654

Задача идентификации включает в себя следующие этапы [4]:

•сформулировать требования к данным наблюдений: как выполнить сбор экспериментальных данных, как использовать эти данные, собранные в реальных условиях проведения эксперимента [5];

•определить класс объектов – совокупность моделей-кандидатов, из которой впоследствии будет отобрана наилучшая модель;

•сформировать так называемую функцию потерь или риска (критерий оптимальности), характеризующую адекватность объекта и настраиваемой модели, и на ее основе сформулировать критерий качества идентификации;

•выбрать способ оценки степени соответствия исследуемой модели экспериментальным данным;

•определить процедуру верификации модели: провести проверку

иподтверждение адекватности модели, т.е. выяснить, в какой степени модель действительно «объясняет» поведение изучаемой системы.

При построении математических моделей существенную роль играют следующие факторы [4].

1. До начала эксперимента необходимо определить условия, в которых будет проводиться сбор данных, решить вопросы дальнейшего конкретного их использования. Эти задачи решаются на этапе планирования эксперимента путем выбора числа опытов эксперимента и условий его проведения, необходимых и достаточных для решения поставленной задачи с требуемой точностью. Этот этап непосредственно не относится

кидентификации, а предваряетее.

2. В конструктивном смысле идентификация – это определение по входным и выходным воздействиям такой модели из определенного класса моделей, которой реальная исследуемая система эквивалентна.

В соответствии с этим нужно определить класс моделей, среди которых будет выбрана наиболее подходящая. На этом этапе необходимо выбрать общую структуру модели и класс уравнений, которыми предполагается описывать наблюдаемый процесс. Этот этап иногда называется идентификацией в широком смысле (или структурной идентификацией) и зачастую оказывается решающим фактором. Для успешного решения задачи структурной идентификации требуется использовать априорные сведения о физических, химических или иных явлениях, происходящих в процессе, знание формальных аналитических свойств моделей, инженерные навыки и интуицию. До настояще-

11

го времени общих формальных подходов к решению задачи структурной идентификации не существует, и этап структурной идентификации часто сводится к эвристическому заданию структуры модели на основе априорных сведений об объекте.

3.Близость полученной модели реальной исследуемой системе достаточно относительна, так как операторы объекта и модели могут быть описаны на разных языках, иметь разную структуру или количество входов, и потому понятие адекватности может быть сформулировано разными способами. Поскольку непосредственно оценить близость операторов объекта и модели сложно или зачастую невозможно, наиболее часто оценивается близость выходных величин объекта и модели или математического ожидания ошибок оценок параметров. Для этого вводится понятие функции потерь или риска, в дальнейшем подлежащей минимизации. Далее для выбора «наилучшей» модели из определенного класса на основании этой функции потерь формируется некоторый критерий, и в дальнейшем задача идентификации становится задачей оптимизации выбранного критерия.

4.После определения структуры модели и класса уравнений необходимо установить численные значения параметров – коэффициенты дифференциальных, разностных, интегральных уравнений или других математических конструкций линейной или нелинейной модели объекта и (или) состояний, вошедших в уравнения математической модели. Таким образом, решению подлежит задача оценивания параметров и (или) состояний по имеющимся экспериментальным данным, т.е. по значениям измеряемых переменных. Данная задача называется задачей параметрической идентификации (или идентификацией в узком смысле). При оценивании параметров приходится решать задачу минимизации некоторых функциональных зависимостей от измеряемых величин (обычно от разности выходных сигналов модели и объекта) и от неизмеряемых величин – параметров и состояний. Для решения этой задачи необходимо разработать алгоритм идентификации, который на основе доступных для наблюдения входных и выходных величин определял бы параметры настраиваемой модели, минимизирующий погрешность модельного описания в соответствии с выбранным функционалом качества.

5.Переход от этапа построения модели к последующему ее использованию требует оценки качества полученной модели, т.е. про-

12

верки адекватности модели объекту. Вследствие того что абсолютная эквивалентность модели объекту принципиально недостижима, основным условием подтверждения адекватности полученной модели является возможность ее использования для решения той задачи, ради которой эта модель строилась. Поэтому адекватность предполагает воспроизведение моделью с необходимой полнотой всех свойств объекта, существенных для целей данного исследования. Степень адекватности модели и объекта обычно оценивают путем сравнения их выходных сигналов при подаче одинаковых входных воздействий на объект и его модель. Это сравнение предпочтительно производить на основе новой информации, отличной от данных, которые использовались в процессе идентификации объекта.

В большинстве реальных ситуаций взаимодействие объекта с окружающей средой соответствует следующей стандартной схеме [6] (рис. 1.3):

Рис. 1.3. Типовая схема наблюдений при идентификации объекта

На схеме приняты следующие обозначения: U (t) – вектор входных воздействий;

Y (t) – вектор выходных воздействий объекта; Ym (t) – вектор выходных воздействий модели;

N(t) – вектор неконтролируемых случайных воздействий;

E(t) – вектор разности (невязки) между выходами объекта и модели;

A – вектор параметров объекта; Am – вектор параметров модели.

13

Идентификационный эксперимент в соответствии со структурной схемой наблюдения состоит в следующем.

На входы объекта и модели подается внешнее воздействие. В реальных условиях взаимодействия объекта со средой сигналы наблюдения за объектом искажены случайными возмущениями, определяющимися спецификой функционирования самого объекта, погрешностями методов и средств измерений и неконтролируемыми воздействиями внешней среды. При использовании такой схемы наблюдений считается, что обобщенный вектор помех N(t) включает в себя все внешние возмущения, отклонения измеренных значений от истинных воздействий и другие факторы. Обычно в результате эксперимента получают наблюдения входа и выхода, т.е. реализации случайных функций U (t)

и Y (t) .

Закон функционирования объекта может быть представлен в следующем виде:

В соответствии с зависимостью (1.1) выходная величина объекта зависит от внешнего воздействия U (t) u(t), помехи N(t) и от неизвестного вектора параметров A , значения которых непосредственному наблюдению недоступны.

На основании сведений об объекте формируется модель, под которой понимается некоторый оператор F , преобразующий наблюдаемое входное воздействие U (t) в ее реакцию Y (t) у, (t):

Модель (1.2) описывается уравнениями, подобными уравнениям объекта (1.1) и содержащими информацию об измеряемых входных и выходных величинах, причем полагается, что помехи не меняют вида модели. Коэффициенты этих уравнений являются параметрами модели. Выходная величина модели зависит от параметров Am , которые

рассчитываются на основе алгоритма, обрабатывающего вектор всех наблюдений. Для нахождения вектора параметров Am необходимо оп-

ределить оптимальный, в смысле подобия объекту, способ корректировки модели. При таком подходе задача идентификации заключается в построении модельного оператора F из некоторого класса операторов (задача структурной идентификации) и определении по наблюде-

14

ниям U (t) и Y (t) вектора параметров Am (параметрическая иденти-

фикация), такого, чтобы выходной сигнал модели был бы наиболее близок к выходному сигналу объекта.

На основе сравнения искаженного помехой N(t) выходного сигнала объекта Y (t) = F0 (U (t), N(t), A) с выходным сигналом модели Ym (t) = F(U (t), Am ) рассчитывается невязка – разность выходных величин объекта и модели:

Для оценки соответствия модели объекту вводится функция потерь (функция невязки) F(Y (t), Ym (t), A), зависящая от выходов объ-

екта и модели, параметров модели.

На основе функции невязки формулируется критерий идентификации:

Рис. 1.4. Общая схема идентификации модели

Критерий качества идентификации, характеризующий адекватность модели реальному объекту, представляет собой средние потери. Чем меньше средние потери, тем выше качество идентификации.

15

Минимизация функционала идентификации, соответствующая улучшению качества идентификации, осуществляется путем надлежащего выбора структуры модели и изменением значений ее параметров. Процедура изменения реализуется алгоритмом идентификации.

Существуют разные способы оценивания параметров, различающиеся между собой по используемому критерию оптимальности и имеющейся априорной информации. В определенной степени выбор критерия оптимальности субъективен, а процедура оценивания существенно зависит от принятого критерия.

Общая схема идентификации [7] представлена на рис. 1.4.

1.2. Классификация методов идентификации

Различные методы идентификации существенно зависят от разных форм представления математических моделей: обыкновенных дифференциальных, разностных уравнений, уравнений свертки и т.д. При этом ни один из методов идентификации не является универсальным для идентификации всех видов математических моделей, а используется в отдельных областях применения.

Методы идентификации можно классифицировать по различным признакам [6, 8, 9]:

1. По постановке эксперимента:

•Активные методы идентификации.

•Пассивные методы идентификации.

2.По наличию апририорной информации об объекте управления:

•Методы структурной идентификации.

•Методы параметрической идентификации.

3.В зависимости от используемого критерия идентификации:

•Метод наименьших квадратов.

•Марковские оценки (или обобщенный метод наименьших квадратов).

•Метод максимального правдоподобия.

4.По схемам реализации алгоритма идентификации:

•Явные схемы.

•Схема с настраиваемой модели.

5.По основным системным признакам математической модели:

•Физические (натурные) и математические (символьные).

16

•Одномерные и многомерные.

•Статические или динамические.

•Линейные или нелинейные.

•Стационарные или нестационарные.

•Дискретные или непрерывные.

•Детерминированные или стохастические.

•Сосредоточенные и распределенные.

•Характеристики «вход–выход» и описание в пространстве состояния.

•Структурированные и агрегированные.

•Параметрические и непараметрические.

