Пластичность Часть 1. Упруго-пластические деформации

Зная коэффициенты b0, bv можно сказать, как расклепывается конец стержня при ударе. Если начальный радиус круглого сечения стержня обозначить г0, то из условия несжимаемости имеем значение г после удара:

г=*=

итангенс угла наклона образующей —

ъФХ'щко 2(1_ер*

Ив (7.33) ясно, что деформация конца стержня зависит только от скорости удара ®0, но не от массы т, в то время как угол наклона образующей зависит главным образом от массы ударяющего тела.

Приведённые результаты принадлежат Рахматулину М. Дальней­ шее развитие проблемы продольного упруго-пластического удара дано в работах Шапиро №, который рассмотрел случай произвольной зависимости о-е и произвольного закона изменения давления на конце стержня. Он дал прямой численный метод определения волны Рахматулина.

§ 46. Распространение волн, возникающих при поперечном

ударе по гибкой деформируемой нити.

Приводимая ниже задача о поперечном ударе твёрдого тела по натянутому упруго-пластическому гибкому стержню поставлена и ре­ шена Рахматулиным W.

в направлении первоначальной прямой, по которой была расположена нить, и перпендикулярно к ней в сторону удара. Обозначая через р0

где через е обозначено относительное, удлинение элемента нити, т. е.

Эти величины являются безразмерными и потому могут зависеть только от безразмерных параметров, которые можно составить из всех встречающихся в задаче величин. Кроме длины $0, можно со­ ставить лишь единственную величину v0t, имеющую размерность длины, и потому ясно, что х я у будут зависеть от их комбинации:

Внося значения х, у согласно (7.38) в уравнения движения и при­ нимая во внимание сказанное выше, получим два обыкновенных диф­ ференциальных уравнения:

(7.40)

+y y i s[pn;(i+.j] ■

Это— линейные и однородные относительно х", у" уравнения, и по­ тому допускают решение:

отсюда же вытекает возможность прямолинейного состояния и равно­

рывов (точек перелома); уа— углы наклона участков нити; ev е9, e'v е '— удлинения на соответствующих участках; ро— угол встречи

тела и нити при ударе. Из перечисленных величин заданы: v0, е0, Та и упруго-пластическая характеристика нити —

жение её на участке /.

Условие неизменяемости массы элемента длиною Щ dt на участке Г

Следовательно, окончательно уравнение (7.63) будет иметь вид:

Таким образом в рассматриваемом случае задача свелась к решению уравнения (7.69), (7.70) и (7.71). Например, если положить Т — Ее> то из соотношений (7.66) найдём:

и — а0(е — е0), b = a0V e (1 + e j — а0(е — е0). (7.72)

Уравнения (7.70) и (7.71) дают:

62+ ^ = (й + «)2 = а?(1 + «)«,

или

v0^ y r 2(e — e0)V e ,

где ^0 =s — . Отсюда в случае отсутствия начального натяжения:

ао

Пользуясь (7.71), находим:

t g T« l , 2 5 j T

Уравнение (7.75) показывает, что угол 7 имеет большую величину даже при малых скоростях. Найдём величину скорости, которая для железной проволоки вызывала бы предельные упругие деформации* Пусть е8*= 0,002. Тогда (7.74) даёт:

Таким образом для перехода материала проволоки за предел упру­ гости требуются значительные скорости. При ударе по сильно натя­ нутой нити с малыми скоростями можно принять e t t e Q. В этом случае из формулы (7.72) имеем:

Как и следовало ожидать в этом случае, скорость распространения волны сильного разрыва оказалась равной скорости звука в натянутой струне. Заметим, что при ударе по струне вдоль неё также побежит волна продольного растяжения. В обычной теории колебания струны эта волна не принимается во внимание.

3. Косой удар при отсутствии скольжения. Если скольжение отсутствует, то частицы нити в областях / и II должны иметь одина­ ковую скорость, равную скорости удара, а именно:

зволяют подсчитать не только принципиально, но и практически, возникающие в нити деформации, когда по ней ударяется тело достаточно большой массы. Приведём конкретные расчёты, предпо­ лагая, что материал нити удовлетворяет условиям: