Пластичность Часть 1. Упруго-пластические деформации

В самом деле, ввиду того, что оболочка в направлении х предпо­ лагается достаточно длинной, поперечные её сечения остаются плоскими

при точном решении задачи об устойчивости прямоугольной пластинки в § 36. Однако они значительно упрощаются в одном частном слу­ чае, когда сила Q равна:

Q = K R 2P ,

т. е. когда на донья оболочки действует то же самое равномерное давление, что и на боковую поверхность. В этом случае

8Га = 0,

а из второго можем найти деформацию е2, которая, однако, в даль­ нейшем уже не понадобится. Таким образом гипотеза (5.92) в рас­ сматриваемой задаче выполняется, и потому уравнения (5.22) пре­ образуются к виду (5.99) и дают следующее выражение для тангенциального изгибающего момента:

ствующие на оболочку нагрузки не удовлетворяют условию (5.127), то выражение момента 8уЙ2 формулой (5.128) можно принять как пр|/ближённое. Кроме того, из условия равновесия внутреннего момента 8Af2 и момента внешнего давления р в любом сечении в имеем W :

Сравнивая это выражение с (5.128), получаем дифференциальное уравнение

d?w

Наименьшее значение выражения, заключённого в фигурные скобки и

ческой оболочки, сжатой осевой силой и боковым давлением (рис. 96),

Из (5.21) найдём 8Га и e j - |- - i e a:

их можно рассматривать как приближённые и для произвольного

§ 39. Числовые данные для мягкой стали, применённой в опытах Кармана.

Как уже упоминалось в главе III, Карманом I7* были поставлены опыты по проверке его формул, определяющих устойчивость стержней за пределом упругости. В качестве материала была взята мягкая сталь,, причём на диаграмме о — е этой стали имеется резко выра­

женная площадка текучести. Основные её данные таковы:

£■ = 2 ,1 7 - 10е, оь = 6800, ов = 3250, ор= 2600(кг/см2).

Поскольку, как уже установлено в главе I, диаграммы зависимости напряжения и деформации образца и интенсивностей а4— ei совпадают, на основании диаграммы сжатия образца стали, имеющейся в указан­ ной работе Кармана, можно составить следующую таблицу (19):

Произведём вычисления критических гибкостей in при различных значениях сжимающих напряжений для рассмотренных выше случаев. Все формулы, определяющие 1п:

совпадают с известными в теории упругой устойчивости, если в них положить а) = ф = 0 и модуль Кармана k = 1. Для сравнения инте­ ресно рассчитать не только найденные нами значения критической гибкости, но и значения их при упругом законе деформации. Этим последним припишем два штриха сверху. Если в них заменить модуль Юнга Е на модуль Кармана kE> получим приближённые значения /я, которыми нередко пользуются при расчётах. Этим величинам при­ пишем штрих сверху.

Т а б л и ц а 20.

Критические гибкости.

Приведённая выше таблица характеристик стали позволяет, вычислить все эти величины. Результаты даны в табл. 20, причём против каждого значения напряжения а4 указаны три значения гибкости: верхнее — /п, второе — i'n и третье — /£.

Г Л А В А VI.

ВДАВЛИВАНИЕ ШТАМПОВ И НЕСУЩАЯ СПОСОБНОСТЬ НЕСЖИМАЕМОГО ПЛАСТИЧЕСКОГО ТЕЛА.

§ 40. Предварительные замечания.

Еслиг материал тела не обладает свойством упрочнения или из каких-нибудь соображений упрочнением можно пренебречь, пласти­ ческое состояние тела невозможно при произвольных нагрузках. Для

в теории упругости, для идеально-пластического тела теряют смысл, например:

1. По заданным силам найти перемещение точек тела и деформа­ ции. Для рассматриваемого тела в пластическом состоянии эта задача принципиально не может быть решена, так как зависимость а%= Ф (е4) (рис. 97) неразрешима (даёт неопределённое значение) относительно деформации.

2. По заданным внешним силам найти напряжения; такая задача в общем случае не имеет решения, так как при произвольно задан­ ных внешних силах упруго-пластическое равновесие идеально пласти­ ческого тела (его элементов) невозможно.

3. По заданным внешним силам, при которых всюду возможно, пластическое равновесие тела, найти напряжение. Такая задача раз­ решима, но практически мало интересна. И в самом деле, напряжение обычно находят для того, чтобы судить о прочности тела. Но в дан­ ном случае заранее известно, что интенсивность напряжений всюду постоянна и равна пределу текучести. Таким образом условие проч­ ности должно выражаться не только через напряжения, но и через деформации, которые, как уже сказано, для идеально пластического тела являются принципиально неопределёнными, если известны только внешние силы.

Как отчасти мы уже видели в предыдущих главах, для идеально пластического тела имеют смысл задачи совершенно иного типа.

1. Задача о несущей способности тела. Дано тело конечных размеров односвязное или многосвязное; найти все возможные типы поверхностных нагрузок, при которых тело будет всюду находиться в состоянии пластического равновесия. Задача имеет двоякий практи­ ческий интерес: а) решение её выясняет предельные нагрузки, отно­ сительно которых может быть целесообразно выбран запас прочно­ сти; б) решение её даёт необходимые данные для 'решения смешан­ ной упруго-пластической задачи. Последняя же интересна потому, что отвечает на вопрос: насколько уменьшается жёсткость тела, если некоторая его область выходит за предел упругости. Заметим, что вопрос о возможности разрушения в этой области остаётся открытым, так как деформации в них, вообще говоря, не могут быть определены.

2.Задача о вдавливании штампа. Дано тело, некоторая часть поверхности которого свободна от нагрузки, и именно на этом участке поверхности в него внедряется жёсткий штамп определённой формы; найти распределение давления на контактной поверхности и величину силы в зависимости от глубины вдавливания.

3.Задача о течении среды, подобном течению жидкости.

§ 41. Плоская деформация идеально пластического тела.

Поскольку в области пластических деформаций идеально пласти­ ческого тела интенсивность напряжений постоянна

связь между напряжениями и деформациями устанавливается извест­ ными шестью соотношениями: