1147

нагружения по лучевым траекториям деформации (двумерный вари-

тах). Опыты на двухосное растяжение-сжатие осуществлялись при

дятся в удовлетворительном соответствии. Рассмотрена также активация систем скольжения и накопленный на них сдвиг; для варианта

121

Таблица 2

Эволюционные уравнения для различных моделей

В экспериментах на растяжение–сдвиг использовались оба закона упрочнения – Тейлора и деформационного ( hkl = qh = 0,0 ). Здесь отме-

чается существенное отличие результатов, полученных, с одной стороны, с помощью моделей EB и GC, с другой – LA и DM; в двух последних при напряжениях σ11 ≈ 21 МПа и 35 МПа соответственно резко

активизировались вторичные СС. Данное обстоятельство связано с тем, что в моделях LA и DM учтен разворот кристаллической решетки, что отсутствует в моделях EB и GC. Для проверки этой гипотезы были проведены расчеты с использованием модели DM, в которой были отключены повороты; результаты оказались близки к результатам моделей EB и GC. Сопоставлялись также накопленные сдвиги, результаты аналогичны: близость данных по моделям EB и GC и их резкое отличие от полученных с помощью моделей LA и DM. Отмечается также, что возможным источником различия результатов являются использованные в моделях различные схемы решения нелинейных уравнений, основанные на методе Ньютона–Рафсона; исследованию данного вопроса авторы собираются посвятить будущие работы.

Аналогичное сопоставление осуществлено для всех пяти программ нагружения при использовании упругопластических моделей

ектории нагружения σ11 −σ22 оказываются близкими; кроме того, обнаруживается их малое отличие от траекторий, полученных с помощью вязкопластических моделей LA и GC. Для варианта ε11 / ε22 = 5,33 приведены результаты расчета суммарной скорости сдвигов как функции напряжения σ11 и времени. Для обеих моделей при σ11 ≈ 270 МПа

и 285 МПа наблюдаются осцилляции суммарной скорости сдвига, что авторы связывают с неустойчивостью алгоритма в окрестности точек активизации вторичных СС. Проведено также сопоставление номеров четырех первичных и вторичных активируемых систем скольжения и накопленных сдвигов на них; за исключением нагружения по траектории ε11 / ε22 = −0,95 , где в модели GC не активировалась ни одна из

мент активизации вторичных СС значения 0). Аналогичное удовлетворительное соответствие получено для программ нагружения растяже- ние-сдвиг.

К сожалению, авторы не обсуждают, каким образом в упругопластической модели по предписанной деформации могут быть определены сдвиги в восьми системах скольжения. В плоском случае, анализируемом в данной работе, возможно одновременное определение не более трех скоростей сдвигов (даже при работе с полными напряжениями), в объемном – не более шести. Возможно, в статье речь идет о СС, активированных в течение всей истории нагружения.

В работе [25] рассматривается прямая упруговязкопластическая модель, для реализации которой использован конечно-элементный пакет LS-DYNA/Explicit. На мезоуровне применен (анизотропный) закон Гука в скоростной релаксационной форме; в качестве меры скорости изменения напряжений принята коротационная производная тензора Кирхгофа, спин решетки равен разности тензора вихря и антисимметричной части тензора скоростей сдвига. Скорость сдвигов определяется степенным законом, использован анизотропный закон упрочнения. Для интегрирования соотношений модели принята явная схема Эйлера; показана ее высокая эффективность и приемлемая точность в сравнении со схемой Рунге–Кутта второго порядка. Модель применена для представительного объема (275 зерен, сетка 123×28×3) поликристаллического алюминиевого сплава (ГЦК-решетка). Для построения зеренной микроструктуры (размеры, форма, ориентация зерен) использованы данные электронной микроскопии. Анализируется влияние на характер деформирования и эволюцию текстуры скорости деформации (300, 1000, 3000 с–1), траектории деформации (простой сдвиг, растяжение с последующим простым сдвигом, одновременное растяжение и сдвиг) и учета термического разупрочнения (за счет тепловых источников от пластической деформации). Результаты расчетов демонстрируют наибольшее влияние на распределение деформаций и эволюцию текстуры траектории деформации; отмечается также, что повороты зерен существенно зависят от начальной ориентации решетки относительно осей нагружения.

