564

0 , f0 , 0; f0 , 0 , 0;

1, f ,1 0 , f0 0 , 0 f0 , 16 f0 , ; f1, 1, f0 , f0 f0 , 12 f0 , .

Учитывая этот результат и складывая уравнения второй системы, сразу полу-

чаем уравнение Кортевега – де Фриза

Получим решение в виде бегущей волны, зависящее от автомодельного ком-

Это уравнение с учетом тождества (g2 ), 2gg, и граничных условий на бесконечно удаленных краях интегрируется:

g 34 g2 16 g, 0 .

Умножая это уравнение на g, и проделывая несложные манипуляции:

41

где a – размерная амплитуда безразмерного g (желающим разобраться в построении решений уравнений солитоники порекомендуем книги [11,12]). Подставляя в уравнение (5.28) вид решения (анзатц) (5.29) и учитывая, что

и эквивалентное ему уравнение ( a 0)

(4 2 6 )sh2 ( ) 6 3 ah 0 ,

из которого следуют два условия существования решения в форме (5.29):

то есть безразмерная амплитуда волны a / h имеет порядок квадрата малой безразмерной обратной длины волны h / :

В процессе ослабления нелинейности задачи мы сначала приняли гипотезу (5.14’) о том, что длина волны велика по сравнению к характерным масштабом – глубиной воды, то есть h . Затем выбором p 2 в рядах (5.24) была фактически принята гипотеза о малости амплитуды волны по отношению к глубине воды, то есть a h . Соотношение (5.32) между малыми параметрами означает, что a , то есть гипотезу о длинных пологих волнах.

Возвратимся теперь в аргументе (5.29) к исходным переменным:

42

Отсюда видно, что безразмерная скорость распространения колоколообразной уединенной волны (5.29) 1 4 отчасти зависит от ее амплитуды пропорционально четвертой степени, а также от длины волны обратно второй степени. Полученное уравнение Кортевега – де Фриза – уравнение распространения длинных пологих волн – обладает интересными свойствами. В частности, все уединенные волны распространяются влево. Если рассматриваются две уединенные волны с различным , а следовательно, скоростью распространения (то есть быстрая волна догоняет медленную), то после взаимодействия обе волны сохраняют свою форму и продолжают свое движение с неизменными скоростями в том же направлении. Единственным результатом обгона оказывается сдвиг фаз обеих волн. За такую подобную частицам стабильность уединенные волны уравнения Кортевега – де Фриза называют солитонами. Уравнение Кортевега – де Фриза очень универсально, оно возникает не только в теории волн на мелкой воде, но и в физике плазмы, метеорологии, теории электрических цепей и многих других областях. Профиль солитона (5.29) изображен на рис. 5.2.

Рис. 5.2. Профиль солитона уравнения Кортевега – де Фриза

Следует обратить внимание на специальную разновидность метода многих масштабов, использованную нами выше и применяемую в теории волн. Выбор крупномасштабных (в данном случае) пространственных и временных независимых переменных подсказан дисперсионным уравнением. Очевидно, тем самым задача сильно упрощается. Например, в рассмотренной задаче мы избавляемся от целого ряда переменных: x,t, t, 2 x . Эта разновидность мето-

да многих масштабов называется редуктивной теорией возмущений [9].

43

6.ГРУППОВОЙ СОЛИТОН НА ПОВЕРХНОСТИ ВОДЫ

Вконце 60-х годов было показано, что периодическая волна на глубокой воде неустойчива, поэтому волны на воде разбиваются на группы, волновые пакеты. Примем без вывода, что несущая периодическая волна на глубокой воде описывается модифицированным уравнением Кортевега – де Фриза [10] (в работе [9] для этой цели взято нелинейное уравнение Клейна – Гордона):

Наряду с обычными переменными x,t , в которых описывается движение несущей волны, введем набор медленных, крупномасштабных независимых переменных, в которых будет описываться движение огибающей волнового пакета:

где – некоторый малый параметр, определяющий пространственный и временной масштабы огибающей пакета сравнительно с соответствующими масштабами несущей волны.

