564

Решения уравнений (1.18) имеют вид

а (1.15) принимает вид

y0 ae x be x

или в терминах исходной переменной

y0 ae x be x/ x .

Подстановка y0 в разложение (1.11) приводит к следующему решению:

Наличие двух произвольных постоянных в (1.19) позволяет удовлетворить обоим граничным условиям (1.2). Имеем для этого систему:

a b , e 1a e 1/ 1b .

Это приближение очень хорошо согласуется с точным решением, что видно из непосредственного сравнения выражений (1.6) и (1.20).

Более важным оказывается то, что намечена процедура, позволяющая строить приближенные решения дифференциальных уравнений погранслоя с равномерной сходимостью по независимой переменной.

11

2. СЛАБОВЯЗКИЙ ОСЦИЛЛЯТОР

Рассмотрим простейшее уравнение, описывающее свободные колебания системы с одной степенью свободы и затуханием. Для конкретности пусть это будет частица массой m , связанная с неподвижной опорой пружиной жесткостью k и параллельно демпфером вязкостью . Перемещение частицы относительно состояния равновесия обозначим u(t) , тогда уравнение,

Пусть вязкая сила в системе будет малой по сравнению с упругой силой. При полном отсутствии вязкости уравнение (2.1) превращается в уравнение колебаний:

u 0u 0,

(черта опущена, поскольку размерные переменные более не используются). Здесь – малый параметр, представляющий собой меру отношения вязкой

и упругой сил, 12 / km .

Попытаемся, используя наличие в задаче (2.3)–(2.4) малого параметра, искать ее решение в виде прямого разложения:

Подставим разложение (2.5) в уравнение (2.3):

(u0 u1 2u2 ...) 2 (u0 u1 2u2 ...) u0 u1 2u2 ... 0 .

12

Собирая коэффициенты при линейно независимых степенях малого параметра и приравнивая их нулю, получим систему последовательно решаемых уравнений:

Начальные условия для функций u0 ,u1,u2... получаются аналогичным образом после подстановки (2.5) в (2.4):

где a, – константы, определяемые начальными условиями (2.9). Тогда уравнение (2.7) принимает вид

13

Частное решение uˆ2 будет содержать вековые члены (множители в виде степеней t ), старший из которых 12 t2 cos(t ) . Сейчас уже можно увидеть дефект прямого метода. Для этого достаточно подставить в разложение (2.5) найденные функции u0,u1,u2,... , выделяя в них части со старшими вековыми членами:

Полученный ряд будет сходиться неравномерно для времен t 1 , что нас при изучении рассматриваемой динамической системы, конечно, не устроит.

Чтобы понять причину неравномерности сходимости ряда (2.17) для различных t и указать метод, следуя которому можно построить равномерно пригодное асимптотическое разложение, обратимся к точному решению

то мы получим уравнение для определения параметра :

где звездочка обозначает сопряжение комплексной произвольной постоянной с , a 2Rec . Разлагая в ряд входящий в решение радикал:

1 2 1 12 2 18 4 ... ,

мы уже можем увидеть, что параметр t входит в решение как самостоятельно, так и в связке с :

14

Разлагая решение (2.20) в степенной ряд по , мы столкнемся с теми же проблемами неравномерности его сходимости по параметру t , какие имели при использовании прямого метода. Попытаемся, как в предыдущей главе, считать искомые функции u0 ,u1,u2... зависящими от аргументов (2.21) как независимых переменных, то есть вместо (2.5) использовать ряд

Требование отсутствия вековых членов для равномерной сходимости ряда (2.22) может быть обеспечено условием

15

ибо для определения двух нетривиальных произвольных функций переменных , 1 в рамках (2.22) у нас все равно не хватит условий. Последнее из рассматриваемых уравнений, (2.27), с учетом (2.28), (2.31), (2.32) принимает вид

u2 ,tt u2 (2ib, 1 b)exp( )exp( it)

Условие отсутствия вековых членов ведет к уравнению относительно b( 1) :

2ib, 1 b 0 ,

решение которого имеет вид

Теперь, подставляя (2.28), (2.31), (2.32), (2.34) в ряд (2.22), получаем ре-

шение

u b0 exp( ) cos(t 12 1 ) O( 2 )

или, после возвращения к переменной t ,

малых второго порядка. Это решение описывает затухание амплитуды и эффект малого уменьшения частоты, вызванный наличием вязкости. Мы вновь убедились в работоспособности метода многих масштабов.

***

Вообще, существует несколько методов возмущений, обеспечивающих равномерность сходимости асимптотического ряда. В данном пособии мы ограничимся только одним из них – методом многих масштабов.

16

Остаются вопросы: всегда ли нужны эти методы? В каких ситуациях удовлетворительным оказывается прямое разложение? В работе [2] указаны некоторые «флаги», показывающие, когда прямое разложение может приводить к неравномерности разложения. Два из них продемонстрированы выше:

бесконечные области изменения независимых переменных;

малый параметр при старшей производной.

К другим, не попавшим в настоящее пособие, относятся:

изменение типа уравнения в частных производных;

наличие особенностей.

В первом случае неравномерность разложения заявляет о себе появлением вековых членов. Во втором она связана с тем, что разложение возмущения не может удовлетворить всем граничным и начальным условиям и становится непригодным в граничных и начальных слоях. Поскольку корректная постановка начально-краевой задачи зависит от типа уравнения в частных производных, неравномерность сходимости может возникнуть в случае, когда тип возмущенного уравнения отличается от типа исходного уравнения. В последнем случае возмущение может привести к возникновению особенностей, отсутствующих в нулевом приближении и становящихся все более выраженными в последующих членах ряда. В общем же у нас всегда имеется возможность непосредственной проверки равномерности сходимости прямого метода в каждом конкретном случае.

17

3. СЛАБОНЕЛИНЕЙНЫЙ ОСЦИЛЛЯТОР

До сих пор в примерах мы ограничивались лишь линейными системами. Однако методы возмущений (в частности, метод многих масштабов) наиболее эффективны для решения нелинейных задач. Рассмотрим еще одну динамическую систему, решаемую точной описываемую уравнением Дуффинга. Последнее появляется при описании колебаний частицы с возвращающей силой, кубично зависящей от перемещения:

После обезразмеривания, аналогичного использованному в предыдущей главе, это уравнение принимает вид

Здесь принято, что

k2u02 / k1 1.

Начальные условия записываются в форме (2.4):

Еще раз проделаем все, что делали ранее для рассматриваемых систем. Начнем с прямого метода. Ищем решение в виде

18

где a, - константы, определяемые начальными условиями (3.2). Тогда уравнение (3.6) принимает вид

Здесь было использовано тригонометрическое тождество для куба косинуса. В этом уравнении одно из слагаемых правой части является решением его однородной части, а следовательно, соответствующее ему частное решение имеет вековой вид:

uˆ1 83 a3t sin(t ) .

Частное решение, соответствующее другому слагаемому правой части, uˆ1 321 a3 cos(3(t )) ,

так что частное решение всего линейного уравнения (3.8) представляет собой суперпозицию:

uˆ1 83 a3t sin(t ) 321 a3 cos(3(t )) .

Нас интересуют прежде всего вековые члены, нарушающие равномерность разложения (3.3). Поэтому мы, даже не решая полностью уравнение (3.8), можем записать начало разложения (3.3):

где невыписанный остаток ряда будет содержать как члены порядка малостии выше, так и члены типа 2t2 , 3t3 ,... , чей порядок малости зависит от малости параметра t . Сходимость такого ряда ограничена довольно малым отрезком времени, t 1 , то есть неравномерна.

Здесь мы опять вынуждены обращаться к специальным методам возмущений. Чтобы увидеть, что в данной задаче наряду с обычной имеется медленная динамика, развивающаяся в шкале времени t , исследуем структуру точного решения нашей задачи.

Для этого умножим уравнение (3.1) на u , после чего один раз проинтегрируем его с учетом начальных условий (3.2):

этих функций зависит от состояния системы, но их сумма не изменяется, поскольку система консервативна, то есть интеграл (3.10) выражает закон сохранения энергии.

19

Качественный вид решения u(t) можно исследовать с использованием фазовой плоскости (u,u) , анализируя рельеф функции энергии системы E(u,u) K (u) U (u) . По математическим вопросам, связанным с осциллято-

рами с простейшими нелинейностями, рекомендуем обратиться к работе [5]. Рельеф энергетической функции изображен на рис. 3.1. Периодическому движению соответствуют интегральные кривые, представляющие собой замкнутые траектории. Такой режим существует при следующих условиях для

начальных данных: E(1, ) 14 1 и 1. Переходная кривая, разделяющая периодические и неограниченные движения, соответствующая E(1, ) 14 1 ,

называется сепаратрисой.

Рис. 3.1. Функция энергии системы для уравнения Дуффинга: а – рельеф потенциальной энергии, б – линии равной энергии на фазовой плоскости

20