654

Вводя в описание вектор состояний системы, представим модель в пространстве состояний в следующей матричной форме:

вектор входных переменных; Y (t) – вектор выходных переменных; A – матрица коэффициентов системы; B – матрица входа системы; C – матрица выхода системы; D – матрица обхода системы.

С учетом воздействия внешней среды, при наличии входной адди-

где помимо рассмотренных ранее обозначений также присутствуют N(t) – вектор случайных воздействий – помех; ε(t) – вектор шумов измерения; K – матрица, описывающая канал прохождения помехи.

Воздействия N(t) и ε(t) , как правило, полагаются гауссовскими случайными процессами в виде белого шума.

Рассмотренная модель (1.27) может быть представлена структурной схемой в пространстве состояний (рис. 1.8).

Рис. 1.8. Структурная схема линейной динамической системы в пространстве состояния при учете воздействий внешней среды

31

3. Линейные динамические дискретные параметрические модели. Линейные динамические дискретные модели могут принимать

следующий вид [2, 6, 17]:

• Обыкновенные разностные уравнения.

Универсальной характеристикой для дискретных моделей является разностное уравнение n-го порядка, где используется понятие разности как аналога понятию производной для непрерывных моделей:

где y(k), u(k) – значения выходной и входной величин в k-й момент времени.

• Дискретные передаточные функции.

Применяя оператор сдвига во времени z, задаваемый соотношением y(k +i) = zi y(k) к конечно-разностному уравнению (1.28), получаем операторную форму дискретной модели:

кретные переменные состояния, образующие n-мерный вектор состоя-

стояний в следующей векторно-матричной форме:

X (k +1) = AX (k) + BU (k),

(1.30)

Y (k) = CX (k) + DU (k).

Структурное представление модели (1.30) приведено на рис. 1.9.

32

Рис. 1.9. Структурная схема дискретной модели

впространстве состояния

4.Нелинейные динамические модели.

Класс нелинейных динамических систем по сравнению с линейными системами значительно шире, так как в этих системах протекают многообразные явления и процессы, не характерные для линейных систем. Вследствие этого для описания таких систем становится неприменим математический аппарат теории линейных систем, поэтому при решении задачи получения математических моделей нелинейных систем используются следующие два основных подхода [15, 18]. Один подход заключается в получении приближенного математического описания линеаризованной модели (по сути в определении эквивалентной исходной нелинейной модели) с помощью методов линеаризации: гармонической, статистической или методом малых приращений. Наиболее применим такой подход для объектов, имеющих гладкие характеристики, и процессов, протекающих при небольших отклонениях и возмущениях относительно номинальных режимов функционирования.

При втором подходе математическая модель рассматривается как существенно нелинейная. В этом случае наиболее распространенными видами моделей являются следующие:

• Нелинейные дифференциальные уравнения.

Для непрерывного одномерного объекта управления связь между входным и выходным сигналами записывается в общем виде неявным выражением

где F – некоторый нелинейный оператор, который требуется идентифицировать. Если возможно, то проводится параметризация нелинейной модели (1.31) на основе структурирования F с введением некоторого вектора параметров A:

В этом случае задача идентификации сводится к определению оператора F и к оцениванию его вектора параметров A .

Для нелинейного дискретного объекта строятся аналогичные нелинейные разностные уравнения.

• Модели Гаммерштейна.

Такие модели нелинейных инерционных объектов строятся в предположении, что нелинейность и инерционность объекта можно разделить, его можно представить в виде последовательной комбинации двух звеньев: нелинейного безынерционного и динамического линейного. Модели «вход–выход» для таких объектов в одномерном стационарном случае могут иметь два варианта описания:

статическая характеристика нелинейного звена.

Структурное представление моделей объекта для каждого из вариантов описания приведено на рис. 1.10–1.11.

Рис. 1.10. Структурная схема модели Гаммерштейна (1.33)

34

Рис. 1.11. Структурная схема модели Гаммерштейна (1.34)

• Разложение Вольтерра.

При данном способе описания зависимость между входом u(t)

где w1(τ), w2 (τ1,τ2 ), w3 (τ1,τ2 ,τ3 )K – обобщенные весовые функции (яд-

ра) i-го порядка. Такой ряд (1.35) носит название ряда Вольтерра. Разложение в ряд Вольтерра является непосредственным обобще-

нием линейной модели в форме интеграла свертки на нелинейные объекты. Задача идентификации при этом состоит в определении обобщенных весовых функций w1(τ), w2 (τ1,τ2 ), w3 (τ1,τ2 ,τ3 )K. Для не-

стационарного объекта ядра будут зависеть от t .

• Описание в пространстве состояний.

В общем случае уравнения состояния для конечномерных непрерывных систем записываются в следующем виде:

x(t0 ) = x0.

В общем случае в уравнениях (1.36) определению подлежат нелинейные функции f и g. При возможности их параметризации некоторым вектором параметров A описание системы принимает вид

x(t0 ) = x0.

35

Уравнения пространства состояний для дискретных нелинейных объектов при параметризации нелинейных функций A имеют вид

Представление в пространстве состояний особенно удобно для многомерных объектов. Для нестационарных объектов необходимо ввести зависимость вектора A от времени.

