1147

Следует отметить, что обе составляющие De и We содержат скорости упругих искажений решетки и вращения тела как целого, тогда как Wр описывает скорость вращения решетки за счет пластических сдвигов («полностью стесненная модель Тейлора»).

Введем меру Коши–Грина G* и тензор деформаций Коши–Грина C* при использовании в качестве отсчетной конфигурации К* (в анализируемой статье последний назван «решеточным тензором Грина):

где g – метрический (единичный) тензор, gˆij – его компоненты в базисе

актуальной конфигурации. Используя (21)1, (23) и (25), нетрудно показать, что справедлива следующая связь:

которая потребуется в дальнейшем.

В геометрически нелинейной теории пластичности наряду с тензором напряжений Коши σ часто используется тензор напряжений

o

ρ, ρˆ – плотность в отсчетной и актуальной конфигурации соответственно. Заметим, что свертки K : D и σ: D определяют мощность напряжений на единицу объема соответственно в отсчетной и актуальной конфигурациях.

В работе полагается, что свободная энергия (Гельмгольца) φ не зависит от пластических сдвигов и является функцией только С*. Мощность работы напряжений определяется соотношением

111

k

где K (k ) = K : MS(k ) – сдвиговое напряжение на k-й системе скольжения.

Первый член правой части характеризует скорость изменения свободной энергии Гельмгольца и может быть выражен через φ как

∂φ∂C :C& , тогда с учетом (26) можно записать:

Заметим, что если известно выражение свободной энергии φ как функции С*, то (29) можно трактовать как закон гиперупругости (закон Гука с заменой линейной меры деформаций на нелинейную).

Дифференцируя (29) по времени и подставляя в (30), используя (26)2, получаем

В цитируемой статье первый член правой части представляется в виде

F F ∂∂2φ2 F T F T : De ,C

т.е., по сути, осуществляется переход к гипоупругому закону. К сожалению, авторам не удалось доказать правомочность такого перехода, вероятно, он не корректен (возможно, использовалось известное в тензорном анализе «цепное правило», справедливое только для сверток тензоров второго ранга, тогда как в данном соотношении фигурирует тензор четвертого ранга). Заметим, что запись первого члена правой

112

части (31) в компонентах не меняет закона гипоупругости, имеет место просто усложнение записи.

В дальнейшем, заменяя в (30) Wе = W–Wр и переходя к коротационной производной K r , ассоциированной с тензором (материального) вихря W, определяющее соотношение можно преобразовать к виду

k

Наконец, заменяя Dе = D – Dр, а Dр выражая через скорости сдвигов, получаем ОС упруговязкопластичности, связывающее коротационную производную K r с тензором полной деформации скорости и скоростями сдвигов. Теперь, для того чтобы применить полученные ОС для решения конкретных задач, следует определить закон для скоростей сдвигов, в качестве которого используется вязкопластический закон (степенная зависимость скорости сдвига от сдвигового напряжения на каждой СС):

где а(k) – так называемая «отсчетная скорость» (сдвига) (нетрудно видеть, что она равна скорости сдвига при K (k ) = g(k ) ); g(k ) – функция

упрочнения, определяющая зависимость критического напряжения от суммарного сдвига, накопленного на всех системах скольжения; m – показатель скоростной чувствительности монокристалла. Из (33) следует однозначная определенность скорости сдвига по любой СС, причем скорость сдвига будет отличной от нулевой при любом отличном

в общем случае Hij полагаются функциями накопленных сдвигов; следуя более ранним работам Хатчинсона, Азаро и др., в рассматриваемой статье используем следующее соотношение для коэффициентов матрицы упрочнения:

где Q характеризует отношение скорости латентного упрочнения к скорости активного упрочнения, Н – константа материала. Для ГЦКкристаллов в работе предлагается разделить 12 кристаллографических систем на 4 множества компланарных систем (по 3 в каждом множестве); в случае принадлежности СС одному и тому же множеству Q=1,0, если же индексы k и j относятся к СС из разных множеств, то в численных экспериментах для Q принимались значения либо 1,0, либо 1,4.

