1147

УДК 539.3

П.В. Трусов, П.С. Волегов

Пермский государственный технический университет

ФИЗИЧЕСКИЕ ТЕОРИИ ПЛАСТИЧНОСТИ: ТЕОРИЯ И ПРИЛОЖЕНИЯ К ОПИСАНИЮ НЕУПРУГОГО

ДЕФОРМИРОВАНИЯ МАТЕРИАЛОВ. Ч. 2: ВЯЗКОПЛАСТИЧЕСКИЕ

И УПРУГОВЯЗКОПЛАСТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ

Приводится обзор широкого класса теорий пластичности, получивших название физических теорий пластичности (в иностранной литературе – crystal plasticity theories), в основе формулировок определяющих соотношений, гипотез и основных положений которых лежит рассмотрение в явной форме механизмов деформирования на мезо- и микромасштабах. Вторая часть обзора посвящена рассмотрению ключевых особенностей физических теорий вязкого типа – вязкопластических и упруговязкопластических, а также их модификаций. Особое внимание уделено «тонким местам» приводимых теорий, их критическому анализу и способам решения проблем, возникающих при их использовании для описания процессов неупругого деформирования материалов.

Ключевые слова: обзор, физические теории пластичности, вязкопластичность, упруговязкопластичность, упрочнение.

Вязкопластические модели

Наряду с жесткопластическими и упругопластическими моделями [2] физической теории пластичности интенсивно разрабатываются и вязкопластические модели, роль которых особенно велика при рассмотрении процессов неупругого деформирования при повышенных температурах и медленных нагружениях, поскольку, как известно, движение дислокаций (особенно – неконсервативное) – процесс термически активируемый.

В работе [17] рассматривается вязкопластическая модель, учитывающая влияние температуры, основанная на континуальной модели «механического порогового напряжения» (MTS – mechanical threshold stress), предложенной Фоллансби и Куксом [12]. Последняя представляет собой изотропную «скалярную» (одноосную) модель для предсказания напряжения течения в зависимости от скорости деформации,

101

температуры и текущего состояния, описываемого параметром состояния, называемым механическим порогом. В первой части работы рассматривается так называемая «стандартная вязкопластическая модель Тейлора» (Standard rate dependent Taylor model). В ней используется «же-

сткопластическое» мультипликативное разложение градиента места F:

Составляющая Fр переводит отсчетную конфигурацию К0 в промежуточную K* при отсутствии поворота (ориентация кристаллической решетки остается неизменной), а ротация R переводит K* в актуальную конфигурацию Кt. Тогда (транспонированный) градиент скорости перемещений L (в актуальной конфигурации) определяется соотношением

перемещений, связанный со скоростями сдвигов по системам скольжения (СС) соотношением

k=1

где γ&(k) – скорость сдвига по k-й СС, b(k)0 – единичный вектор направления скольжения (сонаправленный вектору Бюргерса), n(k)0 – единичный

вектор нормали k-й СС, определенные в промежуточной (или, что то же самое, в отсчетной) конфигурации. Вводится аддитивное разложение градиента скорости перемещений:

Таким образом, ротация решетки складывается из материального вращения (W) и ротации от стесненного сдвига (А). Определяя далее ориентационный тензор в актуальной конфигурации М(k) соотношени-

ем M(k) = 12(b(k)n(k) + n(k)b(k) )= R M(k)0 RT , сдвиговое напряжение в k-й СС можно установить следующим образом:

где σ, S – тензор напряжений Коши и его девиатор.

Для скорости сдвига принимается широко используемый (см., например, [4, 5, 15, 23]) степенной закон:

где τ(k)c – критическое напряжение сдвига на k-й СС. Следует отметить, что при стремлении n→∞ соотношение (8) приближается к жесткопластическому закону; детально вопрос об эквивалентности вязкопластической и жесткопластической моделей исследован в работах [3, 22].

Подставляя (8) в (5)1, девиатор напряжений можно определить решением следующей системы нелинейных уравнений:

где четырехвалентный тензор вязкопластических свойств определяется соотношением

Отметим, что при изменении D в q раз аналогичным образом в соответствии с (5)1 меняются скорости сдвигов, тогда согласно (8) напряжения сдвига (а следовательно, и тензор напряжений) изменяются в q1/n раз. Следует подчеркнуть, что из определения тензора свойств P очевидна нелинейность соотношения (9), поскольку определяется по искомому тензору S.

103

Принимается закон изотропного упрочнения, эволюционное уравнение для критического напряжения имеет вид закона Воуса

(Voce):

Здесь h0 – начальная скорость упрочнения, τ0c , τsc – начальное напряжение течения и напряжение насыщения. Макроскопический девиатор напряжений определяется осреднением с весами по всем зернам.

Отмечается, что степенной закон (8) может рассматриваться лишь как приближенный закон, не имеющий под собой должного физического обоснования. В связи с этим в работе предлагается модифицировать указанный закон для учета скорости деформации в широком диапазоне ее варьирования и влияния температуры. В основу указанной модификации положена упомянутая выше модель механического порогового напряжения. При использовании этой модели для поликристаллов фигурирующее в исходной форме закона упрочнения эффективное одноосное напряжение заменяется на критическое напряжение сдвига τ(k)c , а эффективная одноосная скорость деформации – на сум-

марную скорость сдвигов по всем системам скольжения. При этом рассматривается только изотропный закон упрочнения Тейлора, поскольку учет скоростной чувствительности и упрочнения по каждой системе скольжения весьма сложны.

Рассматривается проблема двойного учета скоростной чувствительности: из экспериментов известно, что степенной вязкий закон вида (8) справедлив при постоянном показателе скоростной чувствительности только в узком диапазоне скоростей деформаций. В рассматриваемой модели и скорость деформации, и температура уже учтены. Чтобы исключить двойной учет скоростной чувствительности, авторы предлагают устранить ее из собственно вязкого закона. Для устранения скоростной чувствительности из соотношения (8) (при фиксированном n, принимаемом равным 20) γ&0 в нем заменяется на интенсивности скорости деформации

dи= (2/3 D:D)1/2, что согласуется с принятой в модели Тейлора гипотезой Фойгта. Действительно, в этом случае при изменении D в q раз аналогичным образом в соответствии с (5)1 меняются скорости сдвигов, тогда согласно (8) напряжения сдвига остаются неизменными.

104

Подробно описывается численная процедура; для интегрирования по времени используется неявная разностная схема, система нелинейных уравнений решается методом Ньютона–Рафсона. Для установления шага по времени решена задача на одноосное сжатие при 10, 20, 40 и 100 постоянных шагах по времени; различие между результатами расчета напряжения сжатия при числе шагов 10 и 100 не превысило 0,24 %.

Верификация предлагаемой модели осуществляется сопоставлением полученных с ее помощью результатов расчета напряжений с результатами стандартной изотропной модели MTS. Скоростная и температурная зависимости определялись в опытах на сжатие алюминиевого сплава Al 5182 при температурах 200 и 300 °С и скоростях деформации 0,001 и 1,0 с–1. Показано очень хорошее соответствие результатов.

Анализ предсказания моделью формирования текстуры осуществлен сопоставлением с результатами, полученными Kalidindi e.a. с использованием модели Тейлора; отмечается хорошее качественное соответствие результатов.

Отдельный раздел работы посвящен процедуре идентификации модели. С этой целью записывается функция квадратичного отклонения определяемых расчетным путем компонент тензора напряжений от экспериментально измеряемых значений; для регуляризации добавлен штрафной член, представляющий собой квадратичное отклонение искомых параметров модели от первоначально заданных. Решение поставленной задачи минимизации этой функции осуществлялось градиентным методом. Проведены расчеты для случаев сжатия и кручения образцов из стали HY100 (ОЦК-решетка, в рассмотрение включены все 48 потенциально возможных систем скольжения) при различных скоростях деформации и температурах. Полученные результаты позволили с удовлетворительной точностью описать поведение стали при отсутствии начальной текстуры. Аналогичные результаты получены для начально текстурированной танталовой пластины.

Представляется целесообразным кратко остановиться на работе [6], содержащей значительное количество экспериментальных данных по лучевым и двухзвенным траекториям деформации листового алюминиевого сплава, пригодных для идентификации и верификации теоретических моделей. Подробно описана методика экспериментальных исследований, включающих как чисто механические измерения, так и анализ текстуры и дислокационных субструктур. Теоретические ис-

105

следования проведены с использованием вязкопластических моделей со степенным законом, «полностью стесненной» и самосогласованной. Обе модели дают близкие результаты как по зависимостям напряжений от работы на пластических деформаций, так и по полюсным фигурам; отмечается, что полюсные фигуры в теоретических расчетах получаются более четко выраженными («острыми»), чем в экспериментах.

В работе [21] также используется мультипликативное разложение градиента места. Упругими деформациями пренебрегается, в силу чего упругая составляющая градиента места описывает только поворот кристаллической решетки, Fe = Rl . Получено аддитивное разложение градиента скорости перемещений L в промежуточной конфигурации:

L = D + Wl + Wp ,

k=1

симметричная части ориентационного тензора) определены также в промежуточной конфигурации. Используется гипотеза Фойгта, т.е. деформации скорости принимаются одинаковыми в каждый момент времени во всех зернах поликристалла. Скорости сдвигов на СС определяются степенным законом, аналогичным (8).