В статье [29] представлено детальное изложение самосогласованной упруговязкопластической модели, в которой учтены как деформирование скольжением дислокаций, так и двойникованием. При-

124

нято мультипликативное разложение градиента места, для описания поворота решетки применен так называемый материальный поворот (ортогональный тензор, входящий в полярное разложение упругой составляющей градиента места). На уровне кристаллита использован (анизотропный) закон Гука в скоростной релаксационной форме; в качестве скорости меры напряженного состояния принята коротационная производная, ассоциированная с материальным спином. Скорость вязкопластической составляющей деформации скорости определяется степенным законом; учитывается деформационное и латентное упрочнение по системам скольжения и двойникования. На нескольких тестовых примерах (одноосное растяжение, простой сдвиг, стесненная осадка, растяжение с последующей стесненной осадкой) показана близость результатов расчета по предлагаемой модели и вязкопластической самосогласованной (без учета упругих деформаций) модели при больших деформациях. В то же время отмечается, что предлагаемая модель позволяет описать процесс разгрузки и плавного перехода к следующему этапу нагружения, тогда как вязкопластическая модель дает разрывное решение.

В примыкающей к предыдущей работе [28] приведены результаты применения предложенной модели для анализа растяжения-сжатия по различным направлениям образцов, вырезаемых из листовой катаной заготовки из магниевого сплава AZ31B. Экспериментальные данные, полученные на части образцов, используются для идентификации, другая часть применена для верификации модели. Приведены результаты расчета кривых напряжение-деформация и текстуры, показано удовлетворительное соответствие теоретических и экспериментальных данных. Особое внимание уделяется сопоставлению результатов, полученных с помощью различных схем линеаризации, используемых в самосогласованной модели.

Одним из недостатков моделей поликристаллов, основанных на физических теориях, является необходимость рассмотрения большого количества (сотни и тысячи) зерен со своими ориентациями, что требует существенных затрат процессорного времени. Один из возможных вариантов уменьшения вычислительных затрат – модель «текстурных компонент» – представлен в статье [10]. Под текстурным компонентом понимается ориентация кристаллической решетки, для которой функция распределения ориентаций (ФРО) имеет локальный

125

максимум. Вместо расчетов для большого числа зерен рассматривается несколько (в данной работе – 5, четыре из которых соответствуют указанным локальным максимумам ФРО, пятый характеризует распределение остальных ориентаций) элементов («псевдозерен»). Для каждого из псевдозерен используется модель упруговязкопластичности со степенным законом течения и изотропным законом упрочнения. Для аппроксимации ФРО вблизи текстурных компонент принят закон распределения Мизеса–Фишера. Вычисления искомых параметров (скоростей пластических деформаций и напряжений) осуществляются далее для текстурных компонентов, после чего осуществляется ориентационное осреднение параметров с локальными ФРО. На двух примерах для ГЦК-поликристаллов показано удовлетворительное соответствие результатов, полученных с помощью предлагаемой модели (5 элементов) и модели Тейлора (1000 зерен).

Работа [19] посвящена сопоставлению стандартной модели упруговязкопластичности (степенной закон для скорости сдвигов) с феноменологическим анизотропным законом упрочнения и аналогичной модели, в которой критические напряжения устанавливаются на основе рассмотрения взаимодействия дислокаций активных систем скольжения с дислокациями леса (модель Орована). Подробно описана процедура идентификации моделей, для чего использованы результаты экспериментов по одноосному нагружению монокристаллов (меди с ГЦК- и железа с ОЦК-решеткой), ориентированных на одиночное или множественное скольжение. Для верификации применены те же одноосные испытания, но с другой ориентацией оси нагружения. Показано, что результаты расчета по модифицированной модели лучше согласуются с экспериментальными данными, чем полученные по стандартной модели. Обе модели использованы также в прямой модели поликристаллического агрегата (1000 конечных элементов, каждое зерно описывалось одним конечным элементом). Отмечается отличие кривых напряжение–деформация при одноосном растяжении и сжатии; в то же время построенные прямые полюсные фигуры для 50 % деформации практически не отличаются.

Модификация упруговязкопластической модели, учитывающая поврежденность материала, предложена в [24]. Классическое мультипликативное разложение градиента места дополнено градиентом места, отвечающим за порообразование и переводящим пластически дефор-

126

мированную конфигурацию в разгруженную. Приведены кинетические уравнения, описывающие эволюцию пор, связанную с наличием начальных пор, образованием пор от включений вторичной фазы и коалесценцией. Скорости сдвигов по СС определяются степенным законом; использован гиперупругий закон, связывающий тензор деформаций Коши–Грина и второй тензор Пиола–Кирхгоффа, определенные в разгруженной конфигурации. Для случая одноосного нагружения проанализировано влияние ориентации монокристаллических зерен на процесс накопления поврежденности и кривые напряжение– деформация. Для поликристаллического агрегата меры напряженного и деформированного состояния определяются осреднением по объему; сопоставление кривых σ–ε при растяжении поликристаллического образца для трех алюминиевых сплавов обнаруживает хорошее соответствие с экспериментальными данными.