Подробно рассмотрена процедура численного решения. Исследовалось поведение поликристаллической меди (закон распределения начальной ориентации зерен – равномерный) при растяжении и сжатии в условиях осевой симметрии и плоско-деформированного состояния. Использовались смешанные граничные условия, объемными силами пренебрегалось, принята гипотеза Фойгта; в качестве процедуры определения осредненных напряжений для представительного объема поликристалла принято осреднение по объему. Приведены результаты расчета развития текстуры, отмечается существенное влияние на её эволюцию параметра латентного упрочнения Q.

Представлены расчетные кривые «интенсивность напряжений – интенсивность деформаций» для различных значений параметра латентного упрочнения. Отмечается достаточно быстрый (при εи ≈ 0,1)

выход упрочнения на уровень насыщения; дальнейший рост интенсивности напряжений при больших деформациях ( εи ≥ 0,4 ) связывается с

формированием текстуры («геометрическое упрочнение»).

Для случая комбинированного нагружения (растяжение-сжатие с одновременным сдвигом) при различных предварительных деформациях растяжения и сжатия построены условные «поверхности текучести» с различным допуском на неупругие деформации. Из полученных расчетных кривых видно, что предлагаемая модель качественно описывает образование «носика» на «поверхности текучести» в направлении нагружения, уплощение тыльной части поверхности, эффект Баушингера.

114

кой» области, τ(ck ) – критическое напряжение сдвига в «жесткой» об-

ласти, τ((S)k ) , τ((H)k ) – сдвиговые напряжения в k-й СС, n – показатель скоростной чувствительности. Для критического напряжения сдвига в «жесткой» области τ(ck ) предлагается эволюционное уравнение, учиты-

вающее активное и латентное упрочнение за счет сдвигов в обеих областях и возможное разупрочнение за счет сдвигов в «мягкой» зоне.

Предложенная модель была использована для анализа поведения монокристаллов при непропорциональном циклическом нагружении (траектории деформирования – круговые, в виде квадрата, 8-лучевой звезды), отмечается удовлетворительное качественное соответствие экспериментальным данным.

Встатье [16] рассматривается вариант упруговязкопластической модели, базирующийся на упомянутой выше модели [5]. Основное отличие заключается в использовании вместо гипоупругого ОС гиперупругого закона, в качестве меры деформации в котором принят аналог тензора Коши–Грина, а в качестве меры напряженного состояния – аналог второго тензора Пиола–Кирхгоффа, определенные в базисе разгруженной конфигурации.

Вработе [7] рассматривается вариант упруговязкопластической модели со степенным законом течения вида (33) и комбинированным (изотропным и кинематическим) законом упрочнения. Используется аддитивное разложение тензоров деформации скорости и вихря на упругую и неупругую составляющие:

неупругие деформации осуществляются сдвигом (в силу чего изохоричны); неупругие составляющие в (37) определяются соотношениями (19) (т.е. для неупругих ротаций принимается полностью стесненная модель Тейлора). Полагается, что скорость ротации решетки определяется упругим спином We. В качестве ОС для упругой составляющей принимается изотропный закон Гука в скоростной форме; в качестве меры скорости напряжений используется производная яуманновского типа тензора напряжений Коши

σJ = σ& + σ We − We σ.

116

Предложенная модель встроена в конечно-элементную программу и использована для анализа образования полос сдвига в монокри-

сталле при высокоскоростном деформировании (скорость деформации

103 с–1).

В последние годы физические теории пластичности все шире применяются для решения реальных прикладных задач МДТТ. В работе [8] вязкопластическая самосогласованная модель использована для анализа процесса равноканального углового прессования (РКУ). В качестве представительного объема макроуровня рассматривается совокупность 500 зерен, которая в каждом проходе подвергается однородной сдвиговой деформации, определяемой углом излома канала. Материал – поликристаллический алюминий, начальные ориентации зерен полагаются случайными, распределенными по равномерному закону. Каждое зерно эллипсоидальной формы, окруженное матрицей с эффективными характеристиками, описывается вязкопластической моделью. Предложена простая геометрическая модель дробления зерен, согласно которой в зависимости от отношения длин большой оси к наименьшей и средней к наименьшей зерно дробится на две или четыре одинаковые части. Ориентация после дробления сохраняется. Приведены результаты расчета напряженно-деформированного состояния, полюсные фигуры, распределение размеров зерен по проходам. Отмечается удовлетворительное соответствие полученных результатов экспериментальным данным.