1.4.4. Управляемость, наблюдаемость и идентифицируемость систем

Важными понятиями для исследования систем, в том числе и для идентификации, являются понятия управляемости, наблюдаемости и идентифицируемости систем [3, 7, 8].

Рассмотрим каждое из этих понятий подробнее.

Система является управляемой, если она может быть переведена из любого начального состояния X (t0 ) в любое другое желаемое со-

стояние X (tk ) за конечный интервал времени τ(τ = tk −t0 ) путем задания (изменения) входного воздействия U (t) .

Понятие управляемости можно проиллюстрировать следующим примером (рис. 1.12).

Рис. 1.12. Структурная схема неуправляемой системы

Очевидно, что эта система является неуправляемой, так как управляющее воздействие u(t) влияет не на все переменные состоя-

ния (переменная состояния x4 (t) не поддается управлению).

36

Система является наблюдаемой, если все переменные состояния могут быть непосредственно или косвенно определены по выходному вектору системы.

Если управляемость системы требует, чтобы каждое состояние системы было чувствительно к входному воздействию, то наблюдаемость требует, чтобы каждое состояние системы влияло на измеряемый выходной вектор.

Следует различать понятия «измеряемость» и «наблюдаемость». Измерить переменную непосредственно с помощью измерительных устройств означает непосредственно с помощью измерительных средств зафиксировать значение переменной в текущий момент времени. Наблюдаемая переменная – это либо измеренная, либо вычисленная на основе измеренных переменных переменная.

Понятие наблюдаемости можно проиллюстрировать следующим примером (рис. 1.13).

Рис. 1.13. Структурная схема неуправляемой системы

Очевидно, что эта система является ненаблюдаемой, так как не все переменные состояния X (t) могут быть восстановлены на основе выходного измеренного вектора Y (t) (ИЭ – измерительный элемент). Так, динамическая переменная x5 (t) является ненаблюдаемой.

Система автоматического управления (САУ) является идентифицируемой, если по вектору переменных состояний можно определить параметры модели.

Управляемость, наблюдаемость и идентифицируемость системы определяют по следующим критериям.

37

Пусть описание САУ представлено в терминах пространства состояния

вектор входных переменных; Y (t) – вектор выходных переменных; A – матрица коэффициентов системы; B – матрица входа системы; C – матрица выхода системы; D – матрица обхода системы.

Система будет управляемой только в том случае, если матрица управляемости имеет ранг n, где n – порядок системы (т.е. порядок вектора состояния X (t) ):

M y =[BM ABM A2 BMKAn−1B], (1.40) rank(M y ) = n.

Система будет наблюдаемой только в том случае, если матрица наблюдаемости имеет ранг n, где n – порядок системы (т.е. порядок вектора состояния X (t) )

rank(Mн) = n.

Система будет идентифицируемой в том случае, если матрица идентифицируемости имеет ранг n, где n – порядок системы (т.е. порядок вектора состояния X (t) ).

Mи = V (0)M AV (0)M (A)2V (0)MK(A)n−1V (0) , (1.42) rank(Mи) = n.

1.4.5. Идентификация линейной регрессионной модели

Наиболее распространенным методом оценивания параметров, служащим базовым подходом к параметрической идентификации, является метод наименьших квадратов, который в предположении линейности и дискретности во времени объекта приводит к наиболее простым и универсальным решениям. Задача состоит в следующем: по

38

имеющимся выборочным данным наблюдений за входным и выходным сигналами требуется оценить значения параметров, обеспечивающих минимум величины функционала невязки между модельными и фактическими данными:

представляет собой разность между выходом исследуемого объекта Y и реакцией, вычисленной по математической модели объекта Ym. Не-

вязка складывается из неточностей структуры модели, погрешностей измерений и неучтенных взаимодействий среды и объекта. Однако, независимо от происхождения возникающих ошибок, МНК минимизирует сумму квадратичной невязки значений.

В принципе, МНК не требует никакой априорной информации о помехе. Но для того чтобы полученные оценки обладали желательными свойствами, будем предполагать, что помеха является случайным процессом типа белого шума.

Важным свойством оценок по МНК является существование только одного локального минимума, совпадающего с глобальным. Поэтому оценка Am является единственной. Ее значение определяется

из условия экстремума функционала (1.43):

дJ = 0. (1.45)

дAm

Оценивание линейной системы по методу наименьших квадратов называется линейным регрессионным анализом благодаря линейному оператору модели.

Обратимся к основам линейного регрессионного анализа для оценивания параметров одномерных и многомерных линейных статических систем [7, 14, 19].

Рассмотрим линейную статическую систему, представленную на рис. 1.14, имеющую n входов U и один выход y .

Эта система может быть описана следующим линейным уравнением:

Рис. 1.14. Схема одномерной системы

u1

Используя серию измерений величин U = u2 и y в течение оп-

Mun

ределенного отрезка времени t [t0 , tk ], можно сформировать матрицу измерений величин U и Y следующим образом:

40