Следует отметить, что, хотя в вязкопластических моделях активными в каждый момент времени могут быть любые из возможных для данного типа кристалла СС, не все они будут линейно независимы; например, на каждой кристаллографической плоскости линейно независимыми могут быть только две из трех СС. В работе предлагается эвристическая, чисто геометрическая процедура определения активных СС, число которых на каждой плоскости не более двух; например, для ГЦК-кристаллов общее число активных СС, таким образом, не превышает восьми. Для определения скоростей сдвигов на СС ставится задача оптимизации, критерием является минимальность евклидовой нормы вектора скоростей сдвигов; кинематическое ограничение

K

D = ∑MS(k ) γ&(k ) вносится с использованием множителей Лагранжа. Де-

k=1

тально описан пошаговый алгоритм реализации предлагаемого подхо-

106

да. С использованием последнего решены тестовые задачи одноосной осадки и простого сдвига монокристаллов с различной начальной ориентацией, одноосной осадки, осадки в условиях плоско-деформиро- ванного состояния и простого сдвига поликристаллических образцов. Сопоставление результатов расчета эволюции ориентаций кристаллитов с теоретическими результатами, полученными с использованием других моделей, и экспериментальными данными обнаруживает хорошее соответствие.

Упруговязкопластические модели

Одной из первых работ, в которой представлены теоретические результаты, полученные с применением физической упруговязкопластической модели, удовлетворительно согласующиеся с экспериментальными данными, была статья [26]. Модель, предложенная в цитируемой работе, базируется на теории термоактивируемого движения дислокаций (Kroner&Teodosiu (1972), Kratochvil&de Angelis (1971)) и

модели Линя [2].

В предлагаемой модели приняты все гипотезы модели Линя, за исключением соотношений для определения скоростей (или приращений) сдвигов: предполагается, что скорости сдвигов связаны с касательными напряжениями на кристаллографических системах скольжения вязкопластическими соотношениями вида

где γ&0 – константа материала, Н0 – величина энергетического барьера

(Пайерлса); κ – константа Больцмана; θ – температура (К); ν – константа, относящаяся к объему препятствий (активационный объем); τ(k ) , τ(ck ) – касательное напряжение и критическое напряжение сдвига в

k-й системе скольжения, причем τ(ck ) характеризует сопротивление

сдвигу на препятствиях, не преодолеваемых за счет термической активации, и связанное с дальнодействующими полями напряжений; К – число систем скольжения (для рассматриваемых в работе ГЦКкристаллов принято К= 24, т.е. удвоенное число кристаллографических систем скольжения). Предлагается эволюционное уравнение для τ(ck ) ,

представляющее собой модификацию закона упрочнения Тейлора:

107

K

τ&(ck ) = A ∑γ&(i) −[B(τ(ck ) −τˆc )]m exp[−QD / (κθ)] , k =1, K , (13)

i =1

где А, В, m, τˆc – материальные константы, QD – энергия активации диффузии.

Вкачестве основы конститутивной модели, как и в модели Линя, используется (изотропный) закон Гука, записанный в скоростях. Численная процедура реализуется пошагово, задается история осредненных скоростей полных деформаций (используется гипотеза Фойгта).

Предлагаемая модель была апробирована для случая простого и сложного (на двухзвенных траекториях с изломами на углы 30, 60, 90, 120, 150 и 180°) нагружения поликристаллического алюминия при изо-

термическом деформировании при температуре 200 °С и скоростях деформирования от 3×10–5 до 3×10–3. Результаты расчетов находятся в удовлетворительном соответствии с экспериментальными данными; в частности, хорошо описывается эффект «нырка» (резкого падения интенсивности напряжений в окрестности точки излома траектории деформации).

Крассмотренной выше работе вплотную примыкает статья [27], в которой более детально рассматривается процедура ориентационного осреднения тензора напряжений. Рассмотрена также модификация модели для реализации процесса нагружения в пространстве напряжений. Отмечается возможность использования вместо гипотезы Фойгта самосогласованной модели Кренера.

Обзор работ по физическим теориям пластичности, вязко- и упруговязкопластичности, выполненных до 1985 г., содержится в статье

[5].Предлагаемая в работе модель ориентирована на описание образования текстуры при больших пластических деформациях, и с этой точки зрения представляется целесообразным её достаточно полное изложение.

Вкачестве исходного кинематического соотношения также используется вариант мультипликативного разложения:

где тензор F* описывает как упругое деформирование, так и квазижесткие повороты, тогда как Fр полностью определяется сдвигами по кристаллографическим системам скольжения (СС).

108