564

9. РАВНОВЕСИЕ ИДЕАЛЬНО-ПЛАСТИЧЕСКОЙ СРЕДЫ С БЫСТРООСЦИЛЛИРУЮЩИМ ПРЕДЕЛОМ ТЕКУЧЕСТИ

Задачи, рассмотренные в предыдущем разделе, были линейны (хотя стохастически они нелинейные). Здесь мы рассмотрим нелинейные уравнения равновесия пластической среды и покажем, как эффективно с ними позволяют справляться методы возмущений.

Существует технология получения мелкокристаллической структуры размером порядка сотни нанометров в поликристаллических металлах с обычным средним размером зерна, в соответствии с которой их подвергают интенсивным пластическим деформациям. К таким процессам относятся осадка с кручением, прессование сквозь канал в форме песочных часов или сквозь канал с резким изгибом (равноугловое прессование). Некоторые закономерности измельчения зерна в заготовках при использовании различных схем деформирования могут быть изучены с помощью математической модели квазистатического течения идеально-пластической среды с внутренней переменной характерного размера зерна.

Рассматриваемая модельная среда имеет неоднородные пластические свойства – слабо осциллирующий вокруг среднего значения предел текучести, колебания которого вызваны зеренной структурой среды. Предполагается, что характерный размер зерна d (период осцилляций предела текучести) много меньше характерного размера представительного объема D , для которого определяется среднее значение предела текучести, то есть d D (ниже будет использоваться обозначение D / d 1). Уравнения равновесия идеально-пластической среды с осциллирующим в пространстве пределом текучести имеют решением поле напряжений, также слабо осциллирующее в пространстве с периодом d .

Эволюция характерного размера зерна (периода осцилляций предела текучести) связывается с хрупким дроблением зерна пополам. Это происходит при достижении локальным максимумом критериальной функции инвариантов напряжений предельного значения.

Метод возмущений может помочь здесь в отыскании поля напряжений в среде с неоднородно распределенным пределом текучести. Для этого разумно использовать как малость амплитуды, так и высокую частоту осцилляций предела текучести в пространстве.

71

Итак, рассмотрим уравнения равновесия в напряжениях плоскодеформируемой идеально-пластической среды со слабо осциллирующим

впространстве пределом текучести :

x ,x ,y 0;

,x y ,y 0;

Для устранения радикалов в уравнениях равновесия используем подстановку Леви:

x p cos 2 ;

y p cos 2 ;

sin 2 ,

после чего уравнения принимают вид

Xx, Y y будут отвечать за медленное изменение полей.

Вответ на малые высокочастотные флуктуации предела текучести поля p, приобретают следующую структуру:

откуда, в частности, следует:

sin(2( )) sin 2 2 cos 2 ;

(9.4)

sin(2( )) cos 2 2 sin 2 .

72

Ниже рассматривается случай, когда 1, являющийся содержательным. Уравнения отдельно для средних и флуктуирующих полей получаются методом многих масштабов. Производные представляются в виде

Подставляем (9.2)–(9.5) в уравнения (9.1). На полученную систему (*) (которая не выписана из-за громоздкости) действуем оператором осреднения <> и оставляем в ней члены до первого порядка по включительно:

связь», вклад в равновесие медленно изменяющихся составляющих полей быстроосциллирующих составляющих. Затем вычитаем (9.6) из (*) и оставляем члены одного низшего порядка малости, в результате чего получаем уравнения равновесия быстроосциллирующих составляющих полей:

В коэффициенты и правую часть этих уравнений входит медленно изменяющееся поле . Задача в напряжениях (9.6)–(9.7) получается связанная, что определенно является достоинством модели.

Поле скоростей удовлетворяет уравнениям

Вследствие осцилляций компоненты приобретают структуру

73

откуда

с учетом (9.5), (9.9), (9.10) вышеописанную процедуру, получаем системы для медленно изменяющихся составляющих:

U ,X V ,Y 0;

и быстро изменяющихся составляющих:

Уравнения характеристик гиперболических систем (9.6) и (9.7) определяются их левыми частями и очевидно совпадают. Для (9.7) задача имеет вид

Решение системы (9.13) не единственно при равенстве нулю ее определителя, имеющем место на ортогональной системе кривых, задаваемых условием

Дальнейшее решение краевой задачи может быть выполнено методами, разработанными в теории идеально-пластических сред [17-18].

***

В заключение мы порекомендуем читателю работы [19-22], некоторым образом дополняющие список классических пособий по методам возмущений.

74

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1.Найфэ А. Введение в методы возмущений / А. Найфэ. – М.: Мир,

1984. – 535 с.

2.Найфэ А.Х. Методы возмущений / А.Х. Найфэ. – М.: Мир, 1974. – 454 с.

3.Боголюбов Н.Н. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний / Н.Н. Боголюбов, Ю.А. Митропольский. – М.: Наука, 1963.

– 408 с.

4.Крылов Н.М. Введение в нелинейную механику / Н.М. Крылов, Н.Н. Боголюбов. – Москва; Ижевск: Регулярная и хаотическая ди-

намика, 2004. – 352 с.

5.Ерофеев В.И. Волны в стержнях. Дисперсия. Диссипация. Нелинейность / В.И. Ерофеев, В.В. Кажаев, Н.П. Семерикова. – М.: Физмат-

лит, 2002. – 208 с.

6.Блехман И.И. О применении метода прямого разделения движений к расчету систем с распределенными параметрами / И.И. Блехман, С.Н. Гаврилов, Е.В. Шишкина // Известия вузов. Северо-кавказский регион. Естественные науки. – 2003. – Спецвыпуск. – С. 114–123.

7.Пановко Я.Г. Устойчивость и колебания упругих систем / Я.Г. Пановко, И.И. Губанова. – М.: Наука, 1968. – 336 с.

8.Уизем Дж. Линейные и нелинейные волны / Дж. Уизем. – М.: Мир,

1987. – 624 с.

9.Додд Р. Солитоны и нелинейные волновые уравнения / Р. Додд

[и др.]. – М.: Мир, 1988. – 697 с.

10.Янке Е. Специальные функции / Е. Янке, Ф. Эмде, Ф. Лёш. – М.: Наука: Физматлит, 1968. – 344 с.

11.Кудряшов Н.А. Аналитическая теория нелинейных дифференциальных уравнений / Н.А. Кудряшов. – Москва; Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2003. – 360 с.

12.Кащеев В.Н. Эвристические методы получения решений нелинейных уравнений солитоники / В.Н. Кащеев. – Рига: Зинатне, 1990. – 189 с.

13.Киряков П.П. Приложение симметрий и законов сохранения к решению дифференциальных уравнений / П.П. Киряков, С.И. Сенашов, А.Н. Яхно. – Новосибирск: Изд-во СО РАН, 2001. – 192 с.

14.Ludu A. Nonlinear waves and solitons on contours and closed surfaces / A. Ludu. – Berlin; Heidelberg: Springer-Verlag, 2007. – 465 p.

75

15.Бахвалов Н.С. Осреднение процессов в периодических средах / Н.С. Бахвалов, Г.П. Панасенко. – М: Наука, 1984. – 352 с.

16.Победря Б.Е. Механика композиционных материалов / Б.Е. Победря. – М.: Изд-во МГУ, 1984. – 336 с.

17.Качанов Л.М. Основы теории пластичности / Л.М. Качанов. – М.: Наука, 1969. – 420 с.

18.Радаев Ю.Н. Пространственная задача математической теории пластичности / Ю.Н. Радаев – Самара: Самарский университет, 2006. – 340 с.

19.Аэро Э.Л. Краевая задача асимметрической теории упругости в квазиклассическом приближении / Э.Л. Аэро // Прикладная математика и механика. – 1972. – Т. 36. – Вып. 2. – С. 282–290.

20.Долгих Д.В. Модель изгибов гидростатически сжатой оболочки вблизи порога ее устойчивости / Д.В. Долгих , В.В. Киселёв // Прикладная механика и техническая физика. – 2007. – Т. 48. – № 6. – С.124–134.

21.Киселёв В.В. Узоры из вмятин на поверхности продольно сжатой не-

линейно-упругой цилиндрической оболочки / В.В. Киселёв, Д.В. Долгих // Прикладная математика и механика. – 2007. – Т. 71. – Вып. 3. – С. 511–536.

22.Радченко В.П. Статистические характеристики полей напряжений и деформаций при установившейся ползучести стохастически неоднородной плоскости / В.П. Радченко, Н.Н. Попов // Известия вузов. Машиностроение. – 2006. – №2. – С. 3–11.

76

77