564

Как уже говорилось, экспоненциально-автомодельной подстановкой (7.24) уравнение (7.33) приводится к обыкновенному дифференциальному уравнению. Мы рассмотрим частные случаи (7.24), соответствующие бегущей волне:

Подставляя (7.35) или (7.36) в (7.33), получаем обыкновенное дифференци-

где – функция Куммера, а функция a( , ) не известна. Для ее определения нужно выписать условие отсутствия резонансов в системе (7.34) или, другими словами, условие равномерной сходимости ряда (7.26). Можно убедиться, что выполнение этого условия гарантировано при

влетворяет типичным для солитоники граничным условиям f ( ) 0

61

на «краях» автомодельной переменной (кстати, при таких m гарантированно

левая часть (7.40) в этом пределе не резонирует с правой и в последующих членах ряда показатель степени асимптотики 2 1 (именно асимптотика решения при определяет условие существования уединенной волны). Решение (7.39) доказано. Тем самым доказана равномерная сходимость прямого метода в данной задаче.

Форма уединенных волн при m 1 и при m 1 различается. При m 1 решение – тождественно нулевая функция. На всем интервале m 1 форма уединенной волны унимодальна (рис. 7.3, а), причем в пределе m ока-

зывается гауссова функция f ( ) a exp( ) . При значениях параметра m ,

располагающихся левее точки m 1 вблизи нее, уединенная волна имеет форму, напоминающую групповой солитон (рис. 7.3, б). По мере уменьшения параметра m число осцилляций уменьшается (рис. 7.3, в) и в пределе

Полученные результаты интерпретируются следующим образом. Если свободную поверхность квазистатически растягиваемой полосы возмутить по форме (7.38), соответствующей текущему значению m чувствительности к скорости деформаций, то данная форма возмущения будет сохраняться либо двигаться вдоль полосы (см. формулы (7.35), (7.36)). Устойчивость стационарного решения относительно боковых движений может быть исследована только в динамической постановке. Переходный процесс формирования уединенной волны из возмущения произвольной формы здесь не рассмотрен. Такого рода решения «потерялись», поскольку мы решили ограничиться ин- вариантно-групповыми решениями, находимыми более просто. Тем не менее ценность полученных результатов очевидна. Математический аппарат, необходимый для решения задач солитоники, можно найти в работах [11–14].

62

Рис. 7.3. Формы уединенной волны (7.38)

63

Следует также отметить, что малым параметром в данной задаче явилось отношение амплитуды волны к полуширине полосы. Это стало ясным только после того, как определились показатели s,q, p (после (7.30)). Пологости волны в этой задаче не требуется.

Интересна природа солитонов в рассмотренной задаче. Асимптотика, соответствующая s q p 1, уже в уравнении первого приближения (7.33) оставила диссипацию 0 ,xx и нагружение x 0 ,x – ведущие члены, формирующие солитон.

Поскольку задача оказалась линейной, (7.38) дает не амплитуду, а только форму солитона. Поэтому будем считать a 1. Практический интерес представляют решения (7.38) для m 1. В этом случае 1 0 и 2 0 . Вблизи точки 0 решение (7.38) имеет разложение в степенной ряд, начинающееся с членов

Параметр отвечает исключительно за форму лунки и не зависит от ее глубины. Измеряя в эксперименте отношение ширины лунки на половине ее глубины к этой глубине, можно определить значение чувствительности к скорости деформации:

Этот результат может быть проверен экспериментально. Он может иметь важное практическое значение в сверхпластичности – для экспресс-регистрации текущего значения чувствительности к скорости деформации по форме образующихся в данный момент времени шеек. Обычно определение текущего значения m требует реализации сложной программы испытания повторения циклов нагружения, стабилизации ползучести, релаксации. Кроме того, традиционный метод не позволяет определять локальные значения m .

64

8. РАВНОВЕСИЕ УПРУГОЙ СРЕДЫ С ПЕРИОДИЧЕСКОЙ СТРУКТУРОЙ

Рассмотрим линейно-упругие среды с периодической структурой – композиты, каркасные строительные конструкции, среды с периодически расположенными полостями и трещинами и тому подобные, описываемые моделью сплошной среды. С математической точки зрения следствием периодичности структуры оказывается периодичность упругих констант. Использование метода возмущений позволяет определить эффективные упругие свойства такой среды и осцилляции поля напряжений, что необходимо для решения задач прочности. Важнейшие результаты в этой области получены Н.С. Бахваловым и Б.Е. Победрей, читателю мы рекомендуем их прекрасные монографии [15, 16].

Мы продемонстрируем метод на простейшем одномерном примере. В уравнении равновесия

коэффициент жесткости C( ) – периодическая функция с периодом 1, а быстроосциллирующий характер ее изменения отражен в структуре ее аргумента , где 1. На поле перемещения накладываются граничные условия

u(0) 0, u(1) 1. (8.2)

В (8.1)–(8.2) x полагается отнесенным к длине отрезка, а u – к правому граничному значению. Решение задачи (8.1)–(8.2) в соответствии с методом многих масштабов ищем в виде

где медленные x и быстрые переменные считаются независимыми, а производную в уравнении (8.1) представляем в виде

Подставляя (8.3), (8.4) в (8.1), получим:

(C(u0 ,x 1u0 , u1,x u1, 2u2 ,x u2 , )),x

(C( 1u0 ,x 2u0 , u1,x 1u1, u2 ,x u2 , )), 0.

65

Приравнивая нулю коэффициенты при степенях малого параметра, начиная со старшей 2 , получаем рекуррентную цепочку уравнений:

1:(Cu2 , ), (Cu0 ,x ),x (Cu1, ),x (Cu1,x ),

(при рассмотрении трех членов ряда (8.3) большее число уравнений не потребуется). К уравнениям (8.5) присоединяем соответствующие граничные условия по x , получаемые из (8.2) и (8.3):

Применим теперь его к обеим частям уравнения (8.7). С учетом периодичности u0 по левая часть есть нуль:

1

u0 , du0 0 ,

0

поэтому

(x) C 1 ( ) 0 ,

откуда следует, что

(x) 0

66

и из (8.7) u0 не зависит от , то есть

С учетом (8.9) перепишем второе уравнение (8.5) в виде

(Сu1, ), (Cu0 ,x ), .

Отсюда следует, что

u1, u0 ,x (x) , C( )

где (x) – некоторая функция. К этому равенству также применяем оператор осреднения с учетом периодичности u1 по :

где ˆ – среднее гармоническое функции C( ) ,

Ñ

Таким образом,

ˆ

u1, ( Ñ 1)u0 ,x , C( )

откуда

Из выписанной системы уравнений (8.5) дополнительную функцию (x) найти не представляется возможным, поэтому она полагается равной нулю:

(x) 0 .

Наконец, осредняя третье уравнение (8.5) с учетом периодичности по u1,u2 и C , получаем:

67

1

((Cu0 ,x ),x (Cu1, ),x )d 0 ,

0

откуда с учетом (8.10) следует уравнение равновесия среды с эффективной

жесткостью ˆ :

C

Компонента перемещения u0 не содержит периодических составляющих, вызванных периодическим изменением жесткости C в пространстве и определяется уравнением (8.12) с усредненной жесткостью.

Приближение, содержащее u1 , позволяет найти осцилляции поля напряжений. Напряжения

Сu,x

сучетом (8.3), (8.4) и (8.11) выражаются таким образом:

Рассмотрим пример. Стержень составлен из чередующейся последовательности элементов равной длины, но различных упругих свойств

значения которых относены к первому из них. Функция (8.14) должна быть периодически продолжена на всю область определения x . Стержень подвергается растяжению согласно граничным условиям (8.2). Найдем сначала по формуле (8.10) эффективный упругий модуль:

Из (8.12) с учетом (8.9) и первых граничных условий в (8.6) находим поле среднего перемещения

68

Малая добавка должна быть продолжена на весь отрезок изменения x [0;1]

с учетом εx . Из (8.13) следует, что в рассматриваемом случае напряжения в стержне однородны:

что является следствием одномерности задачи и прямо следует из уравнения равновесия ,x 0 .

В двумерных и трехмерных задачах получаются качественные картины перемещений, подобные приведенным на рис. 8.1 [15, рис. 15]. Ясно, что в переходных зонах матрица-включение в данном случае будут иметь место локальные всплески напряжений, соответствующие максимальным градиентам профиля перемещения.

70