:

, тогда

.

ФЧХ определяется формулой .

.

Графики иизображены на рис.18.

Рис. 18. АЧХ и ФЧХ апериодического звена

ЛАЧХ определятся формулой: .

Для построения логарифмической характеристики рассмотрим три интервала частоты:

1. , тогда.

На частотах ЛАЧХ представляет собой прямую, параллельную оси абсцисс.

2. , тогда.

ЛАЧХ представляет собой прямую с наклоном -20 дб/дек (рис.19).

Рис. 19. Приближенная (асимптотическая) ЛАЧХ апериодического звена

Рис. 20. ЛАЧХ и ЛФЧХ апериодического звена

3. ,где .

На частоте сопряжения точная ЛАЧХ будет меньше на три дб.

Дифференцирующее звено первого порядка (форсирующее).

Дифференциальное уравнение имеет вид: .

Получим передаточную функцию: .

.

Величины исоответственно называются коэффициентом усиления и постоянной времени форсирующего звена.

;

Частотные характеристики:

.

Рис.21 ЛАЧХ и ЛФЧХ дифференцирующего звена

Звенья второго порядка

Колебательное звено. Имеем уравнение .

Примеры звеньев приведены на рис. 22.

Рис. 22. Примеры колебательных звеньев: а - RLC-колебательный контур; б - механическая система (- масса,- коэффициент упругости пружины,- коэффициент демпфирования)

Найдем ПФ. Имеем

Тогда

где или(при).

Параметры иназываются коэффициентом усиления, постоянной времени и коэффициентом демпфирования (колебательности) колебательного звена соответственно.

При различных значениях имеют место следующие звенья:

• —консервативное или вырожденное колебательное (корни чисто мнимые);

• —апериодическое 2-го порядка (корни вещественные);

• —колебательное корни комплексно-сопряжённые).

Рассмотрим колебательное звено.

Найдём корни характеристического уравнения .

, где .

Вещественная часть корня представляет собой коэффициент затухания переходного процесса; мнимая часть корня – частоту колебаний переходного процесса.

Для получения временных характеристик можно воспользоваться таблицей оригиналов и изображений или соответствующей аналитической формулой.

Воспользуемся табличным изображением убывающей синусоиды:

.

Запишем передаточную функцию колебательного звена в следующем виде:

.

Запишем выражение для ИПФ колебательного звена (рис. 23).

.

Перед построением ИПФ определим начальные и конечные значения:

.

Рис. 23. ИПФ колебательного звена ()

Частота называется частотой собственных колебаний звена.

Определим переходную функцию колебательного звена с использованием корней характеристического полинома (рис. 24).

или параметры звена

.

Перед построением переходной функции определим начальные и конечные значения: .

Рис. 24. Переходная характеристика колебательного звена

Перейдем к рассмотрению частотных характеристик.

.

Определим значения функции в контрольных точках и построим график (рис. 25а).

, .

Рис.25а Действительная частотная характеристика колебательного звена

Определим значения функции в контрольных точках и построим график (рис. 25б).

, .

Рис.25б Действительная частотная характеристика колебательного звена

Рис. 25в. АФЧХ колебательного звена.

Определим значение АЧХ в контрольных точках: .

Амплитудная характеристика плавно уменьшается, если . Если, то на амплитудной характеристике появляется резонансный «горб».

Частота, при которой амплитудная характеристика достигает максимального значения, называется резонансной и определяется формулой

.

Частота как в случае апериодического звена, так и в случае колебательного звена называетсясопрягающей частотой.

ФЧХ имеет вид

Определим значение ФЧХ в контрольных точках:

Графики иизображены на рис. 26.

Рис. 26. АЧХ и ФЧХ колебательного звена.

Построим асимптотическую ЛАЧХ:

1. Пусть , тогда.

2. Если, то имеем.

3. Если, то имеем.

Асимптотическая ЛАЧХ при представляет собой прямую с наклоном

- 40дб/дек. Эта ЛАЧХ представлена на рис. 27.

Рис. 27. Асимптотическая ЛАЧХ и ЛФЧХ колебательного звена

Рис. 28.ЛАЧХ и ЛФЧХ колебательного звена при различных значениях

Рассматривая колебательное звено в общем виде, получаем в качестве частных случаев ещё 2 типовых звена: консервативное и апериодическое второго порядка.

.

Есть звенья, которые традиционно относятся к типовым и указываются в таблицах, но при этом они не являются простейшими. К ним относятся:

-интегрирующее с замедлением или инерционное интегрирующее;

-дифференцирующее с замедлением (инерционное дифференцирующее);

- интегро- дифференцирующее, если , то звено ближе к интегрирующему; если, то звено ближе к дифференцирующему.