Пластичность Часть 1. Упруго-пластические деформации

Г Л А В А VII.

ДИНАМИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ ПЛАСТИЧНОСТИ.

§44. Распространение плоских нелинейных волв.

Впредыдущих главах изучались исключительно статические за­ дачи теории упруго-пластических деформаций; или, лучше сказать, задачи, в которых колебаниями и связанными с ними силами инерции можно пренебречь. Пренебрегалось также и влияние времени и ско­

излагаемых ниже вопросов динамики тел, таково: между интенсив­ ностью напряжений о< и интенсивностью деформаций ei в изучаемом диапазоне скоростей деформаций существует определённая зависи­ мость :

закон разгрузки остаётся прежним. Следует, однако, помнить, что зависимость между инвариантами напряжений и деформаций при усло­

всесторонних давлениях сопротивление сдвигу больше, чем при нор­ мальных давлениях. Вопрос о том, стремится ли величина а{ при не­ ограниченном возрастании давления к определённому пределу или также неограниченно возрастает, остаётся пока открытым и имеет первостепенное значение в теории прочности. Скорость деформации также увеличивает сопротивление сдвигу. Поэтому излагаемые ниже

связано с решением задачи Коши, и это решение даёт нуль для вся­

ная скорость распространения волн, и перед её фронтом напряжённое состояние не возникает.

Рассмотрим две плоскости: (х, t) и (иКУ ut) (рис. 109). Из ска­ занного следует, что области между осью х и характеристикой

следует, что все характеристики плоскости (х, tf), имеющие положи­ тельный наклон, прямолинейны, т. е.

Исключая из этих двух уравнений tQ, получаем 'функциональное урав­ нение

постоянными, то семейство характеристик будет состоять из наиболее

пространяющихся с минимальной скоростью, соответствующей постоян­

ной скорости распространения при этом собирается в пучок прямых, проходящих "через начало координат (рис. 110,tf). Эти волны Рахма-

удара от конца стержня пойдёт пучок волн Римана, вызывающих значительную пластическую деформацию в стержне, но после этого начнётся падение нагрузки на конце и уменьшение напряжений. По­ скольку закон (1.7), связывающий напряжение о с деформацией е при нагружении (возрастании напряжений) и разгрузке (падении напря­ жений), различен (рис. 111), вслед за пучком волн Римана должна итти волна разгрузки, разделяющая область стержня, в одной из которых происходит возрастание напряжений, в другой же разгрузка. На фронте этой волны, открытой Рахматулиным, имеет место разрыв вторых производных смещения и, первые же непрерывны вместе с на­ пряжением о.

На рис. 112 показаны волны Римана и волна разгрузки. В обла­ стях ниже волны х = а (0)1 и между этой линией и волной Рахма­ тулина имеет место дифференциальное уравнение (7.3). Пусть е0(х)

Отсюда Следует, что если скорость распространения волны разгрузки

меньше скорости распространения звука, т. е. Ь < а0, то знаки ^

и de* совпадают:

Отсюда следует, что в некоторой окрестности волны разгрузки имеем для растягивающего удара, е0> 0, убывание деформации растяжения,

а для давления, (е0 < 0), убывание деформации сжатия, т. е. в обои* случаях процесс разгрузки:

- | < 0 ,

(7.21)

* о < 0 > £ > 0 .

Эти неравенства показывают, что каждой заданной волне разгрузки, удовлетворяющей условию а < b < я0, соответствует ударная нагрузка, приложенная к концу стержня и убывающая по соответствующему закону. Таким образом доказано существование волны разгрузки. Картина деформации некоторого элемента стержня, находящегося на расстоянии х от конца, получается такая: возмущение от места удара

d3

стической с почти постоянным наклоном £ = — , следует сделать

заключение, что волны Римана также будут состоять из трёх групп:

первая группа волн идёт с постоянной скоростью а0 =

и вызывает возрастание деформации е от 0 до е8 (условного предела текучести); вторая группа волн идёт с резко переменной скоростью,

убывающей от а0 до аг = и почти не изменяет деформации

элемента; наконец, третья группа волн идёт почти с постоянной ско­ ростью ах и вызывает значительные деформации от е8 до етах. Поэтому

Сравнивая значения (7.27) и (7.28), получаем функциональное уравне­ ние длй определения функции е0. Ив него ясно, что е0(х) предста­ вима степенным рядом;

Рассмотрим частный случай удара жесткого тела массы m по концу стержня. Из уравнения движения этой массы, пользуясь разло­ жением (7.29), получим рекуррентные формулы для Ьп: