Пластичность Часть 1. Упруго-пластические деформации
.pdfТаким образом (4.152) представляет интегро-дифференциальное нелинейное уравнение относительно прогиба:
|
w = w^e) -{- J J |
+ 4 Гчч) -г <а;^Г^ + |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
“"Ь^тго |
+ |
|
'2 '^ ) ] ^ |
(4.155) |
|
е котором |
Q есть |
функция (4.138) от Р х, |
а |
|
|
|||||
|
|
|
Р%= < 4 + |
wgw4Tj + |
+ |
®&,- |
|
|
||
Функция Грина |
Г в точке дг = £, ^ = |
TJ, как |
известно, |
имеет особен |
||||||
ность |
вида |
г2 In г, |
а именно: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
г = ^ г21пг+ / ( л:- Л 5, *0» |
|
|
||||
где / — правильная |
всюду бигармоническая |
функция и |
|
|
||||||
|
|
|
|
/ * = ( * |
— Е)* + |
(у — :п)2 |
|
|
||
Поскольку |
вторые |
производные Г имеют |
особенность |
вида In г, то |
||||||
интеграл w существует и конечен всюду; |
в точке х = £, у = |
-г\ он |
||||||||
имеет |
особенность |
логарифмического |
потенциала. |
|
|
|||||
Метод упругих |
решений в применении к уравнению |
(4.155) |
пред |
|||||||
ставляет следующий процесс последовательных приближений: |
пола-» |
|||||||||
гая в |
первом |
приближении |
Qi = 0, |
находим w t = w^e) и |
затем |
|||||
*1)== |
^ Г - , |
|
e<ii> а |
п0 формуле |
(4.138) находим 9 а. Под- |
ставляя эти значения в (4.154), находим первое приближение ос
таточного прогиба w t |
и |
втгорое |
приближение |
общего |
прогиба |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
/2) |
|
|
w 2 = w (e) -f- w v Повторяя вычисления, определяем xi |
, . . . , £>8 и затем |
|||||||||
w 2 и |
т. |
д. |
|
|
|
|
|
|
|
|
2. |
Вариационное уравнение равновесия пластинки. Работа поверх |
|||||||||
ностной |
силы |
q |
на |
возможном |
перемещении |
bw определяется |
||||
интегралом |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
8'А = |
J j |
qbwdx dy. |
|
|
||
Сравнивая её с вариацией работы |
внутренних сил |
(4.134), |
получаем |
|||||||
вариационное уравнение |
равновесия: |
J J qbw dxdy, |
|
|||||||
|
|
~ |
J |
j* J (Рх) 8Рх d xd y = |
(4.156) |
|||||
или на |
основании |
(4.138): |
|
|
|
|
|
I J J (1-2)8Pxd x d y = ± j J*qbw dxdy.
Выберем систему функций £■„(*, у)> удовлетворяющих граничным условиям, и положим
w = 2 Cngn' |
= 2 *сп£п. |
Рх будет однородной квадратичной формой по постоянным сп:
* - ( 2 * £ 7 + ( 2 * $ Ш < Ф ) + ( 2 < . Э ' ; + + (2 * а & ;-
Сравнивая коэффициенты при вариации 8сп в (4.156), мы получаем систему уравнений, определяющих постоянные ся, и потому дающую решение задачи:
/ J 4S n d x d y + j j (M t |
+ 2 М , ^ ) dx dy = 0, |
||
|
|
п |
— 1, 2 ... |
Здесь моменты |
Ми И42, |
Л412, |
предполагаются выраженными через |
w = ^ c ngn по |
формулам |
(4.127). |
Приближённое решение задачи об изгибе пластинки всегда может быть найдено следующим образом: предположим, что упругая задача
решена, т. е. известно: |
|
|
|
|
|
|
<а/(е) = ^ - w ( x , у), |
(4.157) |
|
где w — известная |
функция |
координат и q0— постоянное |
характер |
|
ное значение нагрузки |
q : |
|
|
|
|
|
Ч |
= Я ^ (х уу), |
(4.158) |
и а — характерный |
размер пластинки. |
|
||
Представим прогиб |
w одночленной формулой: |
|
||
|
|
W = 1T w (х ’ -У)’ |
(4.159) |
где с — неопределённая постоянная; такой вид прогиба пластинки за пределом упругости является всегда подходящим, поскольку, как пра вило, он удовлетворяет граничным условиям и отражает особенности нагрузки. Подсчитаем квадратичную форму Рх:
дНоd'^w дх>ау-
Поскольку
bw = |
a*wbc |
8Я, = 2cbc D28 9 |
D~’ |
ИЗГИБ ПЛАСТИНОК |
207 |
56)находим:
сJJ № Р %) Р%dx dy
° |
Р |
j ^ q w d x d y |
’ |
(4 |
161) |
|
|
||||
12: |
|
|
|
|
|
_ г I I |
^ |
dx аУ — I I |
dx аУ |
(4.161') |
|
?о |
|
J J* q w dx dy |
|
||
|
|
|
|
|
Функция Q (Рх) отлична от нуля только в области упруго-пласти ческих деформаций пластинки, и потому интеграл, стоящий вторым слагаемым в числителе правой части уравнения (4.16Г), распростра нён по этой области. Граница её определяется уравнением (4.141), имеющим в нашем случае вид:
Р - |
Зе* ° 2 |
|
(4.162) |
|
Р% ~ |
c*aW |
* |
||
|
Линии
Рх — const.,
к числу которых принадлежит граница (4.162) между упругой и упруго пластической областями пластинки, можно назвать линиями постоян ной напряжённости пластинки. Их можно использовать для вычисле ния интеграла:
|
/ / |
QPxdx dy, |
|
если |
кривая материала аг е{ |
задана графически, или если |
квадра |
тура |
оказывается сложной. Для^этого поступаем следующим |
образом: |
находим максимум функции Рх согласно (4.160); это будет точка, Линия или конечное число точек или линий на пластинке, из кото рых начнут распространяться области упруго-пластических деформа ций при переходе пластинки за предел упругости. Из всех возмож
ных максимумов Рх выбираем абсолютный максимум Рхгаах и, согласно (4.162), находим значение постоянной с = с8У при которой ещё вся Пластинка будет деформирована упруго:
|
|
|
|
|
max |
Для |
всякого значения |с | < | с я | из (4.16Г ) имеем линейную зави |
||||
симость |
между |
нагрузкой и прогибом: |
|
||
|
|
|
|
с = Чо, |
(4.164) |
как |
это |
видно |
из сравнения величин |
(4.157) и (4.159), и потому: |
|
|
|
|
I I |
K d x dy |
= ^ |
|
|
|
I I |
qw dx dy |
|
Поскольку эта дробь не зависит от с, она всегда остаётся равной 1, вследствие чего формулу (4.16Г) можно переписать в виде:
|
|
|
|
J J |
dx dy 1 |
|
|
(4.165) |
||
|
|
|
|
J J* |
q wdx dy J |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Найдём еще абсолютный минимум P x = |
P xmin. Тогда, согласно(4.141), |
|||||||||
найдём максимальное значение |
постоянной с, при |
которой |
ещё |
су |
||||||
ществует в виде |
точки |
или |
линии зона |
чисто |
упругих деформаций |
|||||
пластинки: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
М = |
1С*1 |
|
es D |
|
3 |
|
|
(4.166) |
|
|
|
a?h |
|
Р * min |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Если постоянную |
с изменять |
в |
пределах |
| с8\ ^ |
| с | |
| с81, |
то |
зона |
упруго-пластических деформаций будет увеличиваться от бесконечно малой до заполняющей всю пластинку. Наконец, если давать зна
чения постоянной |с |> |с * |, то области чисто упругих деформаций на пластинке не будет, и вся она будет деформироваться за пределом упругости.
Вычисление |
зависимости между характерной |
нагрузкой |
q0 и ха |
|||
рактерной деформацией с можно произвести следующим |
образом: |
|||||
при | с | < | с в | |
имеем прямую (4.164). Возьмём |
какое-нибудь значе |
||||
|
ние с = |
ся, заключённое между |
||||
|
с8 и с8, |
и |
построим |
(рис. 65) |
||
|
серию линий |
постоянной |
на |
|||
|
пряжённости: |
|
|
|
||
|
|
|
|
,2г>2 |
|
|
|
(Л ) 0 = |
|
З е р |
|
|
|
|
|
сУ & |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
(p %)i = |
|
З е р 2 |
|
|
|
|
“ W |
|
|
|||
|
|
|
|
Cl |
|
|
|
|
|
|
2п2 |
|
|
|
( Р х ) ^ = - |
3eV> |
|
|
||
|
Измеряя |
площадь кольца, |
за |
|||
|
ключённого между двумя сосед |
ними линиями (Рх)п и (Р х)л+1, и обозначая её через Fnj мы можем считать, что в пределах кольца Fn величина Рх'постоянна и равна, например, (Рх)п; функция 2 (Я Х) будет также постоянна:
Нагрузку qos, соответствующую деформации сif, найдём по формуле
(4.165), заменив |
интеграл |
суммой: |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
Y Q „ (/>,)„/=; |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
_0____________ |
|
(4.168) |
|||
|
|
|
|
|
|
j j q w d x d y |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Ниже |
будут |
даны |
примеры расчёта |
пластинок |
по этой |
формуле |
|||||
и сравнение результатов с точными решениями |
задач об |
изгибе |
|||||||||
пластинок. |
|
|
задачи равновесия пластинки с помощью диф |
||||||||
3. |
Постановка |
||||||||||
ференциальных уравнений для изгибающих моментов. Условия |
|||||||||||
совместности |
кривизн |
х1э |
х2, х1а, |
согласно (4.129), можно |
записать |
||||||
в виде двух |
уравнений: |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
д % | |
д%1% |
д%2 |
ду 9 |
|
|
|
||
|
|
|
ду |
дх » |
дх |
|
|
|
|
||
и, пользуясь соотношениями (4.132) и |
(4.131), |
выразить |
их |
через |
|||||||
моменты: |
|
|
а 2л*1 —м2 |
я |
а |
лг12 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
*У |
J(QM) |
_о |
дх J (QM ) ’ |
|
|
|
||
|
|
|
а |
2 |
—М\ |
а |
2 |
|
(4.169) |
||
|
|
|
дх |
J (Q jf) |
|
ду |
J (Q tf) |
|
|
|
Эти уравнения совместности моментов вместе с основным уравне нием равновесия в форме (4.136) позволяют искать решение задачи непосредственно в моментах, не обращаясь к прогибу пластинки, если только граничные условия имеют вид (4.137//).
§29. Некоторые задачи об изгибе пластинок.
1.Изгиб круглых пластинок. Круглая пластинка с наружным радиусом а и круговым вырезом радиуса Ь находится под действием равномерно распределённой по внутренней окружности перерезы вающей силы интенсивности Р на единицу длины окружности и сим метричного давления q (г). На рис. 66 изображён разрез такой коль -
цевой пластинки. |
|
Перерезывающая сила N на окружности радиуса г |
определяется |
непосредственно: |
|
г |
|
2nrN-\- 2кЬР + 2в Jqr dr = 0, |
(4.170) |
ь |
|
M t — радиальный, М 2— тангенциальный изгибающие моменты и при* нимая во внимание, что вследствие симметрии крутящий момент будет 'равен нулю, из рассмотрения условия равновесия моментов, действующих на элемент кольцевой пластинки, легко вывести еле* дующее выражение для перерезывающей силы
(4.171)
Это уравнение может быть получейо также из (4.135) путём пре-
Рис. 66.
образования моментов к полярным координатам. Из (4.170) и (4.171) имеем основное уравнение равновесия:
Ы |
= _ ± P _ ± j qrdr. |
(4.172) |
Радиальная х1 и тангенциальная х2 кривизны пластинки при симметрич ной деформации имеют следующие известные выражения через прогиб w\r)\
— |
d?w |
1 |
dw |
|
X* = |
T |
“5 Г ’ |
|
|
причём |
|
|
* 4 |
|
|
|
|
(4 .173') |
|
*1 = |
( " 2) = |
+ |
r dr - |
Согласно (4.127) и (4.138), получаем формулы для изгибающих моментов:
= |
( х , + |
1 х а ) = - / > ( * х 2 + |
г ^ ) ( 1 - 2 ) , |
||
М 2=------ |
£ > (1 - 2 ) (x2+ |
i ------- |
D ( | x 2+ | r % |
) ( 1 - Q ) , |
|
Q = Q ( P J , P* = 3 [x? -j- Xjr ~ |
-(- r9( ^ ) 9] |
• |
|
Таким образом уравнение (4.172) может быть |
выражено только |
|||||
через одну неизвестную |
функцию ха : |
|
|
|
||
' 4 г [(•■ - “ > ( ' £ |
+ |
Т *• )]■ + |
т |
( ‘ - |
в ) |
|
|
|
|
|
|
= |
<4 Ш > |
Это — квазилинейное |
обыкновенное |
дифференциальное уравнение |
||||
второго порядка относительно |
Его |
решение |
при произвольном |
законе распределения нагрузки q по радиусу может быть найдено
одним из известных методов численного |
интегрирования; |
при этом |
характеристика материала пластинки |
а, следовательно, |
функция |
9 (Я Х) (4.138) может быть задана любым образом. С целью проверки точности дальнейших приближённых решений, рассмотрим более подробно случай изгиба кольцевой пластинки только от действия
перерезывающих |
сил Я, |
распределённых по контуру. Полагая |
|||
в (4.174) 0 = 0, |
и замечая, |
что |
|
|
|
|
|
J L — d%* d |
|
||
|
|
Г dr |
Г dr |
|
|
мы перепишем уравнение (4.174) в виде: |
|
||||
Если ввести обозначения безразмерных величин |
|
||||
y.jh__ |
A |
d%i |
(4.175) |
||
2 |
— |
2T j dr |
|||
|
где e8— предел текучести материала по деформации и А— толщина пластинки, то это уравнение становится уже уравнением первого порядка относительно v:
|
v ± l ( l — Q)$* — 2v)] + (l — Q)v = p. |
(4.176) |
Постоянная |
р имеет значение: |
|
|
bhP |
(4.177) |
|
Р = De„ ' |
|
Отношение |
интенсивности деформаций е{1 (4.126) к |
т. е. |
при упруго-пластических деформациях пластинки есть величина порядка 1 или больше. Функция Q зависит только от е и, в частно сти, согласно (4.140), имеет выражения:
8 = |
0, |
( * < 1 ) ; |
5 + 5 » ) |
( * > ! ) • |
(4.179) |
Разрешим |
уравнение (4.176) относительно производной ^ |
: |
|||
|
dv |
4 (l- Q ) - (3 % - 2 t> ) |
£ |
v). |
(4.180) |
|
dv. |
|
— |
||
|
2 ( l - Q ) + (3 % -2 t> )g |
|
|
||
|
|
|
|
Здесь частные производные функции 2 , согласно (4.179) и (4.178), выражаются формулами:
(4.181)
Поставленная задача теперь решается хотя бы методом конечных разностей. Для этого заменим rfx, dv конечными малыми прираще ниями Дх, bfo и напишем формулу для Дг>:
|
|
|
|
|
|
|
Д х /= /(х , г>)Дх. |
|
|
|
|
|
|
|
(4.180') |
|||||
Она |
содержит |
два постоянных |
параметра: |
характеристику |
материала |
|||||||||||||||
X = 1 — |
|
|
и |
характеристику |
нагрузки |
р у а |
потому |
позволяет |
||||||||||||
представить решение частных задач в виде серии |
графиков. |
Для |
||||||||||||||||||
этого необходимо начальное условие Коши. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Для |
определённости |
предположим, |
что |
изгибающие моменты |
|
|||||||||||||||
при г = а |
и г = Ь равны |
нулю, т. е. наружный |
и |
внутренний кон |
||||||||||||||||
туры |
свободно |
|
опёрты. |
Тогда, |
согласно |
(4.174) |
и |
(4.175), |
имеем: |
|||||||||||
|
|
|
|
|
г _ |
ь | |
Зх — 2v = 0, |
е = |
х, |
|
|
|
|
|
(4.182) |
|||||
т. е., |
по |
существу, |
мы |
имеем |
краевую |
задачу, |
а |
не |
задачу |
Коши. |
||||||||||
Однако |
её |
легко |
привести |
к |
задаче Коши. |
Заметим, |
что |
по |
смыслу |
|||||||||||
задачи кривизны |
у.х и х2 имеют противоположные |
знаки и потому х* |
||||||||||||||||||
и х2 можно считать |
положительными |
при |
положительных |
р . При |
||||||||||||||||
переходе от наружного края пластинки (/*= |
а) к внутреннему (г = |
&), |
||||||||||||||||||
х возрастает, |
т. |
е. |
Д х > 0 . |
Следовательно, |
если |
при |
некоторых |
|||||||||||||
числовых |
значениях р и X мы дадим величине |
х начальное значение |
||||||||||||||||||
х0^ 1 |
и |
соответствующее |
начальное |
значение |
v = v0 возьмём |
из |
ращения, согласно (4 .180'), найдём кривую |
v = v{?*)y которая при |
||
некотором значении х = хп пересечётся с прямой |
Зх — 2^ = 0. Тем |
||
самым |
будет найдено решение следующей задачи: |
по данному зна |
|
чению |
силы Р и интенсивности деформаций |