Детальное изложение модели пластичности монокристалла содержится в работе [11]. Приведен общий вид условия текучести на СС:

функция f (k) описывает вязкопластическое сопротивление сдвигу (для пластичности, не зависящей от скорости деформации, она тождествен-

но равна нулю), θ – абсолютная температура, r(k ) , τ(ck ) , ρ(k ) – внутрен-

ние переменные, характеризующие вязкостное (в цитируемой статье данная составляющая называется «сопротивлением множественному скольжению», что связано с реализацией в вязкопластической модели сдвигов одновременно по всем СС), квазистатическое и кинематиче-

r(k ) , τ(ck ) , ρ(k ) эволюционные феноменологические уравнения в общем виде записываются следующим образом:

нения за счет взаимодействия дислокаций на сопряженных СС. Формулировка конститутивной модели основана на термодина-

мическом подходе. Прежде всего, авторы вводят сопряженные параметрам r(k ) , τ(ck ) , ρ(k ) термодинамические переменные состояния

R(k ) ,Τ(k ) , Ρ(k ) . Функция свободной энергии (Гельмгольца) представляется суммой «упругой» и «неупругой» составляющих, ψ= ψe + ψi .

«Упругая» составляющая зависит от тензора упругих деформаций и температуры, по ней из неравенства Клаузиуса–Дюгема определяется тензор напряжений Коши. «Неупругая» составляющая связана с внутренними переменными, определенными в СС, в связи с чем предлагается следующее представление:

где ρ0 –плотность материала, ψ(Rk ) , ψΤ(k ) , ψ(Ρk ) – составляющие свободной энергии на k-й СС, являющиеся явными функциями соответствующих термодинамических параметров состояния R(k ) ,Τ(k ) , Ρ(k ) . Из неравенства Клаузиуса–Дюгема с учетом независимости термодинамических параметров состояния R(k ) ,Τ(k ) , Ρ(k ) непосредственно следует общий вид эволюционных уравнений для r(k ) , τ(ck ) , ρ(k ) :

сопротивления приводит к повышению запасенной упругой энергии, реализуемой при разгрузке.

Приведенная формулировка модели, обозначаемая как ЕВ-модель (E. Busso), далее сопоставляется с другими известными соотношениями пластичности монокристаллов. В рассмотрение включены модели

G. Calletaud и L. Meric e.a. (обозначенные как GC), L. Anand (LA) с соав-

торами, D. McDowell&R. McGinty (DM). Все указанные модели относятся к классу вязкопластических, однако в рамках моделей GC и LA рассматриваются также варианты с исключением вязких членов. В табл. 1 и 2 приведена достаточно полная информация обо всех соотношениях анализируемых моделей. В табл. 1 приведены функции, описывающие вязкопластичность, выражения составляющих свободной энергии, соотношения для сопряженных термодинамических переменных, характеризующих различные виды упрочнения. Табл. 2 содержит сведения об эволюционных уравнениях для критического напряжения сдвига, вязкого сопротивления и остаточных микронапряжений.

Реализация всех рассматриваемых моделей осуществлялась с использованием МКЭ и неявной схемы интегрирования по времени. Сопоставление результатов расчета осуществлено для ГЦК-монокрис- таллов. Идентификация параметров модели проводилась для случая одноосного нагружения по направлению 100 при квазистатическом

нагружении и использовании закона упрочнения Тейлора. Калибровка проводилась таким образом, чтобы влияние вязкостных членов в интервале скоростей деформации 10–1–10–3 с–1было весьма малым. Во всех моделях при калибровке пренебрегалось кинематическим упрочнением (т.е. ρ&k = 0 ). Все коэффициенты моделей сведены в табл. 3.

Результаты расчета кривой σ−ε при растяжении ГЦК-монокрис- талла в направлении [100] при скорости деформации 10–3 с–1 для всех четырех вязкопластических моделей обнаруживают удовлетворительное соответствие.

Далее анализируются результаты расчетов с использованием указанных вязкопластических моделей при двухосном деформировании монокристаллов. Кристаллографическое направление [100] совпадает во всех численных экспериментах с осью Х1. Для реализации моделей используется МКЭ (пакет Zebulon) с элементами, допускающими независимое задание нормальных и сдвиговых деформаций. Исследовались

120