654

довательное соединение апериодического звена 2-го порядка и интегрирующее звено, – две неизмеряемые переменные.

Матрицы перехода данных объектов имеют следующий вид:

• реальное интегрирующее звено

• реальное интегрирующее звено с суммарным входом:

• последовательное соединение апериодического звена 2-го порядка и интегрирующего звена:

Для звеньев 2-го порядка обобщенная матрица перехода имеет

вид:

С учетом структуры матрицы перехода уравнение динамики (1.94) может быть записано в следующем виде:

y(k +1) = b2u(k) + a21x(k) + a22 y(k).

Выражение (1.98) после исключения из x(k) – неизмеряемой координаты – имеет вид

61

Коэффициент b2 представляет собой реакцию системы на вход-

ное воздействие на первом интервале дискретности, поэтому вычислить его несложно.

Таким образом, в результате идентификации определяются ко-

эффициенты матрицы перехода: a11, a22 , b1a11 или b2 , a11, a22 , b1a11. Это означает, что предложенный алгоритм идентификации по-

Для звеньев 3-го порядка, в которых неизмеряемыми являются две внутренние переменные x1,x2 , с учетом структуры матрицы перехода уравнение динамики (1.94) может быть записано в следующем виде:

После наблюдений над объектом, в результате которых сформируются матрицы измерений входных U (k) и выходных Y (k) переменных, уравнение (1.107) разрешается относительно коэффициентов c1, c2 , c3 , c4.

По известным коэффициентам c1, c2 , c3 , c4 определяются:

• коэффициенты матрицы переходов:

• реальное интегрирующее звено с суммарным входом:

b1a21 +b2 (1−a11) = 1 ,

c1

b1a21, a32 , т.е. так же, как и для звеньев 2-го порядка определяются по-

KΣ = K1K2 K3 = b1a21a32 . a11a22

Таким образом, предложенный подход к решению задачи идентификации с неизмеряемыми координатами позволяет получить простой и практический реализуемый алгоритм для идентификации объектов данного класса.

64

1.6.Контрольные вопросы и задания

1.Какие методы построения модели (аналитические, экспериментальные и экспериментально-аналитические) используются на стадии проектирования элементов и подсистем СУ ДЛА?

2.Как выполнить сбор экспериментальных данных, как использовать эти данные, собранные в реальных условиях проведения полунатурного и натурного моделирования СУ ДЛА?

3.Обоснуйте выбор схемы реализации идентификации подсистем СУ ДЛА в полунатурном и натурном моделировании.

4.Какое описание для подсистем СУ ДЛА предпочтительнее?

5.Всегда ли ненаблюдаемая СУ является неуправляемой?

6.Приведите пример неидентифицируемости объекта 3-го порядка при неизвестных параметрах.

7.При каких условиях матрица UU T будет плохо обусловленной? Как это отразится на оценивании параметров одномерной и многомерной линейной регрессионной модели?

8. Исследуйте управляемость системы, заданной уравнением

14. Определите алгоритм оценивания параметров системы с ограничениями по измерениям (неизмеряемая переменная x2 ), если структура матрицы коэффициентов имеет вид

66

2. ИССЛЕДОВАНИЕ ИДЕНТИФИКАЦИОННЫХ МОДЕЛЕЙ

При исследовании идентификационных моделей решаются следующие задачи:

•планирование эксперимента;

•оценка адекватности модели объекту исследования;

•моделирование идентификационных моделей.

2.1. Постановка эксперимента

По способу тестирования различают активные и пассивные методы идентификации [5].

Пассивным называют эксперимент, в котором регистрация входных и выходных данных осуществляется в рабочем режиме без использования дополнительных вмешательств. Он применяется тогда, когда структура модели хорошо известна и ее адекватность не вызывает сомнений (когда решаются задачи параметрической идентификации).

При использовании пассивных методов объектнаходится вусловиях нормального функционирования, и параметры модели отыскиваются по результатам статистической обработки наблюдений. Преимуществом этого подхода является отсутствие необходимости проводить специальные исследования объекта, достаточно лишь измерить наблюдаемые сигналы в режиме рабочего функционирования объекта с последующим расчетом параметров модели. Недостатками такого подхода являются значительные временные затраты на сбор и необходимую статистическую обработку данных и жесткие требования к частотному спектру входного воздействия – он не должен быть меньше частот динамической характеристики идентифицируемого объекта.

Активный эксперимент предполагает особую программу проведения наблюдений, которые позволяют по результатам исследований дополнительно оценить структуру модели [5, 7]. В активных методах на вход объекта подаются специально сформированные воздействия – тестовые сигналы – детерминированного или случайного характера. Достоинствами этого подхода являются минимальные требования к априорным сведениям об объекте, целенаправленный характер иден-

67

тификации и, как следствие, уменьшение временных и материальных затрат на проведение эксперимента.

Факторами активного эксперимента называют переменные, по которым можно проводить управление и которые участвуют в построении модели (хi).

Каждый из факторов может принимать различные значения, которые называются уровнями. На практике количество уровней – это бесконечное количество или непрерывный ряд уровней xi [x0i , xni].

В теории активного эксперимента этот ряд дискретизируется и выбираются отдельные уровни [xi0 , xi1, xi2].

Фиксированный наборуровней называется состоянием факторов. План – это программа проведения эксперимента, позволяющая использовать все факторы на всех уровнях. Если план содержит всевозможные сочетания факторов и уровней, то его называют полным. Если р – общее количество уровней; к – количество факторов, то полный план эксперимента будет включать в себя следующее количе-

ство экспериментов:

Пример: к = 3, р = 4, то N = 43 = 64 эксперимента.

Полный план позволяет построить адекватную модель, но требует большого количества экспериментов, поэтому на практике применяют усеченные планы, так называемые дробные планы, в которых количество экспериментов меньше, чем в полном плане, но они с достаточной долей точности могут определить адекватность модели.

Любая модель определяется по формуле

где M =U U Т – называется информационной матрицей.

В зависимости от способа минимизации информационной матрицы выделяют следующие планы:

• D-план. План эксперимента, при котором выбор информационной матрицы определяется по принципу минимизации определителя –

mindetMi .

i

68

• А-план. План эксперимента, при котором минимизируется след

матрицы – mintrMi .

i

• Условием задания Е-плана является выбор плана таким, чтобы максимальное собственное число матрицы М было минимальным –

minmaxλ(M ).

i

На практике чаще строятся D-планы.

Основным условием D-плана является то, что он будет отвечать условию оптимальности, если информационная матрица М будет диагональной.

−1

Пример: р = 2, к = 3, xi = +1.

Соответственно, полный план будет иметь вид

23 = 8

Тогда с учетом этого условия выбирается некий дробный план: 23–1 = 4

т.е. откидываем любую переменную (x3), и план уменьшается на 4 единицы. Для оставшихся двух переменных строится полный план, а x3 считается равной x3 = x1 x2.

Построенный по такому принципу D-план отвечает условиям D-оптимальности, при этом переменная x3 называется генератором дробного плана.

69

Для двухуровневой системы количество экспериментов равно 2к–N, где N < к, а оставшиеся генераторы плана составляются как результаты поэлементного умножения основных факторов, при этом количест-

во множителей составляет от 2 до N–к. Пример: 26–4

Выбор двух уровней из непрерывного ряда уровней:

xi [x0i , xni],

–1 – начало уровней x0i; +1 – конец уровней xni.

Следует отметить в практических задачах идентификации, в частности в построении идентификационных моделей подсистем СУ ДЛА, что возможность варьирования входными переменными (а именно это и представляет собой активный эксперимент) резко ограничена в основном конструктивными особенностями объекта. Поэтому идентификация моделей СУ ДЛАпроходит на основе пассивного эксперимента.

2.2. Оценивание адекватности моделей

После того как модель построена, необходимо удостовериться в ее качестве. С этой целью выполняют проверку адекватности модели процессу, объекту или явлению, для которых она построена.

Проверить адекватность модели – значит установить, насколько хорошо модель описывает реальные процессы, происходящие в системе, насколько качественно она будет прогнозировать развитие данных процессов. Проверка адекватности проводится на основании некоторой экспериментальной информации, полученной на этапе функционирования системы или при проведении специального эксперимента, в ходе которого наблюдаются интересующие процессы.

Проверка адекватности заключается в доказательстве факта, что точность результатов, полученных по модели, будет не хуже точности расчетов, произведенных на основании экспериментальных данных.

70