564

Последнее является разумным допущением для неупругих деформаций металлов. Характер физической нелинейности ( ) будет разыскиваться из условия существования солитоноподобных решений для профиля боковой поверхности.

Ось x принимается совпадающей с осевой линией бесконечной полосы, а ось z ей ортогональна. Необходимо учесть, что в текущей конфигурации полоса растягивается вдоль образующей со скоростью деформации 0 ; если

Движение (7.4) будем называть основным.

На верхней свободной границе z(x,t) b(t) (x,t) , где – возмущение прямолинейной формы верхней границы полосы, имеем силовые граничные условия:

11n1 12n2 0 ;12n1 22n2 0 .

Нижняя свободная граница полагается симметричной относительно осевой линии. Следует обратить внимание, что для шейки 0 . Если уравнение верхней свободной границы представить в неявном виде f b z 0 , то

n1 fx / | f | ,x / | f |,

n2 fz / | f | 1/ | f | ,

и силовые граничные условия примут вид

Записываем условие совместности на свободной границе: b v1 ,x v2 0 .

Если принять следующее обозначение:

51

то последнее условие перепишется в виде

Неизвестные поля представляем гидростатическим давлением и функцией тока несжимаемого (непотенциального!) поля скоростей в виде разложения по степеням z :

n 0

откуда

n 0

Примем, что в начале координат v1 v2 0 , тогда оказываются уместными следующие представления:

p0 0 , 1 0 x ,

где 0 ( 0 ).

Учтем симметрию возмущения вида шейки, при этом поле v2 должно содержать только четные степени z , то есть 0 2 4 ... 0 . В итоге

v1 n n zn 1,

n 1,3,5..

v2 n zn .

n 1,3,5..

Нам понадобятся следующие выражения:

v1,x n n zn 1 ;

n 1,3,5..

52

v1,xz n(n 1) n zn 2 ;

n 3,5..

v1,zz n(n 1)(n 2) n zn 3 ;

n 0

p,z npn zn 1 ;

n 1

а также выражения, входящие в уравнения равновесия:

z ( v1,x ) ((m 1) z v1,x v1,xz ) ;

x ( 2 (v1,z v2 ,x )) 2 ((m 1) x (v1,z v2 ,x ) v1,xz v2 ,xx ) ;

z ( 2 (v1,z v2 ,x )) 2 ((m 1) z (v1,z v2 ,x ) v1,zz v1,xx )

53

(в последнем использовано следствие условия несжимаемости v2 ,xz v1,xx ).

Впоследних выражениях фигурируют:

(v12 ,x 14 (v1,z v2 ,x )2 )1/2 ;

x 1 (v1,x v1,xx 14 (v1,z v2 ,x )(v1,xz v2 ,xx )) ;

z 1 (v1,x v1,xz 14 (v1,z v2 ,x )(v1,zz v1,xz )) .

Уравнения равновесия принимают вид

p,x (m 1)[ x v1,x 2y (v1,z v2 ,x )] v1,xx 12 (v1,zz v1,xx ) 0 ;

p,z (m 1)[ y v1,x 2x (v1,z v2 ,x )] v1,xz 12 (v1,xz v2 ,xx ) 0 .

Будем считать, что коэффициенты при старших производных суть константы, соответствующие основному состоянию. В этом случае v1,z v2 ,x 0 ,

v1,x 0 и

2 p,x (2m 1)v1,xx v1,zz 0;

(7.10)

2 p,z (2m 1)v1,xz v2 ,xx 0.

Далее также будет считаться, что m(ln ) const . Данная гипотеза соответствует степенной аппроксимации (с постоянным показателем m, соответствующим основному состоянию) свойств рассматриваемой нелинейно-вязкой среды. В данной постановке физическая нелинейность учтена слабо, но можно рассмотреть лучше соответствующие эксперименту приближения, в которых m – линейная или квадратичная функция своего аргумента ln , или же, счи-

ний, соответствующих постоянным m1 и m2 . Итак, принимается, что m(ln ) const .

В терминах функции тока v1 ,z , v2 ,x следствием (7.10) в рамках сформулированной гипотезы является известное в задаче устойчивости вязкопластической полосы уравнение

54

,xxxx 2(2m 1) ,xxzz ,zzzz 0 ,

полученное в работах А.А. Ильюшина и А.Ю. Ишлинского. Окончательно получаем систему уравнений:

55

Далее члены более высокого порядка малости, чем явно выписанные, будут опускаться. Из полученных выражений следует:

56

Теперь выражения (7.12)-(7.17) можно подставить в граничные условия (7.5), (7.7) с учетом того, что на свободной поверхности z b . Но предварительно имеет смысл обезразмерить входящие в них переменные. Изучая уравнения (7.5), (7.7), (7.12)–(7.17), естественным образом определяем безразмерные (помечены чертой сверху) продольную независимую переменную

x bx ;

возмущение границы

b ;

поперечную координату свободной поверхности z b(1 ) ;

время

t 01t ;

значение функций

0b ,

0 .

Сучетом всего этого выписываем граничные уравнения (7.5), (7.7) в безразмерных переменных, опуская черту, поскольку размерные переменные нам больше не понадобятся:

(x 12 (2m 1)(1 )2 (1 )2 ) (1 )

16 (2m 1)(1 )3 13 (1 )3 0. (7.20)

Для рассматриваемой задачи не удается связать временной и пространственный масштабы из линейной задачи. Линеаризация (7.18) – (7.20) ведет к следующей системе:

57

Исключая из первого уравнения и интегрируя его с учетом отсутствия возмущений боковой границы на бесконечно удаленных концах полосы, получаем связь

Исключая с помощью нее из последнего уравнения системы (7.21), окончательно имеем линеаризованное уравнение динамики профиля свободной поверхности:

Анализ точечных групп этого уравнения позволяет найти подстановку:

f ( ) , kx et , (7.24)

соответствующую бегущей волне и удовлетворяющую граничным условиям на бесконечно удаленных концах: (x ) 0 . Эта подстановка позволяет растягивать пространственную переменную, но по временной переменной допускается только сдвиг, поскольку et можно представить как et t0 , гдеet0 . Такое сочетание преобразований не позволяет связать пространственный и временной масштабы в длинноволновом приближении (как это делалось выше при изучении волн на воде).

Поэтому вместо более удобной редуктивной теории возмущений далее используется метод многих масштабов. Наряду с обычными x и t рассматриваются растянутые переменные x и t . Производные преобразуются следующим образом:

Подстановка (7.25) и (7.26) в (7.18)–(7.20) ведет к следующим уравнениям:

58