Результаты применения упруговязкопластической модели для анализа особенностей деформирования двухфазного сплава (титан + алюминий) содержатся в статье [20]. Подробно рассмотрены физические механизмы деформирования и упрочнения двухфазного сплава, основной объем которого составляет α-фаза с ГПУ-решеткой, остальная часть имеет слоистую структуру из α+β-фаз (β-фаза – кристаллиты с ОЦК-решеткой). Анализируется деформирование представительного объема поликристаллического агрегата; для решения на макроуровне использован пакет ABAQUS. Особое внимание уделяется идентификации физической модели, для чего авторы осуществили три серии численных экспериментов.

Упруговязкопластическая модель для описания деформирования поликристаллического циркония при различных температурах (76–450 К) описана в статье [9]. Наряду со сдвиговыми модами, реализующимися по различным СС ГПУ-решетки (базовой, призматическим и пирамидальным), в модели учитывается двойникование. Полагается, что каждое зерно представляет собой композит, состоящий из эллипсоидальных включений двойников и такой же формы прослоек матрицы. Каждая из фаз анализируется с применением самосогласованной упруговязкопластической модели. Для учета влияния температуры используется закон аррениусовского типа. Детально рассмотрена модель для анализа генерации и эволюции дислокаций, включая взаимодействие дислокаций различных СС. Законы упрочнения по различным механизмам записаны в терминах плотностей дислокаций и характерных

127

масштабов двойниковой структуры. Особое внимание уделено рассмотрению взаимодействия механизмов за счет скольжения дислокаций и двойникования.

Результаты, полученные с применением упруговязкопластической модели тейлоровского типа, для коммерчески и высокой степени чистоты α-титана (ГПУ-решетка), представлены в статье [30]. Неупругая составляющая градиента скорости перемещений принимается равной сумме скоростей сдвига и двойникования, умноженных на соответствующие ориентационные тензоры. Величина скоростей сдвига по каждой СС определяется степенным законом; скорость сдвига по системам двойникования определяется произведением фиксированного сдвига двойника и скорости изменения объемной доли двойников каждой ориентации, последняя также определяется степенным законом. При достижении критической объемной доли двойников (в цитируемой работе – 0,4) предполагается, что зерно испытывает фрагментацию с образованием нескольких «потомков», сохраняющих параметры достигнутого упрочнения, но отличающихся ориентациями, определяемыми ротациями решетки при двойниковании. Разориентированные фрагменты в дальнейшем рассматриваются как отдельные зерна.

Описаны методика экспериментов для определения полюсных фигур (включая установление начальной текстуры) и идентификации модели, приведен состав используемых материалов. В качестве образцов использовался листовой материал после глубокой прокатки и термообработки. Для идентификации и верификации модели проводилась серия испытаний по осадке образцов в трех взаимно-перпендикуляр- ных направлениях (в направлении прокатки, поперечном и по направлению нормали к плоскости листа). Показано хорошее соответствие результатов расчета кривой σ–ε с экспериментальными данными по осадке в направлении прокатки, не использованными на стадии идентификации. Сравнение теоретически полученных полюсных фигур и соответствующих экспериментальных данных также обнаруживает удовлетворительное соответствие.

Библиографический список

1. Поздеев А.А., Трусов П.В., Няшин Ю.И. Большие упругопластические деформации: теория, алгоритмы, приложения. – М.: Наука, 1986. – 232 с.

128

2.Трусов П.В., Волегов П.С. Физические теории пластичности: теория и приложения к описанию неупругого деформирования материалов. Ч. 1: Жесткопластические и упругопластические модели// Вестник ПГТУ. Механика. – Пермь: Изд-во Перм. гос. техн. ун-та, 2011. – № 1. – С. 5–45.

3.Anand L., Kothari M. A computational procedure for rate– independent crystal plasticity // J. of the Mechanics and Physics of Solids. – 1996.– Vol. 44, No. 4.– P. 525–558.

4.Asaro R.J. Micromechanics of crystals and polycrystals // Advances in Applied Mechanics. – 1983. – Vol. 23. – Р. 1–115.

5.Asaro R.J., Needleman A. Texture development and strain hardening in rate dependent polycrystals // Acta Metall. – 1985. – Vol. 33, No. 6 – P. 923–953.

