Пластичность Часть 1. Упруго-пластические деформации

в плоскости х\ у> зависящее от одного параметра, вместе с ортого­ нальным к нему семейством кривых может представлять сетку линий скольжения. Действительно, угол между парой прямых при движе­ нии вдоль них не изменяется, и потому уравнения (6.17) и (6.18) удовлетворяются. Прандтль U°1 применил такую систему линий скольжения к задаче о криволинейном штампе (рис. 105). Пусть

тело имеет участок границы, состоящий из прямых ВА и А'В ' и симметричной кривой АОА', причём прямые свободны от нагрузки. Во впадину АОА' вложен криволинейный штамп, имеющий форму этой впадины, и на него действует сила Я, приводящая окрестность

итти под углом 45° к поверхности штампа. От поверхности штампа

под углом 45° к границе А1В' проведём пучок прямых вниз вправо. Между линиями А 'С и A'D' возьмём полярную сетку линий сколь­ жения. Проводя теперь из точки О кривую, ортогональную к семей­

Поскольку металл из-под штампа должен вытекать вверх, каса­ тельные напряжения т8 будут направлены, как указано на заштри­ хованном элементе, и потому за семейство линий скольжения а следует взять линии MN- Пусть у есть острый угол, составленный касательной к поверхности штампа в точке М с осью штампа. Изме­

Из условия t| = const, на линии а получаем:

искривлённую (сравнительно с кривизной штампа) поверхность; однако при этом необходимо, чтобы выдавливаемый металл ничтожно мало искажал границу, т. е. чтобы он имел малую кривизну, и глубина вдавливания была весьма мала. Но в таком случае поверхность его может быть охарактеризована соприкасающимся кругом радиуса R или параболой

§ 43. Осесимметричные штампы.

Пусть штамп, представляющий собой тело вращения, вдавли­ вается в плоскую границу среды. Предполагая, что плоскость пер­ пендикулярна к оси штампа и пренебрегая трением на поверхности контакта, мы получаем задачу с осевой симметрией. На элемент

среды в цилиндрических координатах г, г , <]» (рис. 107, рис. 107, а) действуют нормальные напряжения о2, о,, ог и в меридиональной плоскости касательное напряжение т. Координата <]<, вследствие симметрии, совпадает с главным направлением, и потому напряже­ ние 0^ = 3, является главным. Два других главных напряжения о1, о,

Траекторию максимальных касательных напряжений в меридиональ-

ной плоскости равных:

g2— gt

’max 2

будем называть линией скольжения а, а угол её с осью обозначать через о (другая линия имеет угол о ' = о + тг/2).

Предположим, что от давления штампа (силы Р) в окрестности поверхности контакта средд находится в пластическом состоянии, причём попрежнему она является несжимаемой и не обладает упроч­ нением. Тогда из условия Мизеса имеем:

даёт значительное упрощение осесимметричной задачи, так как она, как и плоская, становится статически определимой и не требует

опыты дают удовлетворительное подтверждение следствий такой гипотезы, применение её к некоторым осесимметричным задачам,

t = J3 — cos 2<p.

Введём обозначение:

(6.35)

элементарно. Пучков 113^ доказал, что такой выбор линий скольжения приводит к весьма хорошим результатам, практи­ чески не отличающимся от тех, которые получаются при интегриро­ вании системы (6.38). Для этого он использовал результаты Ишлинского, относящиеся к вдавливанию сферического штампа, и построил другие точные решения системы уравнений (6.38), а затем сравнил их с приближёнными, получающимися на основании применения формулы (6.42) и линий скольжения плоской задачи. При этом выяснилось, что давление по поверхности штампа независимо от его

и потому задача сводится только к определению р0. Для этого строится линия скольжения, проходящая через точку О следующим образом (рис. 107): на участке контакта АО проводим семейство

в точку В продолжаем эту линию в виде прямой. Получившаяся

Давление рм. на поверхность штампа состоит из постоянного слагаемого р0>которое даёт равнодействующую Ррд, и слагаемого, пропорционального глубине, которое даёт равнодействующую

Эта простая формула получена Пучковым 11#1.