е на |
краю пластинки |
найти отношение наружного радиуса её к внутреннему. Изменяя зна чения р и х0, мы получим серию графиков для пластинок различных
размеров; |
тем самым задачи |
будут |
решены |
столь же |
общо, как |
||
и в прямой постановке. |
Отношение |
радиусов |
контуров |
пластинки |
|||
согласно |
(4.175) находится |
по значению х0 и с помощью кривой |
|||||
v = v (х) |
из формулы |
|
|
|
|
|
|
|
|
l n £ = j % |
, |
|
(4.183) |
||
|
|
|
*0 |
|
радиусом г — из |
|
|
а связь между кривизной |
х и текущим |
формулы |
|||||
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
ln— = J Ц . |
|
|
(4.183') |
||
|
|
|
*0 |
|
|
|
|
После'этого прогиб пластинки на окружности радиуса г относительно наружного края выражается квадратурой, вытекающей из (4.173), (4.175) :J
2ешГ |
- |
2е8сР |
|
W = -T ) |
*r d r = |
- t |
<4 -184> |
гrfa
Втабл, б дано численное решение задачи об изгибе кольцевой пла
стинки, материал которой обладает упрочнением ^ |
= 0,05 £ (Х = 0,95), |
||||||||
|
|
Решение задачи об изгибе пластинки. |
Т а б л и ц а 6. |
||||||
|
|
|
|
||||||
X |
1 |
1.6 |
2 |
2,5 |
3 |
3,5 |
3,8 |
3,9 |
4 |
V |
1,5 |
2,1968 |
2,9305 |
3,6804 |
4,4431 |
5,2179 |
5,6880 |
5,8455 |
6,0034 |
З х — 2v |
0 |
0,1064 |
0,1390 |
0,1392 |
0,1138 |
0.0642 |
0,0240 |
0,0090 |
— 0,0032 |
е |
1 |
1,5016 |
2,0000 |
2.5014 |
3,0008 |
3,5002 |
"з ,80(Ю 3,9000 |
|
|
1— Q |
1 |
0,8749 |
0,7029 |
0,5892 |
0,5073 |
0,4460 |
0,4164 |
0,4074 |
|
d fi |
0 |
0,3634 |
0,2859 |
0,2019 |
0,1457 |
0,1083 |
0,0925 |
0,0861 |
|
" д Г |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
дО |
0 |
— 0,0160 |
-0 ,0 1 2 4 |
— 0,0071 |
-0 ,0 0 3 5 |
-0 ,0 0 1 3 |
— 0,0004 |
-0 ,0 0 0 1 |
|
dv |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
At7 |
0ДЗЗЗ |
0,1459 |
0,1488 |
0,1513 |
0,1541 |
0,1563 |
0,1575 |
0,1579 |
|
Г |
1 |
0.7512 |
0,6141 |
0,5251 |
0,4640 |
0,4090 |
0,3870 |
|
|
а |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
причём находится отношение у при значении р = 2 в случае, когда
на наружном контуре впервые получается |
пластическая деформация: |
|||||||||||
г = а, х0 = |
е0= 1 , |
vQ= |
1,5. |
Сила |
Р |
вы |
||||||
ражается через |
параметр р по формуле: |
|||||||||||
|
|
|
|
n |
D e a |
|
|
|
(4.185) |
|||
|
|
|
|
P ~ ~ b h p ' |
|
|
|
|
||||
прогиб |
внутреннего контура (г = |
Ь) отно |
||||||||||
сительно наружного |
|
(г = а) |
имеет |
выра |
||||||||
жение: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2еяа* — |
— |
|
|
|
|
(4.186) |
|||||
Wh = - |
■mь, |
|
= |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
bja |
|
|
|
|
|
|
Ход |
вычислений |
различных |
величин |
от |
||||||||
Зх— 2v = 0 |
на |
наружном крае |
(г = |
а) |
||||||||
до |
Зх — 2v = |
о |
на |
внутреннем, |
которые |
|||||||
в ходе исследования велись через Дх=0,1, |
||||||||||||
дан в таблице с некоторым сокращением. |
||||||||||||
На |
рис. |
67 |
дан |
график зависимости х |
||||||||
и v |
от |
г |
Поскольку |
величина |
Зх — 2v |
|||||||
— , |
||||||||||||
|
|
а |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
обращается |
в |
|
нуль |
при — = |
0,387, то |
|||||||
внутренний |
радиус |
|
пластинки |
равен |
||||||||
6 = |
0,387я. |
Прогиб |
wb получаем |
путём |
||||||||
численного интегрирования данных таб- |
||||||||||||
лицы: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, = |
0,732. |
|
|
|
|
Подобные расчёты, однако, следует делать уже в связи с практическими требованиями и с учётом механических свойств материалов пластинок, поведение
которых явится необходимым изучить.
Для сравнения приведём известное упругое решение задачи об изгибе кольцевой пластинки. Полагая в (4.174) 9 = 0, ? = 0, нахо дим первый интеграл этого уравнения:
Г^ Н _ Р Ь \ С _ |
|
dr ~ 2 D ' |
r2 * |
после чего находим: |
|
ръ , |
с , , |
x9e 2Dl n r — 2 г » + с .