1.3. Структурная идентификация

Структурная идентификация, идентификация в широком смысле, идентификация типа «черный ящик», имеет место при отсутствии априорной информации об объекте: не известны структура объекта, класс объекта, размерность и т.д. Главная задача структурной идентификации – определение структуры модели [3, 8, 10]. В рамках структурной идентификации необходимо выделить значимые переменные состояния, выбрать общую структуру и тип модели, класс уравнений, которыми предполагается описывать наблюдаемый процесс; выделить значимые. Для успешного решения задачи структурной идентификации требуется использовать априорные сведения о физических, химических или иных явлениях, происходящих в процессе, знание формальных аналитических свойств моделей, инженерные навыки и интуицию. До настоящего времени общих формальных подходов к решению задачи структурной идентификации не существует, и этап структурной идентификации часто сводится к эвристическому заданию структуры модели на основе априорных сведений об объекте.

Выработаны общие рекомендации по решению задач структурной идентификации [11]:

1. Выделение объекта из внешней среды.

Этап выделения объекта определяется целями и алгоритмом управления. Однако нельзя сформулировать цель без предварительной модели объекта управления, поэтому еще до формулировки цели некоторая модель должна быть выбрана. Как правило, модель в первом

17

приближении – это модель, построенная на основе физических, химических, механических и других законов управления. Процесс выделения объекта из среды – последовательный переход от простых моделей объекта к более сложным моделям путем «наращивания модели» за счет определенных элементов среды, которые изначально не учитывались в модели, но оказывают существенное влияние на функционирование объекта.

Такую громоздкую процедуру вряд ли можно формализовать, поэтому на данном этапе структурной идентификации широко используется метод экспертного опроса, по результатам которого и принимается решение о структуре объекта, его взаимодействии со средой, возможных состояниях среды и т.д.

2. Ранжирование входов и выходов объекта по степени их влияния на выполнение целей управления в объекте.

Этап ранжирования входов и выходов объекта выявляет всевозможных претендентов на роль входов и выходов, выделяя из них наиболее существенные. Отбор входов должен соответствовать следующим требованиям:

• входные переменные U =[u1, u1,K, un ] должны быть контролируемыми;

• отбираются только те входные переменные U =[u1, u1,K, un ], состояние которых влияет на реализацию целей в объекте.

Ранжирование входных переменных осуществляется по рангуKi . Вход, влияющий наибольшим образом на реализацию целей в объекте, имеет ранг Ki =1. Входы располагаются в порядке возрастания ран-

гов. Ранжирование на основе рангов входных переменных может осуществляться методами экспертной оценки, непосредственного ранжирования, методом парных сравнений [11].

3. Определение рационального числа входов и выходов объекта, учитываемых в модели.

Определение рационального числа входных и выходных переменных также осуществляется на основе экспертных оценок. Выбор начинается с минимального количества входов и выходов, и путем наращивания выбирается оптимальное количество входных и выходных переменных.

18

4. Определение типа (класса) моделей.

При выборе класса модели необходимо руководствоваться следующими рекомендациями [7].

Тип модели задается в виде:

где L, N, M , D – булевые переменные, т.е. переменные, принимающие значение либо 0 (нет), либо 1 (да) и определяющие основные свойства модели: L – линейность; N – непрерывность; M – многомерность; D – детерминированность. Обычно идентификация начинается с расчета самой простой модели, а именно объект представляется в виде линейной, непрерывной, одномерной и детерминированной модели

F = (1,1, 0,1).

Начинать построение необходимо с физической модели (по известным законам физики, не забывая о цели построения модели).

Следует постараться преобразовать модель к виду линейной рег-

5. Выбор критерия согласия [8].

Модель объекта всегда неточна. Неточность модели по отноше-

Таким образом, критерием оптимальности (или критерием согласия) в задачах идентификации является функция невязки.

Выбор наилучшей функции проводится по минимуму этого критерия. Минимизацию критерия можно осуществить следующими методами:

• Метод наименьших квадратов.

Оценивание по методу наименьших квадратов не требует никакой априорной информации об объекте.

e1

где E – ошибка системы, E = e2 ; I – единичная матрица.

Men

• Марковские оценки (или обобщенный метод наименьших квадратов).

Для применения марковских оценок должна быть известна ковариационная матрица аддитивного шума:

где ξ[n(i)n( j)] – корреляционная функция аддитивного шума для моментов времени i, j .

Ковариационная матрица должна быть известна априорно, исходя из характеристик шумовых помех, действующих на объект управления

(рис. 1.5).

Рис. 1.5. Схема объекта для задачи идентификации

• Метод максимального правдоподобия.

Метод максимального правдоподобия априорно кроме шумовых характеристик требует знания о влиянии переменных друг на друга, представленные в виде корреляционных матриц.

Априорно известно, что выборочные значения выходных переменных Y являются случайными величинами с совместным распределением вероятностей p( y(1),L, y(k), A).

20