6.Plastic flow for non-monotonic loading conditions of an aluminum alloy sheet sample / F. Barlat, J.M. Ferreira Duarte, J.J. Gracio, A.B. Lopes, E.F. Rauch // Int. J. Plasticity. – 2003. – Vol. 19 – Р. 1215–1244.

7.Batra R.C., Zhu Z.G. Effect of loading direction and initial imperfections on the development of dynamic shear bands in a FCC single crystal // Acta Mechanica. – 1995. – Vol. 113, No. 1–4. – P. 185–203.

8.Beyerlein I.J., Lebensohn R.A., Tome C.N. Modeling texture and microstructural evolution in the equal channel angular extrusion process// Mater. Sci. and Eng. – 2003. – Vol. A345. – Р. 122–138.

9.Beyerlein I.J., Tome C.N. A dislocation-based constitutive law for pure Zr including temperature effects // Int. J. Plasticity. – 2008. – Vol. 24. – Р. 867–895.

10.Bőhlke T., Risy G., Bertram A. A texture component model for anisotropic polycrystal plasticity // Comput. Mater. Sci. – 2005. – Vol. 32. – Р. 284–293.

11.Busso E.P., Cailletaud G. On the selection of active slip systems in crystal plasticity // Int. J. Plasticity. – 2005. – Vol. 21. – P. 2212–2231.

12.Follansbee P.S., Kocks U.F. A constitutive description of copper based on the use of the mechanical threshold stress as an Internal State Variable // Acta Metall. – 1988. – Vol. 36. – P. 81–93.

13.Harren S.V., Asaro R.J. Nonuniform deformations in polycrystals and aspects of the validity of the Taylor model // J. Mech. Phys. Solids. – 1989. – Vol. 37, No. 2. – P. 191–232.

129

14.Horstemeyer M.F., Potirniche G.P., Marin E.B. Crystal plasticity// In Handbook of Materials Modeling. S. Yip (ed.) – Springer: Netherlands. – 2005. – Р. 1133–1149.

15.Hutchinson J.W. Bounds and self-consistent estimates for creep of polycrystalline materials // Proc.R. Soc. Lond. – 1976. – 348 (A). – Р. 101–127.

16.Kalidindi S.R., Bronkhorst C.A., Anand L. Crystallographic texture evolution in bulk deformation processing of FCC metals// J. Mech. Phys. Solids. – 1992. – Vol. 40, No. 3. – P. 537–569.

17.Kok S., Beaudoin A.J., Tortorelli D.A. A polycrystal plasticity model based on the mechanical threshold // Int. J. Plasticity. – 2002. – Vol. 18. – P. 715–741.

18.Kratochvil J. A theory of non-proportional cyclic plasticity based on micromechanical approach // Proc. of IMMM-93. Int. Sem. on Microstruct. and Mech. Properties of New Engineering Mater. – Mie Academic Press. – 1993. – P. 89–94.

19.A dislocation density-based single crystal constitutive / M.G. Lee, H. Lim, B.L. Adams, J.P. Hirth, R.H. Wagoner // Int. J. Plasticity. – 2010. – Vol. 26. – Р. 925–938.

20.Mayeur J.R., McDowell D.L. A three-dimensional crystal plasticity model for duplex Ti–6Al–4V // Int. J. Plasticity. – 2007. – Vol. 23. – Р. 1457–1485.

21.Miehe C., Rosato D. Fast texture updates in fcc polycrystal plasticity based on a linear active-set-estimate of the lattice spin // J. Mech. Phys – 2007. – Vol. 55. – P. 2687–2716.

22.Neale K. W. Use of Crystal Plasticity in Metal Forming Simulations // Int. J. Mech. Sci. – 1993. – Vol. 35(12). – Р. 1053–1063.

23.Pan J., Rice J.R. Rate sensitivity of plastic flow and implications for yield-surface vertices // Int. J. Solids Struc. – 1983. – Vol. 19. – P. 973–987.

24.Potirniche G.P., Horstemeyer M.F., Ling X.W. An internal state variable damage model in crystal plasticity // Mechanics of Materials. – 2007. – Vol. 39. – Р. 941–952.

25.A new crystal plasticity scheme for explicit time integration codes to simulate deformation in 3D microstructures: Effects of strain path, strain rate and thermal softening on localized deformation in the aluminum alloy 5754 during simple shear / J. Rossiter, A. Brahme, M.H. Simha, K. Inal, R. Mishra // Int. J. Plasticity. – 2010. – doi:10.1016/j.ijplas.2010.02.007.

130