В соответствии с методом многих масштабов будем искать решение уравнения (6.1) в виде

где 0 , 1, 2 есть функции x,t, , , 1 . Операторы дифференцирования в (6.1) заменяем операторами в частных производных:

Подставляя (6.3), (6.4) в (6.1) и приравнивая коэффициенты при степенях нулю, получаем цепочку уравнений:

44

Решением первого является функция

где фаза

а звездочкой обозначено сопряженное значение комплексной амплитуды a . Учитывая (6.8) и (6.9), из уравнения (6.6) получаем:

Сейчас нам понадобится ввести понятие групповой скорости. В задачах мы вынуждены иметь дело не с монохроматической волной, а с группой таких волн, волновые числа и круговые частоты которых располагаются в окрестности некоторого значения. Пусть пара таких волн задается выражениями

u1(x,t) a cos(kx t),

u2 (x,t) a cos((k k)x ( )t),

тогда их сумма

u(x,t) u1(x,t) u2 (x,t)

2a cos(12 kx 12 t)cos((k 12 k)x ( 12 )t).

Из последней формулы видно, что амплитуда суммарной волны

A(x,t) 2acos(12 kx 12 t)

меняется с течением времени (рис. 6.1). Скорость распространения волны в этом случае может быть обобщена как скорость распространения ее максимума. Для огибающей рассматриваемого пакета из двух волн в пределе мы будем иметь

Это и есть групповая скорость.

45

2 ,t 2 ,xxx ika3 exp(3i ) ika 3 exp( 3i )

(a, 1 3ika, ika2a )exp(i ) (a , 1 3ika , ika 2a)exp( i ). (6.14)

Два последних члена в правой части (6.14) резонируют с левой его частью, вызывая расходимость ряда (6.2), поэтому мы накладываем ограниче-

называемое нелинейным уравнением Шрёдингера. Аналогичное уравнение можно получить, рассматривая распространение группы волн, описываемых некоторыми другими нелинейными уравнениями. Нелинейное уравнение Шрёдингера, как и уравнение Кортевега – де Фриза, широко применяется при

здесь p2 . Уравнение (6.19) один раз интегрируется таким же методом,

какой был использован в предыдущей главе, в результате получается также интегрируемое уравнение

47

Качественный вид решения (6.22) приведен на рис. 6.2. Это групповой солитон. Волны под огибающей движутся со своей скоростью, отличной от групповой скорости. Обычно в зависимости от начальных условий под огибающей располагаются 14-20 волн, средняя из которых – самая высокая. С этим связан хорошо известный факт, что самая высокая из группы волн в штормящем океане вероятнее всего будет восьмой или девятой.

Рис. 6.2. Групповой солитон

Заметим, что добавки более высокого порядка малости в ряде (6.2) усеченной последовательностью уравнений (6.5)–(6.7) не определяются.

48

7. «БЕГАЮЩИЕ ШЕЙКИ» ПРИ РАСТЯЖЕНИИ СВЕРХПЛАСТИЧЕСКОГО ОБРАЗЦА

В высокотехнологичных процессах обработки металлов давлением используется режим сверхпластичности, характеризующийся аномально большими неупругими деформациями. С точки зрения механики фундаментальный интерес представляют наблюдаемые в экспериментах на одноосное растяжение замораживающиеся или бегающие шейки - уединенно-волновые формы искажения свободной поверхности образца. Стабильность шейки по отношению к ее росту гарантирует дальнейшее развитие деформации и, вероятно, связана с балансом некоторых противоборствующих процессов.

Сверхпластичные материалы имеют нелинейно-вязкую реологию с характерным сигмаидальным видом кривой зависимости интенсивности тензора напряжений от интенсивности тензора скоростей деформаций в двойных логарифмических координатах ln (ln ) (рис. 7.1, а) или эквивалентным колоколообразным видом зависимости чувствительности к скорости деформаций от логарифма интенсивности тензора скоростей деформаций m(ln ) d ln / d ln

(рис. 7.1, б). Простейшая постановка задачи – квазистатическое растяжение не- линейно-вязкой полосы со свободной границей. Кроме физической нелинейности, эта задача имеет нелинейность, вызванную наличием свободной поверхности. Имеет смысл исследовать возможности слабо нелинейной постановки задачи в сочетании с методами возмущений для ее решения.

Итак, рассмотрим квазистатическое растяжение бесконечной нелинейновязкой полосы (см. рис. 7.2). Имеем следующие полевые уравнения:

– уравнения равновесия

49